Bywają tematy, które pozornie wyglądają na raczej łatwe i do omówienia na 1-2 zajęciach matematycznych w tradycyjnej w szkole. Mnie to jednak w zupełności nie odpowiada. Po prostu niektóre zagadnienia tak mnie męczą miesiącami, że pozornie wydaje mi się, że je rozumiem, ale gdy przychodzi konieczność wyjaśnienia tego pięciolatkowi, to okazuje się, że sam tego tak naprawdę dobrze nie rozumiem.
Jednym z takich tematów jest tworzenie, klasyfikacja oraz definiowanie czworokątów. I co najciekawsze pomimo tego, że temu zagadnieniu poświęciłem już kilka artykułów, to okazuje się, że nadal są jeszcze czarne dziury lub białe plamy w mojej wiedzy i rozumieniu tego tematu. Spróbujmy zatem się im uważniej przyjrzeć i zobaczymy co można z nimi zrobić. Zatem zaczynajmy…
W serii związanej z wysokością, w pewnym momencie postanowiłem stworzyć tabelkę, które podbiła mój świat czworokątów. Nie dość, że przejrzysta, to jeszcze zawiera w sobie wszystkie niezbędne informacje związane zarówno z definicją figur jak też ich różnicami. Przytoczę te tabelkę, ponieważ jest kluczowa w rozważaniach.
Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.3 https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/02/wysokosc-w-figurach-rewelacyjnie.html
Widzimy w powyższej tabelce, że pokazuje ona wzajemne relacje między czworokątami w oparciu o długości boków, ich równoległość jak też kąty wewnętrzne (tzn. kąty proste). Kluczowe w jej zrozumieniu jest wyraźne określenie granic poprzez wykorzystanie zwrotów „zawsze” oraz „każdy ***” (w miejsce gwiazdek wstawiamy nazwę danej figury). W ten sposób nie ma tutaj już miejsca na jakiekolwiek wątpliwości. Wystarczy tylko uważnie się przyjrzeć tabelce i odpowiednim komórkom, aby opanować zarówno różnice między figurami jak i ich definicje.
No dobrze, ale czy to wszystko? Okazuje się, że nie. Przecież figury mają również przekątne, czyli odcinki, które łączą dowolne dwa wierzchołki, nie będące bokami. No to w takim razie zajmijmy się tymi przekątnymi i sprawdźmy jakie są zależności między nimi w omawianych czworokątach.
Zatem w wolnej chwili pracując na kolejną serią, w artykule z dwójką na końcu, postanowiłem stworzyć tabelkę, która będzie mogła w jakiś sposób pomóc w tym, aby przynajmniej w jakimś ogólnym zarysie widzieć to jak się ku sobie mają przekątne.
No dobrze, ale czy to wszystko? Okazuje się, że nie. Przecież figury mają również przekątne, czyli odcinki, które łączą dowolne dwa wierzchołki, nie będące bokami. No to w takim razie zajmijmy się tymi przekątnymi i sprawdźmy jakie są zależności między nimi w omawianych czworokątach.
Zatem w wolnej chwili pracując na kolejną serią, w artykule z dwójką na końcu, postanowiłem stworzyć tabelkę, która będzie mogła w jakiś sposób pomóc w tym, aby przynajmniej w jakimś ogólnym zarysie widzieć to jak się ku sobie mają przekątne.
Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (2) https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/05/proste-i-ich-magiczne-wasciwosci_11.html
No i po raz kolejny zamieszczę tutaj tabelkę o której mowa, tak aby zobaczyć co mam na myśli. Owszem, tabelka w miarę przyzwoicie wykonana, ale jednak zawiera te wyjątki do których można się bez większych problemów nie tyle przyczepić… co trochę się w nich pogubić. Słowem: tabelka jest jakimś zarysem i okazją do samodzielnego dalszego poszukiwania, ale przecież nie każdy ma czas i ochotę na to, aby analizować matematyczne cuda, zwłaszcza że wchodzi w rachubę nieco płynna sprawa: definiowanie figur. Z jednej strony na polecenie pani w szkole, aby Jaś narysował trapez, może on narysować zwykły (standardowy) trapez, ale równie dobrze może narysować zarówno równoległobok, romb, prostokąt czy kwadrat! Jak to??? Kwadrat jest trapezem? Prostokąt to też trapez? O co chodzi? No właśnie chodzi o pewne ustalenia, które mają na celu uprościć nam komunikację w zakresie matematyki. I stąd właśnie jakiś czas temu otrzymałem pytanie od Marysi, czy prostokąt albo kwadrat są trapezami. Albo czy trapez może mieć wszystkie kąty proste. Wówczas odpowiedziałem, że tak do końca nie wiem, ale wydaje mi się, że tak. Teraz wiem, że to była dobra odpowiedź nawet jeśli mało przekonująca. No i pomimo, że udzieliłem odpowiedzi, to obiecałem (przynajmniej sobie), że kiedyś w tak zwanej wolnej chwili... wrócę do tego tematu. No i chyba ten moment w końcu nadszedł.
Trzecie podejście mam nadzieję, że będzie tym razem bardziej wyczerpującą próbą pogłębienia jak i zrozumienia tego tematu. Zwłaszcza, że w zasadzie jesteśmy coraz bliżej, bo analiza czworokątów w odniesieniu do przekątnych niejako ostatni etap.
Co mnie przekonało do tego, aby jeszcze coś wycisnąć z tego tematu i jednak go opublikować? Nie, nie jest to moja chwała i wieczna pamięć potomnych, lecz po prostu chęć podzielenia się tym, co u mnie w głowie zaświtało i może być pomocne także dla innych.
Z jednej strony przy tworzeniu tabeli, nie wziąłem pod uwagę trapezu, bo omówienie tej figury powinno mieć w osobnym miejscu (artykule). Ponadto zdecydowałem, że ominę problem związany z „podwójnością” definicji figur (kwadrat to zarówno prostokąt jak i romb i przy okazji też trapez). No i myślę, że mi się to w końcu udało.
Osoby, które chcą mieć najgłębsze zrozumienie tego zagadnienia, proszone są o zapoznanie się z artykułem, który jest kontynuacją serii „proste i ich magiczne właściwości”. Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3) https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/06/proste-i-ich-magiczne-wasciwosci.html
Jego lektura jest istotna o tyle, że dzięki niemu będziemy mieli pełny obraz tego co „przeskoczyłem”, a teraz chcę niejako uzupełnić. Zatem zobaczmy co takiego chcę dodać do poprzednich moich rozważań.
Trzecie podejście mam nadzieję, że będzie tym razem bardziej wyczerpującą próbą pogłębienia jak i zrozumienia tego tematu. Zwłaszcza, że w zasadzie jesteśmy coraz bliżej, bo analiza czworokątów w odniesieniu do przekątnych niejako ostatni etap.
Co mnie przekonało do tego, aby jeszcze coś wycisnąć z tego tematu i jednak go opublikować? Nie, nie jest to moja chwała i wieczna pamięć potomnych, lecz po prostu chęć podzielenia się tym, co u mnie w głowie zaświtało i może być pomocne także dla innych.
Z jednej strony przy tworzeniu tabeli, nie wziąłem pod uwagę trapezu, bo omówienie tej figury powinno mieć w osobnym miejscu (artykule). Ponadto zdecydowałem, że ominę problem związany z „podwójnością” definicji figur (kwadrat to zarówno prostokąt jak i romb i przy okazji też trapez). No i myślę, że mi się to w końcu udało.
Osoby, które chcą mieć najgłębsze zrozumienie tego zagadnienia, proszone są o zapoznanie się z artykułem, który jest kontynuacją serii „proste i ich magiczne właściwości”. Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (3) https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2019/06/proste-i-ich-magiczne-wasciwosci.html
Jego lektura jest istotna o tyle, że dzięki niemu będziemy mieli pełny obraz tego co „przeskoczyłem”, a teraz chcę niejako uzupełnić. Zatem zobaczmy co takiego chcę dodać do poprzednich moich rozważań.
Główna tabela pokazuje cztery najważniejsze figury (czworokąty) w kontekście przyglądania się ich przekątnym. Widzimy w niej zarówno proste odzwierciedlenie figur jak i symbole potwierdzenia danej informacji (zielone kółko z ptaszkiem w środku), jak też chmurkę w której jest zapytanie (symbol pytajnika). I znowu chciałem to zrobić maksymalnie poprawnie a zarazem tak, aby było to wartościowe opracowanie.
Jak korzystać z tej tabeli? Jest kilka sposobów na to, aby wycisnąć z niej jak najwięcej (taki jest mój zamiar, aby dać maksimum inspiracji). Zatem pokrótce omówię po kolei to co najistotniejsze...
1. W tabeli widzimy zielone ptaszki, które ukazują niepodważalne (jednoznaczne) cechy związane z przekątnymi. Inaczej mówiąc, warto na początek przyjrzeć się wyłącznie tym zielonym ptaszkom (zielonym kołom), aby opanować niezbędne minimum związane z przekątnymi. I tak: dla prostokąta to dwie właściwości (informacje do zapamiętania), dla kwadratu – trzy, równoległoboku – jedna, zaś dla rombu – dwie. Trzeba się ich nauczyć, aby potem łatwiej dostrzegać różne zależności, które będą kluczowe dla zrozumienia tego jak powstają dane figury.
2. Drugie spojrzenie na tabelę polega na porównywaniu dwóch par figur: prostokąta z kwadratem oraz równoległoboku z rombem. Widzimy w trzeciej kolumnie (w kategorii opisującej przekątne) chmurkę z pytajnikiem. Normalnie tradycyjnie oznacza ona „NIE”. Jednak z uwagi na to, że nie chcę kolejnych dyskusji związanych z tym, że pewne uproszczenie ktoś odbierze jako formalny błąd, więc zastąpiłem to chmurką z pytajnikiem, czyli taką „chmurką do przemyślenia”.
Widzimy teraz, że od tej chmurki (z kategorii prostokąta) wychodzi strzałka i przechodzi na zielonego ptaszka, który jest naszym potwierdzeniem danej własności figury (w tym przypadku kwadratu). I teraz wystarczy zadać pytanie (sobie oraz dzieciom) o to co by się stało, gdybyśmy w tradycyjnym prostokącie (czyli nie kwadracie) tak obracali przekątne względem siebie, aby zatrzymały się prostopadle? W momencie, gdy mamy przekątne, które są do siebie prostopadłe, wówczas wystarczy połączyć ze sobą wierzchołki… i powstanie – tak, właśnie kwadrat! Analogicznie jeśli w zabawie równoległobokiem (i jego przekątnymi) znowu sprawimy, że będą (staną) w stosunku do siebie prostopadłe… to powstanie romb! A dalej? Można jeszcze odwrócić kierunek, więc z przekątnych kwadratu przekątne ustawiamy je tak, aby nie były prostopadłe i rzecz jasna otrzymujemy prostokąt, zaś z rombu… równoległobok! Wystarczy tylko usunąć prostopadłość między przekątnymi i mamy naglę magię tworzenia figur! Czy to ważne? Tak! A dlaczego? Dlatego, że dzieci w takim procesie poznają doświadczalnie własności figur i rozumieją za pomocą manipulacji przekątnymi, jaka jest różnica między prostokątem i kwadratem oraz równoległobokiem a rombem.
2. Drugie spojrzenie na tabelę polega na porównywaniu dwóch par figur: prostokąta z kwadratem oraz równoległoboku z rombem. Widzimy w trzeciej kolumnie (w kategorii opisującej przekątne) chmurkę z pytajnikiem. Normalnie tradycyjnie oznacza ona „NIE”. Jednak z uwagi na to, że nie chcę kolejnych dyskusji związanych z tym, że pewne uproszczenie ktoś odbierze jako formalny błąd, więc zastąpiłem to chmurką z pytajnikiem, czyli taką „chmurką do przemyślenia”.
Widzimy teraz, że od tej chmurki (z kategorii prostokąta) wychodzi strzałka i przechodzi na zielonego ptaszka, który jest naszym potwierdzeniem danej własności figury (w tym przypadku kwadratu). I teraz wystarczy zadać pytanie (sobie oraz dzieciom) o to co by się stało, gdybyśmy w tradycyjnym prostokącie (czyli nie kwadracie) tak obracali przekątne względem siebie, aby zatrzymały się prostopadle? W momencie, gdy mamy przekątne, które są do siebie prostopadłe, wówczas wystarczy połączyć ze sobą wierzchołki… i powstanie – tak, właśnie kwadrat! Analogicznie jeśli w zabawie równoległobokiem (i jego przekątnymi) znowu sprawimy, że będą (staną) w stosunku do siebie prostopadłe… to powstanie romb! A dalej? Można jeszcze odwrócić kierunek, więc z przekątnych kwadratu przekątne ustawiamy je tak, aby nie były prostopadłe i rzecz jasna otrzymujemy prostokąt, zaś z rombu… równoległobok! Wystarczy tylko usunąć prostopadłość między przekątnymi i mamy naglę magię tworzenia figur! Czy to ważne? Tak! A dlaczego? Dlatego, że dzieci w takim procesie poznają doświadczalnie własności figur i rozumieją za pomocą manipulacji przekątnymi, jaka jest różnica między prostokątem i kwadratem oraz równoległobokiem a rombem.
3. Trzecie spojrzenie na tabelę. Teraz również będziemy się bawili w porównywanie figur, ale w innych konfiguracjach. Tym razem pary będą tworzyły: prostokąt z równoległobokiem jak też kwadrat z rombem. I znowu bawimy się w odkrywanie zależności i relacji, tyle że pytają o to, co się stanie jeśli w równoległoboku (i jego przekątnych) nadal będą one przecinały się w połowie, ale obie z nich będą równej długości. Chmurka do przemyślenia pokazuje na co trzeba zwrócić uwagę, aby eksperyment się udał. Analogicznie widzimy chmurkę, która wychodzi z rombu, aby stać się kwadratem. No i oczywiście później odwracamy proces (kierunek strzałki) i znowu sprawdzamy czy wszystko się zgadza. Jestem pewien, że będzie to nie tylko świetna zabawa, ale i cenna lekcja testowania, odkrywania oraz wnioskowania. Tak, na czworokątach również można się uczyć myśleć logicznie i wyciągać wnioski. Nie tylko można, ale i trzeba!
4. Ostatnie spojrzenie na tabelę. Jeśli mamy w dwóch figurach chmurki do przemyślenia pod sobą, wówczas po prostu pomijamy tę cechę. Mówiąc w drobnym uproszczeniu, ta chmurka dotycząca danej własności dla dwóch dowolnych figur, oznacza że standardowo żadna z figur nie posiada tej cechy (bo gdyby posiadała, to stała by się inną figurą).
Mam nadzieję, że teraz nasze zrozumienie czworokątów patrząc na nie przez pryzmat przekątnych i tego w jaki sposób ich długość, wzajemny punkt przecięcia oraz kąt jaki tworzą względem siebie… sprawi, że będziemy mogli jeszcze lepiej zrozumieć sens tego jakie są między nimi wspólne elementy, jakie różnice oraz skąd się one biorą i co oznaczają.
I teraz dopiero można przejść do zapisywania wniosków jak też powstałych figur do komórek tabeli, które zaprezentowałem w części trzeciej serii („proste i ich magiczne właściwości”). Jako, że nie każdy zapewne będzie chciał szukać ich w poprzednim artykule to raz jeszcze je tutaj umieszczę. Oczywiście te puste służą do odkrywania, zaś te wypełnione – sprawdzenia czy nam wszystko dobrze wyszło. Wierzę, że będzie to ciekawa i wartościowa pomoc dla tych, którzy nie mają czasu bądź ochoty, aby samodzielnie wszystko opracowywać.
4. Ostatnie spojrzenie na tabelę. Jeśli mamy w dwóch figurach chmurki do przemyślenia pod sobą, wówczas po prostu pomijamy tę cechę. Mówiąc w drobnym uproszczeniu, ta chmurka dotycząca danej własności dla dwóch dowolnych figur, oznacza że standardowo żadna z figur nie posiada tej cechy (bo gdyby posiadała, to stała by się inną figurą).
Mam nadzieję, że teraz nasze zrozumienie czworokątów patrząc na nie przez pryzmat przekątnych i tego w jaki sposób ich długość, wzajemny punkt przecięcia oraz kąt jaki tworzą względem siebie… sprawi, że będziemy mogli jeszcze lepiej zrozumieć sens tego jakie są między nimi wspólne elementy, jakie różnice oraz skąd się one biorą i co oznaczają.
I teraz dopiero można przejść do zapisywania wniosków jak też powstałych figur do komórek tabeli, które zaprezentowałem w części trzeciej serii („proste i ich magiczne właściwości”). Jako, że nie każdy zapewne będzie chciał szukać ich w poprzednim artykule to raz jeszcze je tutaj umieszczę. Oczywiście te puste służą do odkrywania, zaś te wypełnione – sprawdzenia czy nam wszystko dobrze wyszło. Wierzę, że będzie to ciekawa i wartościowa pomoc dla tych, którzy nie mają czasu bądź ochoty, aby samodzielnie wszystko opracowywać.
Podsumowanie: umiejętność dostrzegania wspólnych elementów oraz ich relacji między sobą, to po prostu praktyka na otwartym umyśle. Ważne, aby odkrywaniu towarzyszyła ciekawość, poczucie sensu, sprawstwa jak też radości. Im lepiej zaprojektowane sytuacje prowadzące do tego, tym bardziej skutecznie dzieci będą w stanie opanować zagadnienia, które w tradycyjnej szkole wydają się być często albo niezrozumiałe albo też po kilku tygodniach nie ma po nich śladu. A przecież wystarczy tylko odpowiednio przygotować i uaktywnić proces poszukiwania, odkrywania jak i wyciągania wniosków. Ja akurat nigdy w szkole nie miałem takiej okazji, więc bardzo zależy mi na tym, aby inni mieli taką okazję.
