Dowodzenie, wykazywanie i argumentowanie - czyli jak myśleć logicznie i zapisywać matematycznie (2)

Dowodzenie, wykazywanie i argumentowanie - czyli jak myśleć logicznie i zapisywać matematycznie (1)

Rozpoczynamy długo oczekiwaną serię związaną z dowodami, dowodzeniem i wykazywaniem. Generalnie biorąc chodzi o to, aby pokazać, iż dowodzenie to wcale nie jest temat z kosmosu... ani tym bardziej czarna magia. Po prostu to inny rodzaj matematycznej wiedzy: to taki rodzaj rozumowania (wnioskowania), który stanowi wyzwanie dla wielu osób. W tym miejscu wspomnę jedynie o tym, że wymaga on przede wszystkim innego podejścia oraz nauki już od pierwszych lat szkolnych (w klasie 7 i 8 często jest już o kilka lat zbyt późno i nadrabianie takich zaległości stanowi nie lada problem i przy okazji wyzwanie z górnej półki). Tak czy inaczej będziemy bliżej przyglądali się temu zagadnieniu. Na pierwszy ogień pójdzie proponowana przeze mnie literatura.

Dziś powiemy sobie pokrótce o książkach dotyczących dowodów, dowodzenia i wykazywania.

Chciałbym przedstawić kilka książek, które mogą być pomocne w procesie nauki dowodzenia i wykazywania. Dodam, że są również inne książki, ale te moim zdaniem są łatwo dostępne i przy okazji również powinny być bardzo pomocne w procesie przygotowania do egzaminu ósmoklasisty.

Wybrałem jedynie trzy książki, które moim zdaniem zasługują na uwagę. Dodam, że zadania z dowodzenia i wykazywania są obecnie dość łatwo dostępne, więc nie powinno być problemu z dotarciem do nich. Niemniej dobrze byłoby mieć coś pod ręką, co może być wykorzystane w celu przygotowania uczniów do kluczowego egzaminu.

1) Dowody matematyczne. Zbiór zadań na dowodzenie dla maturzystów i nie tylko. Zakres podstawowy i rozszerzony [Dariusz Kulma]

Zbiór zadań zawiera 324 dowodów w pełni rozwiązanych krok po kroku, w tym:
– 131 zadań z zakresu podstawowego,
– 193 zadań z zakresu rozszerzonego.

Zbiór zadań został podzielony na 10 tematycznych rozdziałów, każdy zawiera:
– zadania w pełni rozwiązane z komentarzem,
– zadania do samodzielnego wykonania (z odwołaniem do zadania pomocniczego),
– pełne rozwiązania do zadań do samodzielnego wykonania.

Format A4, 118 stron, wydawnictwo Elitmat, autor: Dariusz Kulma


2) 125 zadań na dowodzenie. Zbiór zadań z matematyki dla klas VI-VIII [Lucyna Grochowska]

Książka pomaga w przygotowaniu uczniów do konkursów, a także do egzaminu ósmoklasisty. W programie nauczania zwraca się coraz większą uwagę na dowodzenie i dlatego w tym zbiorze zostały zebrane przede wszystkim zadania typu „udowodnij”, które sprawiają uczniom najwięcej trudności, a najbardziej rozwijają logiczne myślenie. W prosty i dokładny sposób zostały opisane ich rozwiązania, tak aby każdy uczeń mógł samodzielnie popracować nad nimi. Przed zadaniami umieszczone są również wskazówki oraz teoria, które potrzebne są do ich zrozumienia.

Format B5, 64 stron, wydawnictwo: Nowik, autor: Lucyna Grochowska


3) Matematyka. Dlaczego? Zbiór zadań na dowodzenie [Maria Mędrzycka]

– Doskonały materiał wspomagający nauczanie matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych i gimnazjach

– Zbiór zadań stanowi idealne uzupełnienie materiału dydaktycznego. Odpowiada na zapotrzebowania uczniów i nauczycieli na zadania na dowodzenie, które pojawiają się stosunkowo rzadko w toku nauki, a są obecne na maturze i egzaminie gimnazjalnym.

– Ze zbiorem można pracować samodzielnie (zawiera rozwiązaniami wszystkich zadań), na zajęciach dodatkowych (np. na kółku matematycznym), a także na lekcjach. Zbiór zadań stanowi świetne wprowadzenie w świat dowodów matematycznych!

– Ponad 230 starannie opracowanych zadań na dowodzenie z pełnymi rozwiązaniami

– Wszystkie zadania w zbiorze, czyli zadania autorskie i te wybrane z arkuszy maturalnych CKE, opatrzono modelowymi rozwiązaniami. Dzięki temu zarówno uczniowie, którzy dopiero rozpoczynają przygodę z dowodami, jak i ci, którzy ją kontynuują, ale wciąż nie są zbyt pewni swoich umiejętności w tym zakresie, mają do dyspozycji wiele przykładów poprawnie przeprowadzonego rozumowania matematycznego.

– Ponieważ zazwyczaj nie ma jednego jedynego sposobu na rozwiązanie danego problemu, w zbiorze przedstawiono niejednokrotnie kilka różnych dróg prowadzących do celu, czyli poprawnego dowodu. Dzięki temu uczeń może skonfrontować swój tok rozumowania z różnymi metodami rozwiązania tego samego problemu, przez co pogłębia swoją wiedzę i rozszerza horyzonty myślenia o zadaniach na dowodzenie.

– Zadania ułożone kaskadowo – od łatwych do bardzo trudnych
– Zadania zostały ułożone kaskadowo – od łatwych, wprowadzających dane zagadnienie, przez coraz trudniejsze do zadań bardzo trudnych, wymagających zastosowania wiedzy z różnych działów.

– Matematyka opowiedziana językiem ucznia

– Zbiór zadań zawiera około 50 komiksów, które oprócz walorów estetycznych niosą ze sobą również istotne walory dydaktyczne. Komiksy pomagają wyrobić intuicję matematyczną, a także wychwycić najważniejsze aspekty poruszanych zagadnień (np. dlaczego nie można pominąć założeń twierdzenia).

– Wybrane zadania egzaminacyjne, opracowane na podstawie materiałów CKE

– Zadania na dowodzenie to obowiązkowy, i jednocześnie sprawiający uczniom wiele problemów, element egzaminu – zarówno maturalnego, jak i gimnazjalnego. Aby umożliwić uczniom oswojenie się z egzaminacyjną formułą tego typu zadań, w zbiorze zamieszczono zadania zaczerpnięte z materiałów Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.

Format B5, 150 stron, wydawnictwo: Nowa Era, autor: Maria Mędrzycka


Powyższe książki są najłatwiej dostępne i moim zdaniem najbardziej przydatne - zwłaszcza pod kątem przygotowania do egzaminu ósmoklasisty. Do tego egzaminu, który jak już wiemy odbędzie się po raz pierwszy w połowie kwietnia 2019 roku zostało już zaledwie pięć miesięcy. A jeśli odliczyć wszystkie święta i dni wolne od nauki (w tym ferie), to wychodzi na to, że do finału tego wydarzenia... mamy jedynie około 100 dni nauki szkolnej. Tak, tak! Jest znacznie bliżej niż się niektórym osobom wydaje. Stąd konieczność rozpoczęcia tej serii i wsparcia bądź zainspirowania osób, które zajmują się nauczaniem dzieci, które do tego egzaminu niebawem przystąpią. I to już koniec dygresji...

Które z nich są bardziej przydatne, a której mniej? Oto moja bardzo krótka recenzja powyższych publikacji. Podkreślam wyraźnie, że to moje zdanie (opinia), a nie profesjonalna recenzja profesora matematyki. Warto o tym dobrze pamiętać i mieć stale na uwadze. Zatem zaczynajmy mini przegląd pomocy dydaktycznych!

Książka nr 1: Dowody matematyczne [Dariusz Kulma]

Ta pozycja to zbiór zadań, który zawiera zadania - dla maturzystów i nie tylko. Autor pokazuje w jaki sposób dowodzić zadania poprzez tak zwane dowodzenie wprost. I jak we wstępie pisze Dariusz Kulma: "Dowód wprost polega na tym, że w oparciu o założenia przeprowadzamy rozumowanie zgodne z zasadami logiki oraz stosujemy aksjomaty i twierdzenia matematyczne, aby zbadać prawdziwość przyjętej tezy".

Myślę, że część dowodów z poziomu podstawowego może być wykorzystana do nauki uczniów w klasie siódmej bądź ósmej. W zbiorze są dość krótkie i logiczne wyjaśnienia tego jak przebiega proces dowodzenia. Są w nim dowody są podzielone na 10 tematycznych rozdziałów. Każdy z nich składa się z trzech części. Pierwsza to analiza poszczególnych typów zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Druga to samodzielna praca nad dowodzeniem, opierając się na tym czego nauczyliśmy się w poprzedniej części. Natomiast trzecia część to pełne rozwiązania zadań.

System nauki opiera się na metodzie trzech kroków, który znakomity nauczyciel i popularyzator matematyki Dariusz Kulma stosuje z powodzeniem, pomagając każdego roku tysiącom maturzystów w zdaniu egzaminu maturalnego. Jeśli mamy możliwość pracowania z naprawdę mocnymi i pracowitymi uczniami, wówczas ta pozycja powinna zaspokoić intelektualną potrzebę tych którzy lubią rozwiązywać zadania ze znacznie wyższych poziomów. Zadań jest na tyle dużo, że można spokojnie wybierać i dobierać do potrzeb dzieci, które matematykę traktują jak powietrze do oddychania.

DLA KOGO: dla bardzo mocnych, ambitnych i pracowitych uczniów i nauczyciela, który potrafi bez problemu wyjaśniać proces dowodzenia jako materiał przewidziany w programie nauczania szkoły ponadpodstawowej.

KIEDY można zastosować: wtedy, gdy możesz samodzielnie decydować o tym jakie zadania przerabiać z uczniami (kółka matematyczne, przygotowanie do konkursów i turniejów matematycznych) i uczniowie mają naprawdę dobrze opanowane podstawy dowodzenia oraz są chętni na znacznie mocniejsze wyzwania.

Książka nr 2: 125 zadań na dowodzenie [Lucyna Grochowska]

Ta książeczka to zbiór zadań z matematyki dla klas VI-VIII. W tym przypadku mamy do czynienia z zadaniami o różnej skali trudności. Co od razu rzuca się w oczy, to brak jakichkolwiek kolorowych rysunków czy innych bajerów. Jest zaledwie pięć rozdziałów zawierających dowodzenie takie jak: 1) wartość bezwzględna, 2) potęgi i pierwiastki, 3) wzory skróconego mnożenia, 4) cechy podzielności oraz 5) zadania geometryczne. To właśnie tytułowe 125 zadań, które wraz z rozwiązaniami zmieściły się na zaledwie 50 stronach.

W tym zbiorze widoczne jest to, iż komentarze są raczej dość krótkie, ale za to bardzo ładnie przedstawiony jest proces przechodzenia krok po kroku do kolejnych etapów. Nie ma dogłębnych czy obszernych wyjaśnień, lecz jedynie niezbędne informacje (dodatkowo w ramkach są zebrane właściwości na których opierają się konkretne dowody). Słowem: krótko, zwięźle i na temat. Ta książeczka bardzo przypomina skrypty, które otrzymują studenci w ramach zapoznania się z podstawami zajęć danego przedmiotu. Jeśli ktoś lubi i potrzebuje coś co zawiera absolutne minimum, wówczas ta pozycja powinna go ucieszyć.

DLA KOGO: przede wszystkim dla uczniów 7 i 8 klasy oraz nauczyciela, który potrafi bez problemu wyjaśniać proces dowodzenia oraz w razie potrzeby pokazywać inne rozwiązania (sposoby dowodzenia, które nie zostały zawarte w tej publikacji).

KIEDY można zastosować: absolutnie wtedy, gdy musisz bardzo mocno gonić z materiałem, a czasu jest niewiele.

Książka nr 3: Matematyka. Dlaczego? Zbiór zadań na dowodzenie [Maria Mędrzycka]

Ostatnia z wybranych książek jest pozycją, która bardziej przypomina podręcznik nauczania dowodzenia wraz z dodatkowymi zadaniami aniżeli typowy zbiór zadań. Czemu tak się dzieje? Otóż przede wszystkim dlatego, że znajdziemy w niej bardzo wiele wyjaśnień (również w rozwiązaniach na końcu) a także ciekawie wykonane rysunki w postaci komiksu. Ta forma ma za zadanie opowiadać o tym dość wymagającym temacie... językiem ucznia. Ponadto najważniejsze informacje zawarte są w ramkach, zadania są pogrupowane w bloki tematyczne, a do tego jeszcze rozwiązywane są na kilka sposobów (tak, to nie pomyłka!).

Ta publikacja składa się z dwóch rozdziałów, które w sumie zawierają 10 poszczególnych tematów rozbitych na mniejsze porcje. I tak w przypadku rozdziału pierwszego (liczby) mamy rozpatrywanie liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych i rzeczywistych. Następnie dostajemy pakiet zadań różnych i egzaminacyjnych.

Z kolei rozdział drugi (o geometrii) mówi o takich zagadnieniach jak: kąty i wielokąty, o punktach szczególnych w trójkącie, okrąg i koło jak też pola figur. Tradycyjnie dostajemy pakiet zadań różnych i egzaminacyjnych. Pozostaje jeszcze ostatni rozdział, którym są rozwiązania, stanowiące nieco ponad 1/3 zwartości książki. Oj tak! Rozwiązania, które są na tyle wartościowe, różnorodne i obszerne (zwłaszcza z geometrii), że nawet wymagające zadania niekoniecznie wydają się szczególnie trudne!

Jedyne czego brakuje tej książce to bibliografia lub jak kto woli - literatura polecana. Niemniej mocną rekompensatą za to jest fakt, iż ta książka w dużej części może być samodzielnie przerabiana przez średniego ucznia (ewentualnie z niewielkim wsparciem ze strony rodzica bądź nauczyciela).

DLA KOGO: dla uczniów 7 i 8 klasy oraz nauczyciela (rodzica), który niekoniecznie jest wielbicielem dowodzenia, ale potrzebuje czegoś co może pomóc w tym procesie - zwłaszcza wtedy, gdy jest podanych kilka możliwych rozwiązań.

KIEDY można zastosować: przede wszystkim wtedy, gdy masz słabych lub bardzo słabych uczniów i konieczne jest wyjaśnianie dowodów na wiele różnych sposobów. Może to być bardzo dobra pomoc dydaktyczna w przypadku dużych braków edukacyjnych uczniów.

Podsumowanie: w zależności od tego jakim potencjałem dysponujemy (dzieci oraz ilość czasu na naukę), takie pozycje książkowe możemy wykorzystać w procesie nauki dowodzenia.

Jeśli mamy bardzo słabych uczniów, a jeszcze zostało nam nieco czasu, to najlepszych wyborem może być wybranie książki Marii Mędrzyckiej (Dlaczego? Zbiór zadań na dowodzenie). Natomiast gdy mamy bardzo niewiele czasu i nie możemy sobie pozwolić na głębsze i obszerniejsze wyjaśnienia, wówczas książka Lucyny Grochowskiej (125 zadań na dowodzenie) może być wybawieniem.

No i na koniec: jeśli mamy to szczęście i luksusowe warunki oraz uczniów, którzy mają duży lub bardzo duży potencjał, wówczas możemy pokusić się o wybranie książki Dariusza Kulmy, tak aby uczniowie poczuli wielką frajdę i satysfakcję z rozwiązywania zadań nie tylko nietypowych, ale także tych, które są poza podstawą programową. To ostatnie rozwiązanie zapewne będzie najrzadziej wybierane (w kontekście egzaminu ósmoklasisty), ale warto mieć je na uwadze (zwłaszcza gdy ktoś może i przy okazji uwielbia pracować z uczniami zdolnymi i pracowitymi).

Mam cichą nadzieję i mocną wiarę w to, że ten krótki opis literatury do wykorzystania przy nauczaniu dowodów (wykazywania) może być pierwszym krokiem na drodze do poprawienia sytuacji dzieci związanej z niskim poziomem umiejętności w tym zakresie.

Ułamki skończone czy nieskończone - sprytnie podzielisz dwie liczby, a grupa cyfr na ekranie zapłonie

W poprzednim odcinku pokazałem prosty sposób na to, aby sprawdzić czy ułamek zwykły w rozwinięciu dziesiętnym będzie skończony czy nieskończony. Zadałem proste pytanie: Po czym rozpoznać czy rozwinięcie dziesiętne ułamka będzie się ciągnęło w nieskończoność, a kiedy na pewno skończy się na danym miejscu? (cyfrze).

Teraz warto się przyjrzeć temu co się stanie, gdy ułamek zwykły będzie miał rozwinięcie nieskończone (okresowe). Dodam od razu, że jeśli dzielimy dwie liczby całkowite przez siebie (pamiętamy, iż mianownik nie może być zerem), to zawsze będziemy mieli do czynienia z liczbą wymierną. Natomiast jeśli mianownik ułamka nie będzie można zapisać jako kombinacji 2 i/lub 5 (od razu lub po skróceniu), wówczas będzie miał rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Dziesiętne czyli takie po przecinku, nieskończone to znaczy nie mające końca, ale okresowe to znaczy jakie? Takie w którym będzie powtarzała się cyfra lub grupa cyfr. I to powtarzanie będzie trwało w nieskończoność. Przy okazji zapamiętajmy, że takie ułamki również są liczbami wymiernymi! (niewymierne to te w których nie powtarza się żadna grupa cyfr: przykładem jest chociażby sławna liczba Pi bądź pierwiastki z liczb całkowitych z których nie można wyciągnąć całości, np. pierwiastek z 3, 5 czy 7).

Przykładami ułamków, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe (dalej zwanymi okresowymi) są chociażby takie liczby jak: 1/7, 2/3, 4/9, 5/11 i tak dalej. Można samodzielnie sprawdzić dlaczego tak się dzieje. Otóż nawet zapisując (zamieniając) w liczniku dowolną inną liczbę całkowitą (oprócz zera i wielokrotności mianownika) nadal będą one ułamkami okresowymi nieskończonymi. Dlaczego? Właśnie dlatego, że nie można ich sprowadzić do postaci dziesiętnej (jako kombinacja 2 i/lub 5 w mianowniku), co już wcześniej zostało powiedziane.

Teraz zobaczmy co się będzie działo, gdy nasza dziecięca fantazja zechce nieco pobawić się w poszukiwanie ciekawego sposobu, aby złapać za ogon nieskończoną okresową liczbę, tak aby sprytnie zapisać ją w postaci ułamka.

Podsumowanie: Ułamki, które nie dają się zapisać w postaci rozwinięcia skończonego są ułamkami nieskończonymi okresowymi. A te mają ciekawe właściwości, które często pojawiają się w nietypowych zadaniach (zwykle konkursowych). Następnym razem zobaczymy kilka zadań praktycznych, które będą wyjaśniały w jaki sposób można wykorzystywać właściwości związane z powtarzaniem się określonej grupy cyfr. Mam nadzieję, że dzięki temu temat ułamków skończonych i nieskończonych będzie miał w końcu solidną podstawę (jak kto woli dobre wprowadzenie).

Ułamki skończone czy nieskończone - rozpoznasz mianownik i wiesz kiedy ogon zapłonie

Po czym rozpoznać czy rozwinięcie dziesiętne ułamka będzie się ciągnęło w nieskończoność, a kiedy na pewno skończy się na danym miejscu? (cyfrze).

Mam na to fajny i prosty sposób, którego można się łatwo i szybko nauczyć. Na czym on polega? Zaraz o tym sobie powiemy.

Ułamki dziesiętne (powstałe z dzielenia dwóch liczb całkowitych) mogą mieć tylko dwa rodzaje rozwinięcia: skończone lub nieskończone okresowe. Często ciekawość dziecięca popycha umysł do tego, aby rozpoznać zasadę, która kieruje tym czy dany ułamek ma rozwinięcie skończone czy też nieskończone (czyli takie w którym cyfra lub grupa cyfr będzie się powtarzać).

Wystarczy w tym celu zapamiętać jedną prostą zasadę: mianownik takiego ułamka musi po skróceniu (jeśli da się skrócić) zawierać jedynie czynniki 2, 5 lub jednocześnie 2 i 5 (dowolna kombinacja dwójek i/lub piątek). Jeśli tak się dzieje, wówczas zawsze będzie on ułamkiem dziesiętnym o rozwinięciu skończonym.

Podsumowanie: umiejętność oceny tego czy ułamek można zapisać w postaci dziesiętnej, (tak aby podawać jego dokładną wartość) jest ważna, ponieważ łatwo będzie wówczas przekształcać go w systemie dziesiętnym bez konieczności przybliżania. Można takie ułamki spokojnie dodawać bądź odejmować (po znalezieniu podstawy dziesiętnej), wiedząc że ich wspólny mianownik będzie zawsze występował jako naturalna potęga liczby 10. Tego typu ułamkami można również bez problemu wyrażać wartości procentowe. No i na sam koniec można jeszcze dodać, iż mając pewność, że tego typu ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone, zawsze operujemy na dokładnej wartości takich ułamków. Nie popełniamy wówczas żadnego błędu (przybliżenia).

Magiczne porównywanie ułamków - czyli ułamki rakietowe są do porównywania gotowe

Czasami dzieci potrzebują oryginalnego sposobu, którym można byłoby w miarę szybko i prosto porównać wartości dwóch ułamków. Czy zawsze konieczne jest ich rozszerzanie do wspólnego mianownika czy też można inaczej?

Zaproponuję koncepcję rakietowych ułamków! A więc... ułamki rakietowe do porównywania gotowe!

Podsumowanie: wykorzystywanie prostych i efektywnych sztuczek może pozwalać na to, aby matematyka stawała się coraz bardziej przyjazna, miła i przystępna. Wystarczy jedynie znajdować oryginalne koncepcje, które można stosować do tego, aby ułatwić sobie rachunki czy też uprościć proces na tyle, aby nie stanowił wyzwania. Takim przykładem może być koncepcja "ułamków rakietowych", które aż się proszą, aby je z przyjemnością wystrzelić w kosmos... nieskończonej fantazji, nieograniczonej wyobraźni oraz przede wszystkim dobrej zabawy!

Matematyczne pytania i odpowiedzi - czyli jak nasza ciekawość poszukuje podpowiedzi (2)

Naturalna ciekawość dzieci prowadzi do tego, że zaczynają one zadawać różne pytania, które często sprawiają, iż dorośli nie wiedzą co i jak odpowiedzieć. Być może warto od czasu do czasu poczytać sobie taki zestaw pytań i odpowiedzi, bo nigdy nie wiadomo co w umyśle poszukującego dziecka tak naprawdę siedzi. Powszechnie wiadomo, że są to takie niewygodne i trudne pytania, które w dorosłych wywołują sporo wahania oraz niedowierzania.

Temu właśnie będzie służyć seria "Kto pyta, nie błądzi". Będzie to zbiór pytań i odpowiedzi, które przynajmniej na początkowym etapie mogą służyć jako zaspokojenie ciekawości. Oczywiście warto poszukiwać pogłębionych odpowiedzi w tych zagadnieniach w których nasza ciekawość nas prowadzi.

Na początek seria pytań i odpowiedzi związana z  liczbami, które są ułamkami. Pamiętajmy zawsze o tym, że te proponowane odpowiedzi są jedynie drogowskazem, który pokazuje kierunek poszukiwań. Często bowiem na jedno pytanie można byłoby zawrzeć pogłębioną odpowiedź na kilku lub nawet kilkunastu stronach! Tak, to nie pomyłka! Razem z wyjaśnieniem niektórych zagadnień potrzebne są odpowiednie przykłady i ćwiczenia, bo dopiero dzięki nim można tak naprawdę zrozumieć istotę tego o co nas pytają inni.

Pamiętajmy, że dobra odpowiedź to taka, która sprawia, że nasz umysł domaga się dalszych odpowiedzi... i sam stawia kolejne pytania! Dlatego dobrze jest zaakceptować i zrozumieć, że niekończące się pytania to naturalna ciekawość, która zostaje zaspokojona tylko chwilowo. Dopiero dalsze samodzielne zgłębianie tematów oraz testowanie różnych pomysłów może sprawić, że zaczniemy wyciągać pewne wnioski i budować kolejne piętra naszej wiedzy i zrozumienia na fundamencie nieskrępowanych i oryginalnych pytań. Kto pyta... nie błądzi! :)

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (5)

Udało nam się już dość dogłębnie poznać koncepcję tego czym jest zarówno wspólna wielokrotność (NWW) i jak wspólny dzielnik (NWD). To pierwsze pojęcie mówi o najmniejszej liczbie (wartości), zaś to drugie o największej. Dlaczego? Otóż dlatego, że wielokrotności dwóch liczb mamy nieskończenie wiele, zaś ta pierwsza wspólna, to właśnie ta najmniejsza. Natomiast w przypadku dzielnika chodzi nam o to, aby maksymalnie uprościć (zredukować, skrócić), więc poszukujemy dzielnika, który będzie największy z możliwych. To powinno być teraz w pełni oczywiste i jasne jak słońce.

I w końcu przyszła pora na zadania praktyczne. Jak mogą wyglądać zadania w których trzeba zastosować obie koncepcje? Oto przykładowe proste łamigłówki. Mam nadzieję, że poniższe zadania będą mogły pokazać dzieciom, że tak naprawdę dość często wykorzystujemy te koncepcje, chociaż często nie zdajemy sobie z tego sprawy.

Zadania na wykorzystanie NWW

1. Jaki jest pierwszy (najbliższy) punkt wspólnego spotkania dwojga dzieci, których (równe) kroki, to odpowiednio 60 i 80 cm?

2. Bolek i Lolek budują swój własny mur z cegieł, kładąc je jedna na drugiej. Na jakiej najmniejszej wysokości (poziomie) spotkają się ich mury, gdy wiemy, że Bolek układy cegły o grubości 15 cm, zaś Lolek cegły 25 centymetrowe?

3. Ania i Basia bawią się magicznymi pieniędzmi. Są nimi banknoty 15 i 35 złotowe. Jaka jest minimalna kwota identyczna dla obu z nich, która zostanie zebrana z banknotów jednego nominału? Ania zbiera tylko banknoty o mniejszym nominale, zaś Basia – o większym.

4. Marcin i Kasia bawią się w zawody. Oboje wykorzystują do zabawy mechaniczne żaby, które stale wykonują identyczne skoki. Żaba Marcina skacze po 60 cm, zaś żaba Kasi po 80 cm. W jakiej najmniejszej odległości od początku (linii startu) spotkają się obie żaby? Ile skoków zrobi żaba Marcina, a ile żaba Kasi?

5. Ćwiczenia z matematyki są pakowane w paczki po 25 sztuk, zaś z fizyki po 60 sztuk. Każde ćwiczenia mają grubość 10 mm. Jaka jest minimalna wysokość na której zarówno paczki ćwiczeń z matematyki jak i z fizyki będą znajdowały się na tym samym poziomie? Ile musi być takich paczek matematycznych, a ile fizycznych?

Zadania na wykorzystanie NWD

1. Tomasz i Agatka zbierali monety, aż w końcu Tomasz uzbierał 650 złotych, a Agatka 350 złotych. Jakie mogą być największe identyczne banknoty (będące w użyciu), którymi można wypłacić (zamienić monety na banknoty) zebraną kwotę każdemu z nich? Ile takich banknotów otrzyma Tomasz, a ile Agatka?

2. Podłoga w łazience jest w kształcie prostokąta i ma wymiary 360 x 220 centymetrów. Jakie mogą być największe kwadratowe płytki, którymi można pokryć (wyłożyć) tę podłogę? Ile takich płytek potrzeba na pokrycie całej podłogi w łazience. Oblicz koszt zakupu płytek, wiedząc, że każda z nich kosztuje 20 złotych.

3. W hurtowni mamy 1200 czekolad mlecznych i 1600 czekolad orzechowych (wszystkie tej samej wielkości – każda z nich waży 100 gram). Jaka może być największa liczba czekolad, które zmieszczą się do pudełka, które będzie zawierało tyle samo czekolad mlecznych co orzechowych? (różne czekolady są pakowane do osobnych pudełek). Ile takich pudełek będzie potrzebnych do spakowania czekolad mlecznych, a ile do orzechowych? Jaka będzie waga jednego pudełka z czekoladami mlecznymi, a jaka dla pudełka z orzechowymi?

4. Mamy dwa zbiorniki. W jednym znajduje się sok pomarańczowy, a w drugim – sok porzeczkowy. Pierwszy zbiornik ma pojemność 420 litrów, natomiast drugi 300 litrów. Jaka jest największa pojemność zbiorników, w które możemy przelać oba soki (chodzi o identyczne zbiorniki dla każdego soku). Ile będzie ważył taki zbiornik, jeśli 1 litr soku waży 1 kg?


Powyższe zadania są raczej dość proste, więc od razu dodam, że w tym artykule pokazuję tylko te najbardziej oczywiste i zarazem życiowe zastosowania. Można bowiem spotkać w podręcznikach i ćwiczeniach znacznie bardziej różnorodne. Przykłady wybrane przeze mnie służą jedynie jako dowód na to, że „NWW i NWD to wcale nie są abstrakcyjne pojęcia, których nigdy w życiu nie będziemy mogli zastosować”.

Podsumowanie: NWW i NWD to koncepcje, które dość często używamy, ale rzadko zdajemy sobie z tego sprawę. Dopiero pokazanie zadań praktycznych i wyjaśnienie sensu tego co robimy, powinno dać poczucie, iż nie są to jedynie tematy, które przypadkowo i niepotrzebnie znajdują się w programie nauczania matematyki. Być może ta seria – a w szczególności powyższe zadania – będzie dobrą zachętą do przyjrzenia się bliżej temu zagadnieniu i pokazaniu jak można je stosować w praktycznych, życiowych sytuacjach. Dzięki temu możemy odczarować te mocno zaniedbane matematyczne sierotki.