Na pierwszy rzut oka oba stwierdzenia w zawarte tytule wydają się absurdalne. Jednak to tylko złudzenie, ponieważ chodzi o pewną drobną zachętę, którą często osiąga się za pomocą właśnie takich środków jak zaskoczenie czy też paradoks. One to właśnie wyzwalają twórczą energię. Nie mzsuę wopnismać, że to zidane też pforatimy bez tduru paorwnipe oyzdtczać... nawet jeśli nie w każdym wyrazie każda litera była na właściwym miejscu (wystarczyła pierwsza i ostatnia, a resztę dokonał nasz umysł).
Najpierw zadajmy sobie pytanie jak definiujemy figury. Z uwagi na to, że najczęściej mamy do czynienia w edukacji matematycznej z trójkątami i czworokątami, więc to im poświęcimy trochę uwagi.
Czym jest zatem trójkąt? Trójkąt to figura, która składa się z trzech boków (odcinków). Gdybyśmy zerknęli do pierwotnej nazwy, to mamy "trój-kąt", czyli trzy kąty. I teraz jeśli trzy kąty (większe od zera stopni i mniejsze od 180) połączymy ze sobą odcinkami, to powstanie właśnie trójkąt.
Potem możemy zadać sobie pytanie czy możemy uzyskać figurę, która ma tylko dwa kąty, więc wtedy nazywałaby się "dwójkąt". Okazuje się, że nie da się tego zrobić, ponieważ łącząc ramiona tych dwóch kątów otrzymamy albo trójkąt albo czworokąt (w tym zarówno wklęsły jak i wypukły - w zależności od tego jak oba kąty będą leżały w stosunku do siebie).
No i teraz przechodzimy do czworokątów. Jak już zapewne domyślamy się: czworokąt to figura, która ma cztery kąty (jest posiadaczem czterech kątów = czworo-kąt). I znów w zależności jak będą kąty w stosunku do siebie, to otrzymujemy czworokąty albo wypukłe albo wklęsłe.
Co to jest czworokąt wypukły i wklęsły?
Czworokąt jest figurą wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są kątami wypukłymi (mniejszymi od kąta 180 stopni), zaś czworokąt jest figurą wklęsłą wówczas, gdy jeden z jego kątów wewnętrznych jest kątem wklęsłym (czyli większym niż 180 stopni). Tych ostatnich nie będziemy brali pod uwagę.
No i teraz krótkie przypomnienie. Najłatwiej jest to objaśnić rysując koło. Jeśli wytniemy z niego kąt ostry, to ów kawałek koła (pizzy, tortu) jest wypukły zaś ten pozostały kawałek to właśnie kąt wklęsły. Oba kąty wycinane z jednego koła muszą się sumować do 360 stopni (kąta pełnego).
Teraz będziemy wiedzieli, że w naszym rozumowaniu będziemy zajmowali się wyłącznie czworokątami wypukłymi (tymi, które są realizowane w ramach nauki szkolnej). Dobrze jest jednak dojść do tego wniosku za pomocą odkrywania, czy jak kto woli - metodą ołówka i linijki. W ten sposób wiedza, którą budujemy jest tworzona, a nie wchłaniana za pomocą "po prostu tak jest, zapamiętaj to i nie pytaj dlaczego".
No i dochodzimy w końcu do momentu w którym następuje klasyfikacja czworokątów.
Dla tych, którzy chcą sobie przypomnieć lub zapoznać się z tym w jaki sposób powstają czworokąty, polecam kilka artykułów, które właśnie po to stworzyłem, aby inspirować się nimi i budować coraz lepsze metody nauki:
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (1)
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (2)
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3)
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (4)
Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.3
I teraz gdy zerkniemy do tabeli w ostatnim z powyższych artykułów, widzimy wszystko jak na dłoni.
PROSTOKĄT ma cechę 1, 3 i 5
KWADRAT ma cechę 1, 2, 3, 4 i 5
RÓWNOLEGŁOBOK ma cechę 3 i 5
ROMB ma cechę 3, 4 i 5
TRAPEZ ma cechę 5
I teraz rozwalimy system wspólnie, tak aby nie zostało na nim żadnych wątpliwości.
1) KTÓRA FIGURA ZAWSZE (tzn. w każdym przypadku) ma wszystkie piątki (cechę nr 5, patrzymy na ostatnią kolumnę i sprawdzamy zielone ptaszki) - odpowiedź wszystkie mają, zatem wszystkie należą do kategorii trapezów, a więc zawsze są trapezami.
2) KTÓRA FIGURA ZAWSZE (tzn. w każdym przypadku) ma wszystkie trójki (cechę nr 3, patrzymy na kolumnę oznaczoną (3) i sprawdzamy zielone ptaszki) - odpowiedź: prawie wszystkie mają (oprócz wyjątkowego trapezu), zatem wszystkie z figur zawsze muszą mieć dwie pary boków równoległych, a więc są równoległobokami. W przypadku trapezu jest tak, że w wyjątkowym układzie może być równoległobokiem, ale najczęściej nim nie jest. Natomiast pozostałe cztery figury, pomimo, że w najszerszym ujęciu są trapezami, to jednak najczęściej pojawiają się jako równoległoboki.
I teraz powinno być nieco łatwiej. Gdy prosimy o narysowanie danej figury, wówczas posługujemy się najwęższym jej ujęciem (definicją). Inaczej albo byśmy się nie dogadali... albo cały czas trzeba byłoby poprawiać (ucznia), aby w końcu narysował taką figurę jaką mamy na myśli.
Zobaczmy teraz na tabelę i odczytujmy ją wierszami (rzędami), za każdym razem pomijając ostatnią kolumnę. Inaczej mówiąc, odczytujemy cechy każdej z figur od 1 do 4. Zatem teraz nasze figury będą mogły być tak definiowane.
PROSTOKĄT: ma zawsze wszystkie kąty proste, dwie pary boków równoległych i najczęściej nie ma wszystkich boków tej samej długości (gdyby miał, wtedy z automatu jest kwadratem).
KWADRAT: ma zawsze wszystkie kąty proste, dwie pary boków równoległych i zawsze wszystkie boki tej samej długości (gdyby nie miał, wtedy z automatu jest prostokątem).
RÓWNOLEGŁOBOK: ma zawsze dwie pary boków równoległych, najczęściej nie ma kątów prostych oraz najczęściej nie ma wszystkich boków tej samej długości (gdyby je miał, wtedy z automatu byłby rombem).
ROMB: ma zawsze dwie pary boków równoległych, najczęściej nie ma kątów prostych oraz zawsze ma wszystkie boki równej długości (gdyby ich nie miał, wtedy z automatu byłby równoległobokiem).
TRAPEZ: ma zawsze przynajmniej jedną parę boków równoległych (zwanych podstawami), najczęściej nie ma żadnych kątów prostych (czasami może jednak mieć ma dwa kąty proste, wtedy jest trapezem prostokątnym) oraz najczęściej ma wszystkie boki różnej długości (jeśli ma tylko jedną parę przeciwległych boków równej długości, wtedy jest trapezem równoramiennym).
I teraz najważniejsze założenie. Powyższe wyjaśnienie pozwala nam jednoznacznie określić jakiego rodzaju figurę mamy na myśli, ale w żadnym wypadku nie wyklucza innego podejścia (figury). Przykładowo może się zdarzyć, że w trakcie rozwiązywania zadania wyjdzie na to (za pomocą wnioskowania), że mamy do czynienia ze szczególnym trapezem, który ma dwie pary kątów prostych, a więc MUSI BYĆ prostokątem lub kwadratem. Tak samo może okazać się, że trapez, którym się zajmujemy ma wszystkie kąty proste, a więc również MUSI BYĆ prostokątem lub kwadratem.
Jeśli umówimy się z naszymi uczniami na to, że używając powyższych pojęć mamy pierwotnie na myśli tego typu definicje, wówczas osiągamy dwa cele: pierwszym jest uniknięcie nieporozumień, zaś drugim pełna jednoznaczność. To z kolei gwarantuje, że każdy dokładnie rozumie o jakiej figurze mowa. Jeśli jednak chcemy określić "nietypowy czworokąt", wówczas musimy to wyraźnie podkreślić, tak aby poszerzyć nasz obszar poszukiwań danych nieco tajemniczych czworokątów.
Teraz odpowiedzmy sobie na tytułowe pytania:
1. Czy prostokąt jest trójkątem?
2. Czy kwadrat jest kołem?
Prostokąt NIGDY nie może być trójkątem, ponieważ:
- prostokąt jest czworokątem (ma cztery kąty), a nie trójkątem (nie ma trzech kątów)
- prostokąt ma zawsze wszystkie kąty proste, zaś trójkąt może mieć tylko jeden kąt prosty
- prostokąt jest czworokątem, więc ma zawsze cztery boki, a trójkąt ma tylko trzy
- prostokąt jest czworokątem, więc ma zawsze cztery wierzchołki, a trójkąt ma tylko trzy
Tak więc mamy kilka możliwości, aby udowodnić (uzasadnić), że prostokąt NIE JEST trójkątem.
A co odpowiemy na drugie pytanie? Otóż kwadrat NIGDY nie może być kołem, ponieważ:
- kwadrat jest czworokątem (ma cztery kąty), zaś koło nie ma żadnych kątów
- kwadrat jest czworokątem, więc ma zawsze cztery boki, a koło nie ma żadnego
- kwadrat jest czworokątem, więc ma zawsze cztery wierzchołki, a koło nie ma żadnego
Tak więc znowu mamy kilka możliwości, aby udowodnić (uzasadnić), że kwadrat NIE JEST kołem.
W kolejnych odcinkach zajmiemy się tym w jaki sposób z prostokąta może powstać trójkąt, zaś z kwadratu... koło! Przy okazji uchylę rąbka tajemnicy, że będę chciał również wyjaśnić o co chodzi z trójkątami jak też naszymi czworokątami, gdy zaczynamy je obracać, odwracać, przekręcać czy zakręcać. Obiecuję, że wszystko tak odkręcę, że obracanie i manipulowanie figurami na konkretach... będzie miało szansę wrócić "na salony matematyczne" - czyli do naszej edukacji, w której zapominamy, że matematyka to odkrywanie, tworzenie i wnioskowanie, a nie wyścigi związane z tym, kto szybciej wchłonie potężne dawki matematycznych treści.
