Ostatnim razem zastanawialiśmy się nad tym jak powstaje koło z kwadratu. Wierzę, że odkrywanie właściwości koła i okręgu może być bardzo ciekawym doświadczeniem. Na początek proponuję zapoznać się z poprzednimi artykułami, bo to może pomóc uporządkować wszystkie informacje, zanim przejdziemy do poszukiwania kolejnych właściwości.
W przypadku pierwszego artykułu polecam przeczytać od końcówej części (pod ostatnią grafiką, gdzie mamy niebieski napis Teraz odpowiedzmy sobie na tytułowe pytania), natomiast drugi artykuł proponuję przeczytać od deski do deski. Wierzę, że nie tylko zaspokoi to ciekawość, ale dodatkowo da możliwość płynnego przejścia do dzisiejszych rozważań. Oto one:
1) Czy ten prostokąt jest trójkątem a tamten kwadrat na pewno jest kołem - czyli ustalenie oraz zaakceptowanie jednoznacznych definicji
2) Jak powstaje koło z kwadratu - czyli jak wygląda wnioskowanie na prostych koncepcjach
Po lekturze powyższych artykułów spróbujmy przyjrzeć się temu co się dzieje z okręgiem lub kołem, gdy będziemy chcieli dowiedzieć się tego, co się w nich kryje na głębszych poziomach.
Na początek zastanowimy się nad tym czym jest odcinek, okrąg, koło, promień, średnica jak i cięciwa. Później zadamy sobie następujące pytania, na które również poszukamy odpowiedzi:
1) Jak znaleźć środek okręgu lub koła?
2) Co to znaczy wpisać figurę w okrąg lub koło?
3) Które znane czworokąty możemy wpisać w okrąg lub koło?
4) Po czym rozpoznać, które czworokąty można wpisać w okrąg lub koło... bez ich wpisywania?
5) W jaki sposób przekątne ich ich punkty przecięcia mogą pomagać w zrozumieniu wpisywania czworokątów w okrąg bez zająknięcia?
6) Jakie twierdzenie pomaga nam upewnić się o tym, że poprawnie znaleźliśmy środek okręgu lub koła?
Zaczynajmy zatem!
Z uwagi na to, że będziemy mieli do czynienia z odcinkami w różnym kontekście, to zastanówmy się czym właściwie jest odcinek. Najprościej mówiąc, odcinek to linia prosta, która ma początek i koniec. Odróżniamy go od linii prostej (nie mającej początku ani końca) właśnie poprzez to, że wyraźnie zaznaczamy początek i koniec odcinka. Dzięki temu wiemy, że mamy na myśli odcinek, a nie prostą lub powiedzmy półprostą.
Kolejne pytanie na które musimy poznać odpowiedź, to rozróżnienie okręgu od koła. Można powiedzieć, że okręg to tylko zewnętrzna część koła, natomiast koło zawiera wszystko: zarówno ową zewnętrzną jak i wewnętrzną część. Inaczej mówiąc, okrąg to takie coś jak obręcz (kosza), obrączka (na rękę), bransoletka czy też dla małych dzieci tak zwane hula-hoop, zaś koło jest w całości wypełnione (nie posiada pustych przestrzeni), podobnie jak koło w samochodzie.
Teraz dobrze byłoby zastanowić się nad definicją okręgu i koła. W zależności od autora można znaleźć różne definicje, ale każda musi mieć tę samą część wspólną i być jednoznaczna dla każdego odbiorcy. Jedną z takich definicji może być chociażby taka:
Okrąg to brzeg koła lub linia, którą rysuje nam cyrkiel. Natomiast koło to okrąg i jego wnętrze. Pomiędzy kołem i okręgiem jest zasadnicza różnica. Okrąg to krzywa linia, a koło to figura geometryczna, w skład której wchodzi okrąg jak i wszystkie punkty znajdujące się w jego wnętrzu.
Mam nadzieję, że teraz już mamy dość prostą definicję okręgu i koła, więc na kolejne piętra matematycznych tajemnic każdy z nas wdrapać się zdoła.
No dobrze, ale co jest najważniejsze w okręgu (lub kole)? To, że mamy jeden punkt (nazwijmy go centrum czy też środkiem) od którego mamy inne punkty leżące w dokładnie tej samej odległości od tego centralnego punktu. Jeśli w każdą stronę narysujemy odcinek tak samo odległy od środka, który będzie drobnym punktem, to w końcu te zewnętrzne punkty ("kropki") utworzą linię krzywą, ale taką, że będzie ona tak samo odległa z każdego miejsca w kierunku punktu centralnego (środka). I to właśnie zagwarantuje nam powstanie okręgu, gdy owe zewnętrzne kropki będą tak gęsto (ciasno) upakowane między sobą, że nie będziemy widzieli pustych luk między nimi (będą tworzyły linię ciągłą, a nie przerywaną).
Natomiast w przypadku koła, wiemy że zawiera zarówno okrąg jak i dodatkowo wszystkie punkty (tworzące pewną przestrzeń) pomiędzy zewnętrzną częścią a środkiem, włącznie z owym środkiem koła czyli naszym punktem centralnym.
Nadeszła zatem pora na promień. Czym jest ów promień? Otóż jest to odcinek, który łączy środek okręgu (koła) z jego zewnętrzną częścią (punktem). Przy czym nie ma żadnego znaczenia czy początek odcinka (bądź też koniec) będzie w środku (to znaczy w punkcie centralnym) czy też na zewnętrznej linii krzywej.
Gdybyśmy teraz chcieli znaleźć jakikolwiek odcinek, zakładając że musi on przecinać okrąg w dwóch różnych punktach, to okaże się, że taki odcinek ma konkretną nazwę. Otóż ten odcinek to cięciwa - jest to przy okazji część łuku, który dawniej był używany jako broń, służąca do wystrzeliwania pocisków jakimi były strzały. Dodajmy w tym miejscu, że pojęcie łuku matematycznego jest nieco inne, ale bardzo podobne jeśli chodzi o podobieństwo do tego rodzaju starodawnej broni.
Okazuje się, że najdłuższy taki odcinek (cięciwa), który możemy narysować w okręgu (kole) jest tylko jeden. Co istotne, musi on zawsze przechodzić przez środek okręgu (koła). Wtedy taki najdłuższy odcinek (cięciwa) to średnica, składająca się z długości dwóch promieni. Oczywiście możemy rysować średnice w różnych kierunkach (jest ich nieskończenie wiele), ale zapamiętajmy, że zawsze muszą ona być odcinkiem, który przechodzi przez punkt centralny, czyli środek koła (okręgu).
I teraz najwyższa pora na odkrywanie kolejnych tajemnic matematyki związanych z okręgiem lub kołem. Weźmy przykład, który jest praktyczny a zarazem ciekawy, bo bardzo często możemy się z nim spotkać (zwłaszcza gdy przyjrzymy się uważnie temu, gdzie znajdziemy koło w naszym najbliższym otoczeniu).
WYZNACZANIE ŚRODKA OKRĘGU LUB KOŁA - CZYLI KTO MAM POMÓC W TYM ZDOŁA?
Wyobraźmy sobie, że mamy na podwórku (czy też na placu zabaw) koło, ale niestety po pewnym czasie (albo na samym początku) jego środek stał się niewidoczny (być ktoś zapomniał go oznaczyć). W jaki sposób możemy dokładnie wyznaczyć ów środek? Czy jest jakiś sposób, aby tego dokonać?
Wiemy z poprzedniej części, że promień jako odcinek biegnący od środka do zewnętrznej części, jest identyczny w danym okręgu, bez względu na to w którą stronę go narysujemy lub wyznaczymy.
Możemy zatem zacząć od narysowania w okręgu różnych cięciw, które przecinają się we wspólnym punkcie, sprawdzając jednocześnie jak się one przecinają. Szybko przekonamy się, że owe odcinki (cięciwy) przecinają się we wspólnym punkcie, ale raczej odcinki biegnące od tego punktu w każdą stronę nie będą tej samej długości. Sprawdźmy kilka razy takie pary cięciw, najpierw rysując cięciwy w taki sposób, aby nie były do siebie prostopadłe, a potem właśnie narysujmy je tak, aby były możliwie jak najbardziej prostopadłe (idealnie z wykorzystaniem boków ekierki).
Po chwili wystarczy zmierzyć długość naszych par cięciw i za każdym razem starać się, żeby przecinały się one w swoich połowach. Tak samo robimy w przypadku par cięciw prostopadłych. Okazuje się, że w przypadku przecinania się takich cięciw, punkt centralny (środek okręgu lub koła) będzie leżał na tej prostopadłej cięciwie, która jest tą dłuższą cięciwą. To już coś, ale jeszcze nie jest to środek okręgu, który chcemy znaleźć.
1) Jak znaleźć środek okręgu lub koła?
W przypadku cięciw prostopadłych możemy jeszcze zastanowić się nad tym, żeby rysować je tak, aby przecinały się w tych samych proporcjach.
I teraz okazuje się, że jeśli będziemy wyrównywali owe proporcje, tak aby po każdej ze stron długości były identyczne, to okaże się, że w końcu dojdziemy do tego, gdzie znajduje się środek okręgu. Wystarczy jedynie sprawdzać długości prostopadłych odcinków, od miejsca ich przecięcia (nie trzeba mierzyć całych cięciw). Tyle, że zwykle będzie to wymagać nieco więcej czasu.
A jak zrobić to możliwie jak najszybciej? Oto pierwszy sposób, aby tego dokonać:
1) Rysujemy dowolną (w miarę krótką) cieciwę.
2) Mierzymy jej długość oraz wyznaczamy jej połowę (zaznaczając punkt).
3) Rysujemy prostopadłą cieciwę, która przechodzi przez wyznaczony punkt.
4) Mierzymy długość nowej cięciwy (średnicy) oraz wyznaczamy jej połowę.
5) No i już mamy środek okręgu (koła).
Warto podkreślić, że dzięki temu ćwiczeniu, znacznie łatwiej będzie zrozumieć w kolejnych artykułach co się dzieje, gdy wpisujemy trójkąt w okrąg.
Spróbujmy zatem sobie odpowiedzieć na pytania postawione na początku.
2) Co to znaczy wpisać figurę w okrąg lub koło?
Wpisywanie figury w okrąg lub koło, polega na tym, aby każdy jej wierzchołek dokładnie leżał na okręgu. Tutaj jest to w miarę proste, bo wystarczy tylko sprawdzić czy wszystkie wierzchołki wielokąta stykają się z punktami okręgu. Jeśli tak jest to, wielokąt jest (względnie może być) wpisany w okrąg, a jeśli nie - to nie może zostać w niego wpisany.
Teraz warto sobie postawić pytanie o to...
3) Które znane czworokąty możemy wpisać w okrąg lub koło?
Jeśli dobrze zrozumiemy sens tego, że promień (odcinek) odchodzący w każdą stronę okręgu (koła) musi być tej samej długości, to okazuje się, że wtedy gdy narysujemy dwie dowolne średnice (niepokrywające się), to będziemy mogli wpisać dowolny czworokąt, którego przekątne są tej samej długości i jednocześnie przecinają się w połowach (pomijamy na ten moment trapez równoramienny, nawet pomimo tego, że możemy go wpisać w okrąg lub koło).
No i dochodzimy do kluczowego pytania:
4) Po czym rozpoznać, które czworokąty można wpisać w okrąg lub koło... bez ich wpisywania?
Otóż wystarczy teraz przypomnieć sobie, które z czworokątów mają przekątne tej samej długości, jednocześnie przecinające się w połowach.
Są tylko dwie takie figury spełniające te warunki: prostokąt i kwadrat. Oznacza to, że obie z tych figur możemy wpisać w okrąg (koło), bo od ich punktu przecięcia przekątnych, każdy taki (krótki) odcinek jest identycznej długości, czyli w okręgu (kole) będą one jednocześnie promieniami.
Już zatem wiemy w jaki sposób przekątne i ich punkty przecięcia mogą pomagać w zrozumieniu wpisywania czworokątów w okrąg bez zająknięcia. Wystarczy zapamiętać, że od punktu przecięcia przekątnych w czworokącie, wszystkie odcinki biegnące do wierzchołków muszą być tej samej długości. Inaczej mówiąc, muszą to być czworokąty w których przekątne są tej samej długości i jednocześnie przecinają się w połowach.
Na koniec warto zastanowić się nad tym czy możemy idealnie wyznaczyć środek okręgu (koła) i jak się upewnić, że to na pewno jest środek.
5) Jakie twierdzenie pomaga nam upewnić się o tym, że poprawnie znaleźliśmy środek okręgu lub koła?
Jeśli mamy okrąg opisany na trójkącie prostokątnym (inaczej mówiąc mamy trójkąt wpisany w okrąg), wówczas środek okręgu opisanego leży dokładnie na środku przeciwprostokątnej. A połowa owej przeciwprostokątnej to idealnie wyznaczony środek okręgu (koła).
Co ciekawe (a zarazem nieco dziwne), owo twierdzenie odkrywane jest dopiero w szkole ponadpodstawowej, przy okazji działu dotyczącego figur wpisywanych w okrąg i opisywanych na okręgu.
W jaki sposób możemy zatem dokładnie wyznaczyć środek naszego okręgu (koła)?
ŚRODEK OKRĘGU LUB KOŁA - SPOSÓB 2
Oto drugi sposób, aby tego dokonać:
1) Rysujemy dowolny punkt na okręgu (A), a potem dwie proste prostopadłe przechodzące przez niego.
2) W ten sposób uzyskujemy dwie cięciwy (zwykle są one różnej długości), których końce oznaczamy jako B i C.
3) Następnie łączymy punkty B i C ze sobą za pomocą odcinka (przeciwprostokątna), który przechodzi przez środek okręgu (koła).
4) W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny ABC.
5) Rysujemy dwie proste prostopadłe wychodzące z punktu B i C.
6) Punkt przecięcia obu punktów B i C oznaczamy jako D.
7) Ostatni krok, to połączenie drugiej przekątnej prostokąta (kwadratu), czyli punktu A i D za pomocą odcinka.
8) Dzięki przecięciu się obu przekątnych w naszym prostokącie (wpisanym w okrąg) mamy środek naszego okręgu (koła). Możemy nazwać go literą O.
Na koniec warto jeszcze dodać, że w tym ostatnim ćwiczeniu jeśli trafimy w taki sposób, że pierwszy punkt A narysujemy w takim miejscu, że prostopadłe odcinki (cięciwy) AB i AC będą równej długości, to będziemy mieli kwadrat wpisanym w okrąg (kwadrat rzecz jasna też jest specjalnym rodzajem prostokąta).
W ten oto sposób możemy zrozumieć sens tego czym jest promień, średnica, jakie znaczenie mają przekątne w czworokątach w kontekście okręgu i koła. Warto odkrywać tego typu własności, ponieważ mogą one pomagać w zrozumieniu kolejnych zagadnień na następnych etapach wtajemniczenia.
Podsumowanie: Koło i okrąg są bardzo ciekawymi obiektami do manipulowania nimi, aby odkrywać różne własności związane z przystawaniem, przecinianiem oraz przeniknaniem się różnych figur (wielokątów) łącznie z różnymi liniami (proste oraz krzywe), tak samo jak i z innymi okręgami czy też kołami. Oczywiście rozcinanie koła na mniejsze części (równe i nierówne) także może pokazywać kolejne kierunki poszukiwania. Dodam, że od tego miejsca niemal automatycznie następuje badanie właściwości, które może przenosić się na realne obiekty w kształcie kuli (nawet jeśli nie są one idealnymi kulami w sensie matematycznym) tak jak chociażby arbuz czy też jabłko. Na ich bazie można sprawdzać matematyczne właściwości i stawiać kolejne pytania, jednocześnie poszukując odpowiedzi.
Świetny artykuł Tomaszu!
OdpowiedzUsuń