W poprzednim spotkaniu mieliśmy okazję przyjrzeć się temu, co sprawia, że czworokąt można wpisać w okrąg. Okazało się, że decydują o tym kąty wewnętrzne czworokąta, ale w odpowiedniej relacji. Jakiej? Otóż czworokąt można wpisać w okrąg jeżeli jest spełniony warunek: sumy dwóch par przeciwległych kątów dają wartość 180 stopni. To była nasza złota reguła. Dziś poszukamy kolejnej, tym razem diamentowej. Mianowicie poszukamy co i jak jest odpowiedzialne za to, że czworokąt można również opisać na okręgu.
Wszyscy gotowi? Można zaczynać? No to lecimy!
Zastanówmy się teraz jakie cechy muszą spełniać inne czworokąty, aby możliwe było opisanie ich na okręgu.
Mamy w zasadzie dwa pomysły, które za to odpowiadają: albo są nimi kąty wewnętrzne albo długości boków czworokąta. Skoro poprzednio reguła odnosiła się do kątów, to może tym razem będzie odnosiła się do boków (ich (długości)? Sprawdźmy.
Gdybyśmy chcieli opisać jeden z wielokątów foremnych zwany kwadratem na okręgu, to okazuje się, że bez problemu możemy to zrobić. Jeśli jednak chcielibyśmy to samo zrobić z prostokątem, wtedy okazuje się, że nie jest to możliwe (pomijamy przypadek w którym prostokąt jest kwadratem). Dlaczego? Otóż prostokąt ma dwie pary boków równoległych, ale jeśli narysujemy jedną parę boków równoległych, wówczas rysując kolejne boki, które są do nich prostopadłe, a przy okazji są styczne do okręgu... okaże się, że za każdym razem wyjdzie nam kwadrat! Prostokąta nie da się w ten sposób narysować!
Jaki z tego wniosek? Okazuje się tym razem, że miara kątów nie gra kluczowej roli, bo pomimo, iż w prostokącie są one identyczne, to wpisanie go w okrąg nie jest możliwe. Dlatego podążając dalej, dochodzimy do tego, że trzeba jednak sprawdzić długości boków. Co z tymi bokami musi być, aby za każdym razem wpisanie czworokąta było możliwe?
Zerknijmy na początek na kwadrat opisany na okręgu. Widać wyraźnie, że jeśli obie pary równoległych boków będą jednocześnie do siebie prostopadłe, to wszystkie boki będą miały tę samą długość. Inaczej mówiąc ów czworokąt spełnia definicję kwadratu, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równej długości. Na ten moment zauważmy i zapamiętajmy, że suma obu par przeciwległych boków jest sobie równa.
Podążajmy dalej. Kto wie? Być może na przykładzie trapezu równoramiennego szybko odkryjemy ogólną (diamentową) regułę, która zapewnia możliwość opisania dowolnego czworokąta na okręgu.
Pierwsza możliwość - porównanie sumy miar obu przeciwległych kątów.
Okazuje się, że w tym wypadku szybko dostrzeżemy, że również w trapezie równoramiennym, obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. No i teraz mamy dylemat. W prostokącie mieliśmy tę samą właściwość, ale pomimo tego nie mogliśmy go opisać na okręgu. Tutaj mamy do czynienia z trapezem równoramiennym, który akurat można opisać na okręgu. Czyżby to oznaczało, że nasza reguła raz działa a raz nie działa? O co chodzi? Czyżby jakiś błąd w Matrixie? Szukamy dalej.
Zobaczmy co wykaże analiza kątów w trapezie prostokątnym opisanym na okręgu.
Tym razem doskonale widać, że obie sumy miar przeciwległych kątów nie sumują się do 180 stopni. Dlaczego? To proste. Każdy z przeciwległych kątów w stosunku do obu kątów prostych... również musiałby być kątem prostym. A w tym wypadku można bez problemu dostrzec, że jeden z nich jest kątem ostrym (wtedy ich suma jest mniejsza od 180 stopni), a drugi rozwartym (wtedy ich suma jest większa od 180 stopni). Inaczej mówiąc, jedna z sum par kątów przeciwległych jest większa, a druga mniejsza od 180 stopni. Oznaczałoby, że mamy kolejny dowód na to, że reguła oparta o porównywanie sumy miar obu przeciwległych kątów, po prostu nie działa.
Zerknijmy szybko na rysunek trapezu różnobocznego opisanego na okręgu.
Natychmiast rzuca się w oczy, że przynajmniej jedna para sum kątów przeciwległych nie daje wartości 180 stopni. Dlaczego? Otóż bez liczenia wiadomo, że jeśli dodamy do siebie dwa kąty rozwarte, to nigdy nie otrzymamy wartości kąta półpełnego. Reszta wniosków jest identyczna z poprzednią analizą odnoszącą się do trapezu prostokątnego: reguła oparta o porównywanie sumy miar obu przeciwległych kątów, po prostu nie działa.
No i jeszcze kolej na ostatniego naszego bohatera - romb!
Tym razem jest jeszcze ciekawiej, bo doszło do tych samych wniosków jakie mieliśmy przy analizie trapezu równoramiennego! Romb również można opisać na okręgu, zaś obie sumy miar przeciwległych kątów sumują się do 180 stopni. Znowu zadajemy sobie pytanie: jak to jest? Czyżby to oznaczało, że nasza reguła raz działa a raz nie działa? Nie! Widzimy po prostu, że nie możemy za każdym razem stwierdzić, że czworokąt można opisać na okręgu, gdy będziemy porównywali sumy par przeciwległych kątów! Tylko tyle i aż tyle!
Po tych szybkich testach, wniosek jest prosty. Sprawdzamy teraz co się dzieje, gdy dokonamy porównania sumy długości obu przeciwległych boków.
Druga możliwość - porównanie sumy długości obu przeciwległych boków.
Zerknijmy na poprzednie rysunki, ale teraz sprawdzamy sumy długości obu przeciwległych boków. I tak oto mamy:
1) w kwadracie opisanym na okręgu (12+12) = (12+12), 24=24, sumy równe
2) w rombie opisanym na okręgu (12,5+12,5) = (12,5+12,5), 25=25, sumy równe
3) w trapezie równoramiennym opisanym na okręgu (12,5+12,5) = (10+15), 25=25, sumy równe
4) w trapezie prostokątnym opisanym na okręgu (12,5+12) = (11+13,5), 24,5=24,5, sumy równe
5) w trapezie różnobocznym opisanym na okręgu (12,5+13,8) = (15,3+11,0), 26,3=26,3, sumy równe
Co to oznacza? Otóż mamy sytuację w której porównanie sumy długości obu przeciwległych boków, w każdym czworokącie opisanym na okręgu, dały w każdym przypadku te same wartości.
Teraz możemy sformułować naszą diamentową regułę. Brzmi ona następująco:
Czworokąt można opisać na okręgu jeżeli jest spełniony warunek: sumy długości dwóch par przeciwległych boków są sobie równe.
Zanim nastąpi podsumowanie warto przyjrzeć się jeszcze jednej ciekawej zależności. Mianowicie z naszej analizy wynika, że ze znanych czworokątów tylko prostokąta i równoległoboku nie można opisać na okręgu. Pojawia się jednak pytanie: dlaczego?
Spróbujmy to sprawdzić na rysunku, na którym najpierw narysujemy jedną parę równoległych boków tej samej długości, a potem do nich drugą parę także równoległych boków, ale prostopadle do nich (druga para boków tej samej długości, ale innej niż poprzednie boki).
Okazuje się, że w przypadku prostokąta druga para boków nie ma (dwóch) punktów styczności z okręgiem, czyli nie można opisać go na okręgu.
A co w takim razie z równoległobokiem? Tutaj też sprawdzamy na rysunku. Rysujemy jedną parę równoległych boków tej samej długości, a potem do nich drugą parę także równoległych boków, ale nieprostopadłe do nich (druga para boków tej samej długości, ale innej niż poprzednie boki).
Okazuje się, że w przypadku równoległoboku druga para boków także nie ma (dwóch) punktów styczności z okręgiem, czyli nie można opisać go na okręgu.
Mówiąc nieco żartobliwie można powiedzieć i przy okazji zapamiętać: prostokąta i "kopniętego prostokąta" (czyli równoległoboku) nie da się opisać na okręgu, ale już kwadrat i "kopnięty kwadrat" (czyli romb) bez problemu można opisać na okręgu. To może być szczególnie pomocne do zapamiętania, nawet pomimo tego, że są to nieoficjalne nazwy równoległoboku i rombu.
* UWAGA: przyjmujemy na potrzeby tego zadania (ćwiczenia) brak badania wyjątków jeśli chodzi o czworokąty. Przykładowo istnieje romb, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on kwadratem. Tak samo przykładowo istnieje trapez równoramienny, który ma wszystkie kąty proste, ale wtedy jest on prostokątem (lub kwadratem). Mam nadzieję, że teraz będzie to w pełni jasne.
Na tym powoli kończymy wprowadzenie do zagadnienia czworokątów opisanych i wpisanych w okrąg.
Oto, co takiego musimy zapamiętać z tych trzech odcinków: można wymienić w kilku punktach:
1) Dowolny czworokąt można wpisać w okrąg jeśli spełnia złotą regułę (kątów): suma obu par przeciwległych kątów, daje wartość 180 stopni.
2) Dowolny czworokąt można opisać na okręgu jeśli spełnia diamentową regułę (boków): suma długości obu par przeciwległych boków jest równa.
3) Dowolny czworokąt można zarówno wpisać w okrąg (złota reguła) jak i opisać na okręgu (diamentowa reguła), jeśli każdy z nich spełnia jednocześnie oba wymagane warunki.
4) Dowolny wielokąt foremny można zarówno wpisać w okrąg jak i opisać na okręgu (poszerzenie i generalizacja wniosków z dwóch reguł).
W tym momencie tabela będzie bardzo dobrze prezentować, to co odkryliśmy. Przy okazji dzięki niej możemy stworzyć kolejne pytania jako utrwalenie materiału i dalsze drogi poszukiwania.
Przykładowe pytania do czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu:
1) które rodzaje czworokątów przeważają w tabeli jeśli chodzi o porównanie wpisanych i opisanych na okręgu? Z czego to może wynikać?
2) dlaczego kwadrat w obu kolumnach ma oznaczenia kolorem żółtym, a nie zielonym? Co to oznacza i z czego wynika?
3) ile jest rodzajów czworokątów, których da się jednocześnie wpisać w okrąg i opisać na okręgu?
4) ile jest rodzajów czworokątów, których nie da się jednocześnie wpisać w okrąg i opisać na okręgu?
5) ile jest rodzajów czworokątów, które da się wpisać, ale nie da się opisać na okręgu?
6) ile jest rodzajów czworokątów, które da się opisać, ale nie da się wpisać w okrąg?
7) od czego zależy który z nieokreślonych czworokątów da się wpisać w okrąg, a który opisać na okręgu?
Osobom, które są zainteresowane znacznie głębszym eksplorowaniem tego zagadnienia, polecam zerknąć na pytania stworzone przez model AI (Leo). Dodam, że są to treści poszerzone, więc niektóre z nich mogą wymagać znacznie większej wiedzy, zależności oraz głębszego zrozumienia (czy też po prostu odpowiednich wzorów). Przy okazji warto zaznaczyć, że nasza obecna wersja modelu AI rozpędziła się dość mocno, bo w pytaniu była mowa o odkrywaniu właściwości czworokąta, natomiast pytanie numer 13 odnosi się do trójkąta. Niemniej co najmniej połowa wygenerowanych pytań ma sens (można również śmiało pominąć pytania 16 i 17).
Drobna inspiracja i zachęta dla nauczycieli (oraz bardziej ambitnych uczniów lubiących większe wyzwania), którzy chcą ułatwić i polepszyć swoją pracę.
Powyżej wkleiłem coś o czym warto pomyśleć w kontekście efektywnej nauki (i nauczania). Zwłaszcza adresuję to proste opracowanie (wygenerowaną ściągawkę z pytań) do nauczycieli matematyki, bo obecne możliwości zastosowania technologii bazującej na sztucznej inteligencji (AI), szczególnie do zadań nie wymagających logicznego myślenia (chociażby tak zwane zadania z treścią lub zadania tekstowe) są naprawdę na przyzwoitym (wysokim?!) poziomie (podstawowe zastosowania są najczęściej także bezpłatne). Uważam, że dzięki temu można sobie nie tylko ułatwić pracę, ale przede wszystkim nie tracić energii i czasu na realizowanie mechanicznych czynności.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)