W poprzednich odcinkach mieliśmy okazję sprawdzić co się dzieje, gdy chcemy wpisać lub opisać czworokąty w okręgu lub na okręgu.
Okazało się, że złota reguła (suma kątów przeciwległych równa 180) jak też diamentowa reguła (suma boków równa sobie) były odpowiedzialne za to, aby stworzyć twierdzenie, które będzie określać to od czego zależy czy dany czworokąt będziemy mogli wpisać w okrąg lub na okręgu opisać.
No i można powiedzieć, że wykorzystaliśmy do tego kąty oraz boki. Pytanie jednak co z wierzchołkami? Czy one w jakikolwiek sposób mogą się nam przydać do czegokolwiek związanego z okręgiem? Czy da się coś wymyślić, co może pomóc nam w tym, aby utrwalić niektóre właściwości czworokątów w oparciu o ich wpisanie w okrąg? Otóż okazuje się, że jest to możliwe.
CZTERY PUNKTY NA OKRĘGU DZIĘKI KTÓRYM ODGADNIESZ JAKI CZOWOROKĄT ZOSTAŁ WPISANY W OKRĄG
Wymyśliłem zadanie polegające na tym, że wykorzystamy wierzchołki oraz powiemy sobie o łukach i cięciwach występujących w okręgu. Dodam, że zadanie jest o tyle kreatywne, nietypowe i chyba także nowatorskie, że początkowo może się wydawać nieco dziwne. Wierzę jednak, że z czasem jednak powinniśmy dostrzec jego wartość.
Zadanie polega na tym, aby narysować na okręgu 4 wierzchołki w taki sposób, żeby można było wpisać następujące rodzaje czworokątów: 1) prostokąt, 2) kwadrat, 3) trapez równoramienny oraz 4) czworokąt nieregularny (* wykluczamy z rozważań deltoid, zwany popularnie "latawcem")
Cały pomysł polega na tym, żeby jedynie na podstawie narysowanych wierzchołków określić jaki czworokąt został wpisany w okrąg. I chodzi o to, aby tworząc powyższe figury (wpisując je w okrąg), dostrzegać pewne zależności związane z odległością wierzchołków od siebie oraz związkiem między cięciwą oraz łukiem okręgu.
W jaki sposób stwierdzić jednak który łuk jest dłuższy jeśli nie mamy narzędzia do mierzenia łuków, które są krzywymi, a nie prostymi? Otóż są do tego pewne sposoby. Jednym z nich jest zrozumienie tego, że długość łuku w danym okręgu jest taka sama, gdy odpowiednie cięciwy są sobie równe. Przy czym im dłuższa cięciwa, tym dłuższy łuk oraz im krótsza cięciwa, tym krótszy łuk. Zapamiętajmy także, że najdłuższą cięciwą jest średnica okręgu.
Na podstawie powyższego wiemy już, że tak naprawdę wystarczy porównywać długość odcinków między poszczególnymi (sąsiadującymi) wierzchołkami, które tworzą bok czworokąta. Dzięki temu automatycznie wiemy, które z łuków pomiędzy dwoma najbliższymi punktami (wierzchołkami) są krótsze, a które dłuższe.
No to niebawem zerkniemy na poszczególne obrazki, które pomogą nam w zrozumieniu tego w jaki sposób można zrealizować ciekawą lekcję, pomagającą w utrwaleniu właściwości wybranych czworokątów.
Kolejne obrazki będą przedstawiały cztery punkty, które leżą na okręgu, a których połączenie sprawi, ze powstanie czworokąt. Pamiętajmy o tym, że nie wszystkie czworokąty można wpisać w okrąg (to już powinno być jasne z poprzedniego artykułu, na końcu którego mamy tabelkę, która to wyraźnie pokazuje). Te punkty są wyznaczane na dwa sposoby: poprzez cięciwy, które się przecinają lub przez te, które nie mają punktu przecięcia. Przy okazji groty strzałek wskazują punkty na okręgu, których połączenie tworzy określony czworokąt wpisany w okrąg.
No i teraz pytania, które powinni nasi uczniowie albo sami zadawać albo my je zadajemy, w tym samym celu: aby odkrywać kolejne właściwości i przekształcać (zapisywać) je jako wnioski.
PYTANIA ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG - CIĘCIWY: DŁUGOŚĆ i POŁOŻENIE
1) W jaki sposób cięciwy są ułożone w stosunku do siebie? (równolegle czy nie?)
2) Które narysowane cięciwy są tej samej długości i co to w praktyce oznacza? (bez względu na to czy się przecinają czy nie)
3) Co się dzieje, gdy cięciwy są tej samej długości i są jednocześnie równoległe?
4) Co się dzieje, gdy cięciwy są tej samej długości i NIE są jednocześnie równoległe?
5) Co się dzieje, gdy cięciwy są różnej długości i są jednocześnie równoległe?
6) Co się dzieje, gdy cięciwy są różnej długości i NIE są jednocześnie równoległe?
7) Jeśli cięciwy przecinają się to w jakich proporcjach?
8) Co się dzieje, gdy obie cięciwy przecinają się w połowie?
9) Co się dzieje, gdy obie cięciwy przecinają się w tych samych proporcjach, ale nie w połowie?
10) Co się dzieje, gdy dokładnie trzy cięciwy (będące bokami czworokąta) są identycznej długości?
Myślę, że to będzie bardzo ciekawe ćwiczenie, które z pewnością pomoże odkrywać właściwości wybranych czworokątów na nowo. Jeśli ktoś potrzebuje pełnego omówienia tego jak się mogą układać przekątne w czworokątach regularnych, to mam dwie dobre wiadomości. Pierwsza jest taka, że kilka lat temu napisałem artykuł na ten temat, a druga - w artykule są dokładnie omówione wszystkie możliwości razem z tabelami, które uczniowie mogą samodzielnie uzupełniać, odkrywając właściwości przekątnych w czworokątach. Nie muszę chyba dodawać, że wspomniany artykuł może być niezależną jednostką i służyć do nauki o przekątnych lub chociażby utrwalenia tego zagadnienia, prawda? Oto link do niego:
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3)
Teraz zerknijmy na obiecane poszczególne obrazy, w których połączenie wierzchołków sprawi, że otrzymamy: 1) prostokąt, 2) kwadrat, 3) trapez równoramienny (2 rodzaje) oraz 4) czworokąt nieregularny (* jak już było wspomniane na początku, z rozważań całkowicie wykluczamy deltoid).
Czas na porównanie długości łuków oraz tego, po czym rozpoznać jaka figura powstanie na bazie czterech punktów, będących wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg.
Mamy dokładnie 4 wierzchołki czworokąta (punkty na okręgu), które tworzą cztery łuki. Pamiętajmy, że im większa długość łuku, tym dłuższa cięciwa, czyli bok czworokąta.
Teraz zastanówmy się jak ich długość oraz ułożenie wpływa na stworzenie danego czworokąta wpisanego w okrąg. Od razu podkreślę, że w każdym wypadku wymienianych cech, wystarczy wybrać sobie dowolną z nich (a, b lub c), aby stwierdzenie związane z konkretnym czworokątem było prawdziwe.
CECHY (REGUŁY) ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG - ŁUKI (BOKI): DŁUGOŚĆ i POŁOŻENIE
Najprościej będzie rozpocząć od czworokąta nieregularnego, bo znajdziemy w nim:
a) wszystkie łuki (boki) różnej długości
b) brak jakiejkolwiek pary przeciwległych łuków równej długości
Z kolei w przypadku trapezu równoramiennego, to znajdziemy w nim:
a) jedną parę przeciwległych łuków (boków) równej długości, nierównoległych do siebie
b) jedną parę przeciwległych łuków (boków) różnej długości, równoległych do siebie
c) 3 dowolne łuki równej długości (wtedy oba ramiona oraz podstawa są równej długości)
Teraz przechodzimy do prostokąta, w którym znajdziemy:
a) 2 pary przeciwległych łuków (boków): każda para odpowiednio równej długości
b) 1 parę przeciwległych łuków równej długości, równoległych do siebie (druga para łuków tej samej długości, ale różnej od pierwszej)
I ostatnim przypadkiem jest oczywiście kwadrat, w którym znajdziemy wszystkie (cztery) łuki (boki) równej długości.
Jeśli ktoś potrzebuje, to na podstawie powyższych punktów (i podpunktów) można stworzyć pracę w parach, gdzie jedna osoba odczytuje losowo jeden z 8 możliwych cech, a jej partner ma za zadanie na kartce napisać jaka to figura. Przykładowo, gdy Adam mówi do Marysi (przypominam, że cały czas mówimy o czworokątach wpisanych w okrąg): "znajdziemy w nim jedną parę przeciwległych łuków (boków) różnej długości, równoległych do siebie", to Adam właśnie przeczytał cechę związaną z trapezem równoramiennym, zaś "znajdziemy w nim jedną parę przeciwległych łuków równej długości, równoległych do siebie (druga para łuków tej samej długości, ale różnej od pierwszej)", to wiadomo, że chodzi cechę prostokąta.
PRZYKŁADOWE AKTYWNOŚCI ZWIĄZANE Z CZWOROKĄTAMI WPISANYMI W OKRĄG:
PUNKTY (wierzchołki), CIĘCIWY (boki) oraz CECHY (tworzenia)
Dodatkowo, to co można wykorzystać, to kwestia tego, że te cechy mogą być przećwiczone na różne sposoby. Przykładowo dwie osoby komunikują się ze sobą wzajemnie i w ten sposób sprawdzamy:
a) która zdobędzie więcej punktów za prawidłowe odpowiedzi (odpowiedzi mogą być różnie punktowane, w zależności od skali trudności zadania),
b) dana osoba rysuje dany czworokąt (jej partner ma podać wszystkie jej cechy wspomniane w danej figurze)
c) dana osoba rysuje dwie jedynie cięciwy (można ustalić czy będą się one przecinały czy nie, czy też bierzemy wszystkie możliwości pod uwagę)
d) dana osoba rysuje 4 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), a jej partner ma ustalić jaka to figura zadając jak najmniej pytań (odpowiedzi TAK/NIE)
e) dana osoba rysuje 2 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), a jej partner ma dorysować pozostałe 2 punkty na okręgu (wierzchołki czoworokąta), tworząc dany czworokąt, jednocześnie wyjaśniając z jakiej reguły (cechy) skorzystał
f) dana osoba rysuje 2 (lub 3) punkty na okręgu (wierzchołki czworokąta), a jej partner ma dorysować pozostałe punkty (2 lub 1) na okręgu (wierzchołki czworokąta), tworząc dany czworokąt, jednocześnie wyjaśniając z jakiej reguły (cechy) skorzystał oraz uzupełniając (słownie) wszystkie pozostałe reguły (cechy) danego czworokąta
Jestem przekonany, że ten arsenał możliwości pozwoli dostosować zadania odpowiednio do możliwości każdej grupy, a nawet dla indywidualnych uczniów: w zależności od ich obecnych umiejętności, posiadanej wiedzy, zrozumienia czy też szybkości pracy (rozpoznawania definicji, kształtów, odcinków, etc.). Oczywiście można również zrezygnować z punktów i wykorzystać te pytania jako narzędzia do sprawdzenia siebie, gdzie uczeń wypełnia czyta i wypełnia kartę pracy, a jego kolega pomaga mu w tym, aby mógł dowiedzieć się jakie są prawidłowe odpowiedzi. Potem role się odwracają i druga osoba czyta tej pierwszej prawidłowe odpowiedzi, a ona samodzielnie zaznacza te, które ma poprawnie.
No i na koniec można z dziećmi przećwiczyć to czym jest cięciwa, promień, średnica, obwód oraz jakie są najbardziej istotne różnice pomiędzy nimi. Dla bardziej zaawansowanej (lub ambitnej) grupy można przejść do tego czym jest pole koła i w jaki sposób określamy (i obliczamy) wycinek koła. Wszystko zależy od tego jakie mamy możliwości jak i potrzeby oraz na ile nasi uczniowie chcą i mają ochotę popracować, aby dowiedzieć się jeszcze więcej.
PODSUMOWANIE: w tym artykule mieliśmy okazję przekonać się w jaki sposób można wykorzystać zagadnienie czworokąta wpisanego w okrąg, w kontekście wykorzystania jego wierzchołków jako zabawa w rysowanie 4 punktów na okręgu, a potem na jej bazie - odkrywanie, odgadywanie jak też sprawdzanie różnych właściwości.
Wierzę, że odpowiednie przygotowanie materiału na zajęcia na bazie tego artykułu może dostarczy wiele okazji do tego, aby dzieci mogły nie tylko utrwalić dane zagadnienia związane z własnościami czworokątów, ale dodatkowo przekonać się o tym, że nawet pozorne wierzchołki na okręgu, mogą dać możliwość zobaczenia wielu elementów w nowym świetle.
Warto pamiętać, aby przy uczniach słabiej radzących sobie z pracą wymagającą więcej analizy bądź umiejętności rysowania, zaczynać od zadań najłatwiejszych i stopniowo zwiększać skalę trudności. Im więcej "małych sukcesów" dane dziecko doświadczy, tym bardziej będzie chętne do tego, aby mierzyć się z zadania o większej skali trudności.
Dobrze jest również pytać dzieci jak doświadczyły danych aktywności: które z zadań były dla nich łatwe, trudne, ciekawe czy też nudne. Dzięki temu można jeszcze bardziej je modyfikować, tak aby mieć wachlarz możliwości zależny od danej grupy (klasy) czy też poszczególnych dzieci (zwłaszcza tych, które nie są zbyt biegłe w matematyce). Mam cichą nadzieję, że to wszystko sprawi, że kolejne matematyczne zagadnienie będzie zrozumiałe, ciekawe a jednocześnie dające poczucie radości odkrywania!
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)