Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów dla zaawansowanych - czyli jak przemycić pociągi Sierpińskiego i trójkąty Pitagorasa

Pojawia się pytanie czy aktywności związane z układaniem i manipulowaniem figurami, mogą być wykorzystywane w przypadku uczniów starszych aniżeli 3-5 klasa SP. Inaczej mówiąc: czy można zaciekawić uczniów koncepcjami wymagającymi nieco więcej wiedzy? Czy przykładowo można zrobić im dobre wprowadzenie do zagadnień, które są realizowane w klasach, powiedzmy 7-10?

W tym artykule przedstawię takie wprowadzenie, które opiera się na tym co wcześniej przekazałem. Chodzi oczywiście o poprzedni artykuł z tej serii: Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów. 

https://matmajakiejnieznasz.blogspot.com/2022/07/klonowanie-i-ukadanie-kwadratow.html

Pytanie zatem czy i jak można przemycić twierdzenie Pitagorasa, trójkąty (i dywan) Sierpińskiego oraz (po)ciągi: arytmetyczny i geometryczny? Wydaje się to być dość karkołomne, ale przy odrobinie kreatywnego podejścia, myślę że jest do zrealizowania. Od razu zaznaczam, że jest to pewien sposób (kierunek) realizowania ciekawych i bardziej wymagających zajęć, ale na pewno można je realizować, dostosowując środki dydaktyczne i metody pracy, do konkretnych uczniów. A zatem zaczynamy!

Na początek bierzemy do testowania kwadraty.

CZĘŚĆ 1: Łączenie kwadratów ze sobą.



 

  

 

Mamy figurę (klocek), która wygląda następująco: na samej górze (najwyższej warstwie) jest jeden kwadrat, a poniżej kolejne trzy.

 

   

Budujemy następną figurę, tak aby kolejna warstwa była poszerzona z obu stron o jeden klocek (czyli łącznie o dwa klocki). Czyli pierwsza warstwa to jeden kwadrat, kolejna to trzy kwadraty, dalsza - pięć, zaś najniższa to dokładnie siedem kwadratów (elementów).

  

I teraz na podstawie tego ćwiczenia możemy poprosić naszych uczniów, o to, aby budowali kolejne warstwy. No i oczywiście pojawią się różnorodne pytania:

1) Ile klocków (kwadratów) potrzeba do tego, aby ułożyć figurę, która będzie miała 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

2) W jaki sposób obliczyć ile jest warstw tej figry jeśli znamy liczbę klocków?

3) Ile klocków potrzeba, aby z 5-warstwowca ułożyć 10-warstwowiec?

4) Co ci przypomina i z czym ci się kojarzy powstawanie kolejnych figur?

5) Jeśli bok każdego klocka (kwadratu) wynosi jeden, to jaki będzie obwód każdej z figur, która ma odpowiednio 3, 5, 7, 10, 20, 30 warstw?

6) Co się stanie z figurą jeśli jej prawą część odetniemy i przeniesiemy na lewą, aby powstała nowa figura? Jaka to będzie figura?

7) Czy pole nowej figury będzie inne niż podstawowej figury?

8) W jaki sposób najłatwiej obliczyć pole nowej figury w zależności od liczby warstw?

*9) wprowadzenie w zagadnienie: ciąg arytmetyczny i suma ciągu arytmetycznego oraz dla bardziej zaawansowanych - ciąg geometryczny i suma ciągu geometrycznego (na przykładzie szachów: szachownica i legenda o nagrodzie dla mędrca: podwajanie liczby ziaren na każdym kolejnym polu)

10) ile ziaren byłoby na kolejnych polach szachownicy, gdyby na pierwszym polu położyć jedno ziarno, a na każdym kolejnym zwiększać o dwa? (czyli drugie pole - 3 ziarna, trzecie - 5, czwarte - 7, etc.)

11) ile ziaren byłoby na kolejnych polach szachownicy, gdyby na pierwszym polu położyć jedno ziarno, a na każdym kolejnym powiększać dwukrotnie? (czyli drugie pole - 2 ziarna, trzecie - 4, czwarte - 8, etc.)

12) Jeśli znamy liczbę ziaren na danym polu, to w jaki sposób możemy określić, które to pole - w zależności od tego czy postęp następuje arytmetycznie bądź geometrycznie?

 

Dzięki tym ćwiczeniom powinniśmy zrozumieć to czym jest ciąg arytmetyczny i geometryczny, a dodatkowo co się dzieje z kolejnymi warstwami i jak można odkrywać i określać zależności między nimi.

Następnie na warsztat idą trójkąty równoboczne.

CZĘŚĆ 2: Łączenie trójkątów równobocznych ze sobą.

1) ile różnych figur może powstać gdy połączymy ze sobą trzy trójkąty?

2) ułóż z trzech i pięciu trójkątów - trapez, a z sześciu - szcześciokąt foremny

3) ułóż z czterech, dziewięciu i szesnastu trójkątów - trójkąt

4) jakie dostrzegasz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami trójkątów: jak się mają do liczby kwadratów z których budujemy większe kwadraty?

5) wykorzystanie pytań, które zadawaliśmy w przypadku kwadratów (to samo co w części pierwszej) oraz wyjaśnienie czym jest analogia

*6) wprowadzenie w zagadnienie: trójkąt i dywan Sierpińskiego

7) Narysowanie dużego trójkąta, przekształcenie w trójkąt Sierpińskiego i następnie wycinanie niepotrzebnych części (trójkątów)

Po tym jak już nieco sprawdziliśmy trójkąty, to z pewnością widzimy jakie są możliwości ich łączenia oraz jakie figury (kształty) powstają dzięki różnorodnemu łączeniu elementów (trójkątów). Teraz kolej na zachęcenie do odkrywania twierdzenia Pitagorasa.

CZĘŚĆ 3: Budowanie (układanie) na trójkącie prostokątnym (połowa prostokąta): kwadratu, półkwadratusa i trójkąta równobocznego:

1) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy kwadraty

2) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy półkwadratusy

3) na bokach trójkąta prostokątnego (połowa prostokąta) budujemy trójkąty równoboczne

4) pole której figury (zbudowanej na każdym z boków) jest największe i dlaczego?

5) jak się ma suma pól obu figur (zbudowanej na każdej z przyprostokątnych) w stosunku do pola największej figury?

*6) wprowadzenie z zagadnienie: twierdzenie Pitagorasa: narysowanie i wycięcie szablonu, a potem ułożenie odpowiednich klocków (figur), tak aby wszystkie z nich wypełniły kwadrat (zbudowany na najdłuższym boku - przeciwprostokątnej)

7) wprowadzenie do łamigłówki logicznej Tangram, która polega na łączeniu różnych figur w określone kształty

8) rozdanie Tangramu dla każdego ucznia i zachęcanie do budowania własnych wzorów, a potem określonych kształtów zgodnych z kartą zadań

 

Powyższe ćwiczenia powinny sprawić, że dzieci zaczną zauważać ciekawe zależności dotyczące pól figur zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Warto ćwiczyć obliczenia na trójkątach (trójki pitagorejskie), które są proste do narysowania, a jednocześnie dające łatwe obliczenia.

Dzięki temu możemy również poćwiczyć (powtórzyć, wyjaśnić) wzory figur takich jak: prostokąt, trójkąt, kwadrat oraz trójkąt równoboczny. Trójkąty pitagorejskie, które będą się dobrze sprawdzały (długości boków): 3-4-5 (jako klasyczny), 5-12-13, dalej 6-8-10, potem 9-12-15 i na koniec 10-24-26 (ten ostatni tylko wtedy, gdy mamy dużą przestrzeń do rysowania, aby potem składać wszystkie części, po to żeby sprawdzić, że rzeczywiście tworzą kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej).

Oczywiście w zależności od umiejętności naszych uczniów jak też warunków, prosimy o narysowanie odpowiednich trójkątów. Najlepiej sprawdzają się trójkąty 6-8-10 jak też 9-12-15. Powodem tego jest to, że kwadraty liczb związanych z bokami są stosunkowo proste (36-64-100 i 81-144-225), a do tego narysowanie dwóch przyprostokątnych (od których zaczynamy rysowanie trójkątów) o bokach 6 i 8 (cm) czy też 9 i 12, nie powinno sprawiać trudności. Przy okazji oczywiście możemy poprosić uczniów o dokładne zmierzenie najdłuższego boku (przeciwprostokątnej), zanim będziemy znali jego idealną wartość, dzięki zrozumieniu twierdzenia Pitagorasa.

Podsumowanie. Jak widać można zrealizować ciekawe zajęcia, które będą dawały dzieciom poczucie sensu, sprawstwa (sprawczości) jak też coraz lepszego zrozumienia bardziej wymagających zagadnień, które zostały dobrze utrwalone poprzez odkrywanie zależności na bardziej elementarnych. Warto zaznaczyć wyraźnie, że zakres elementów oraz zagadnień dostosowujemy do możliwości dzieci jak i warunków w jakich pracujemy. Chodzi o to, aby dzieci jak najwięcej samodzielnie odkrywały, manipulowały oraz tworzyły, wyciągając wnioski i budując na nich swoją niepowtarzalną wizję świata matematyki. Im więcej pojawi się pytań i możliwości dzielania się swoimi odkryciami jak też wnioskami, tym zrozumienie będzie pełniejsze i znacznie bardziej trwałe.

Klonowanie i układanie kwadratów, prostokątów i trójkątów - czyli budowanie zrozumienia właściwości podstawowych czworokątów

Tym razem zobaczymy co się będzie działo z naszymi figurami, gdy będziemy je do siebie przykładali oraz w prosty sposób obracali. Z pewnością otwiera to nowe pole do popisu dla naszej wyobraźni oraz możliwości dalszego manipulowania figurami na różne sposoby (powiększanie, pomniejszanie, obracanie, przykładanie do siebie, rozcinanie, etc.)

Na początek weźmy nasze najbardziej popularne prostokąty.

Co się stanie jak weźmiemy dwa identyczne prostokąty i je ze sobą połączymy bokami, tak aby się "równo" stykały? Otóż mamy dwie podstawowe możliwości.

1) Łączymy prostokąty krótszymi bokami

Co się stanie gdy dokładamy kolejny prostokąt do poprzedniego? Otóż okazuje się, że nasza złożona figura nadal jest prostokątem, ale widać, że się wydłuża. Składając w ten sposób nie może powstać kwadrat, tylko coraz "węższy" (wizualnie) prostokąt. Jego wysokość pozostaje bez zmian, zaś szerokość coraz bardziej się powiększa.

2) Łączymy prostokąty dłuższymi bokami

Dzięki takiemu połączeniu nowa figura "rośnie". To tak jakbyśmy kładki na siebie kartki (jedna nad drugą). Za każdym razem będzie powstawał prostokąt, chociaż jest możliwość, że w pewnych okolicznościach może postwać także kwadrat.

Kwadrat powstanie wtedy, gdy relacja (proporcja) między dłuższym a krótszym bokiem będzie liczbą całkowitą dodatnią (naturalną, ale nie zerem). I w zależności jaka jest proporcja, to tyle potrzeba będzie figur jedna nad drugą położyć, aby powstał kwadrat. Przykładowo jeśli proporcja dłuższego boku do krótszego wynosi 4 (krótszy bok niech ma 2 jednostki zaś dłuższy 8), to ułożenie właśnie 4 kartek (prostokątów) jedna nad drugą, sprawi że powstanie kwadrat.

Natomiast gdy będziemy mogli jednocześnie korzystać z obu sposobów dokładania prostokątów, to będziemy mogli tworzyć różne kształty nowych figur, ale zawsze będą to prostokąty (o ile będziemy wypełniać do końca zarówno wiersze jak i kolumny), nawet jeśli w specyficznych wypadkach możemy zbudować także kwadrat (nadal ma zastosowanie ten sam warunek o którym wcześniej wspomniałem).

Teraz zastanówmy się co się stanie, gdy zajmiemy się kwadratami.

Z uwagi na to, że kwadrat jest wyjątkowym rodzajem prostokąta, który ma wszystkie boki równe, więc zawsze będziemy łączyli kwadraty z bokami tej samej długości.

I teraz jeśli przykładowo ułożymy obok siebie osiem kwadratów w poziomie (osiem kwadratów w wierszu), a potem takich warstw (jedna pod drugą) zbudujemy razem osiem (czyli dołożyli jeszcze siedem do pierwszej warstwy), wówczas będziemy mieli szachownicę (kratownicę) 8x8.

  

Oczywiście możemy modyfikować nasze konstrukcje na różne sposoby. Możemy bowiem dokładać kwadraty z czterech stron i w ten sposób uzyskujemy różnorodne kształty, w zależności od tego ile kwadratów będziemy mieli w danej linii poziomej (wierszu) oraz pionowej (kolumnie).

Teraz nadeszła kolej na następne figury, tym razem na trójkąty.

1) Trójkąt prostokątny, który powstał w wyniku przecięcia prostokąta wzdłuż przekątnej.

I teraz mamy trzy możliwości połączenia obu trójkątów:

a) Łączymy trójkąty najkrótszymi bokami (bokami o najmniejszej długości, leżącymi przy kącie prostym)

 

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt równoramienny, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to powstanie równoległobok.

b) Łączymy trójkąty średnimi bokami (bokami o średniej długości, leżącymi przy kącie prostym)

  

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt równoramienny, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to znowu powstanie równoległobok.

c) Łączymy trójkąty najdłuższymi bokami (bokami o największej długości, leżącymi naprzeciw kąta prostego)

  

Przy pierwszym połączeniu powstanie oczywiście prostokąt, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to tym razem powstanie tak zwany deltoid (kształtem podobny do latawca).

2) Trójkąt prostokątny, który powstał w wyniku przecięcia kwadratu wzdłuż przekątnej ("półkwadratus").

a) Łączymy trójkąty krótszymi bokami (bokami leżącymi przy kącie prostym - oba są tej samej długości)

Przy pierwszym połączeniu powstanie trójkąt prostokątny równoramienny ("półkwadratus"), zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to powstanie równoległobok (warto sprawdzić, że to nie jest romb).

b) Łączymy trójkąty najdłuższymi bokami (bokami o największej długości, leżącymi naprzeciw kąta prostego)

Przy pierwszym połączeniu powstanie oczywiście kwadrat, zaś po obróceniu jednego z trójkątów przed przyłożeniem... powstanie również kwadrat! (tej samej wielkości)

3) Trójkąt równoboczny, który ma wszystkie boki tej samej długości (tak jak i wszystkie kąty tej samej miary)

W tym przypadku za każdym razem mamy tę samą sytuację: bez względu na to jakie boki dwóch trójkątów równobocznych przyłożymy do siebie, to zawsze uzyskamy romb (czyli równoległobok o wszystkich bokach równych).

 

W przypadku, gdy przyłożymy bokami do siebie trzy trójkąty równoboczne, to powstanie trapez równoramienny, a gdy takie dwa trapezy połączymy ze sobą najdłuższymi bokami, to powstanie sześciokąt foremny (składający się z sześciu trójkątów równobocznych)

4) Trójkąt równoramienny, który ma dwa boki (ramiona) tej samej długości (i kąty przy podstawie tej samej miary) i nie jest trójkątem prostokątnym ("półkwadratusem").

a) Łączymy trójkąty ramionami (najdłuższymi bokami)

  

Przy pierwszym połączeniu ramionami powstanie równoległobok, zaś jeśli jeden z trójkątów przed przyłożeniem obrócimy, to tym razem powstanie tak zwany deltoid (kształtem podobny do latawca).

b) Łączymy trójkąty podstawami (najkrótszymi bokami)

Bez względu na to jak przyłożymy do siebie podstawy (z obrotem o 180 stopniu czy też bez) dwóch trójkątów równoramiennych, to zawsze uzyskamy romb (czyli równoległobok o wszystkich bokach równych).

I tym oto sposobem uzyskaliśmy z naszych trójkątów wszystkie najważniejsze (podstawowe) czworokąty, razem z trapezem równoramiennym (powstałym z połączenia 3 trójkatów równobocznych). Warto samodzielnie sprawdzić co powstanie jeśli będziemy ze sobą łączyli trapez równoramienny i prostokątny (oba z nich osobno z tymi samymi rodzajami trapezów).

Pora na podsumowanie. Z uwagi na to, aby było bardziej czytelnie, to wypunktuje najbardziej istotne kwestie.

1. Układanie figur obok siebie (trójkątów i czworokątów) może być bardzo dobrą pomocą ku temu, aby odkrywać właściwości figur (zwłaszcza równoległoboków i rombów, które czasami mylą się dzieciom, bo nie do końca rozumieją różnice między nimi). Dodatkowo można analizować powstałe figury pod kątem ich boków, przekątnych (długości, kątów przecięcia) jak też wysokości a nawet obliczania ich pola.

2. Na początek dobrze jest rozpocząć układanie nowych figur poprzez łączenie ich po 2 sztuki obok siebie: każde z nich łączymy z bokami tego samego rodzaju (długości), a dodatkowo później odwracamy jedną z nich o 180 stopni i po połączeniu sprawdzamy co wówczas powstaje.

3. Stopniowo można łączyć coraz więcej figur, tak aby układać nie tylko różne "pełne" figury, ale i układanki (wzorce) z figur. Dzięki temu coraz szybciej przejdziemy do tak zwango matematycznego parkietażu, bo to już cała nowa matematyczna kraina składająca się z figur (wielokątów foremnych). A dalej możemy pójść śladami Eschera czyli realizować teamat: parkietaże, teselacje, mozaiki. Nie trzeba chyba mówić jak potężne możliwości za tym się kryją, prawda?

4. Następny krok to łączenie wszystkich figur (trójkątów i czworokątów) ze sobą, ale tak, aby żaden bok nie wystawał poza figurę (bok). Przykładowo jeden z najprostszych sposóbów połączenia trójkąta prostokątnego (nie "półkwadratusa"), to ułożenie kwadratu na każdym z boków trójkąta. No i dzięki temu oczywiście za jakiś czas będziemy mogli omówić twierdzenie Pitagorasa. Jeśli będzie ku temu okazja, to można twierdzenie Pitagorasa rozciągnąć na dowolne wielokąty foremne (dzięki temu powtarzamy o wielokątach, a jednocześnie odkrywamy magię i głębię twierdzenia Pitagorasa).

5. W zależności od tego na ile dzieci są gotowe do dalszych eksperymentów, można również wprowadzać temat obrotu, którym zajmiemy się w jednym z kolejnych odcinków. W tej odsłonie mieliśmy tylko odwracanie figur o 180 stopni, co jest najprostszym wprowadzeniem w temat. Jeśli dzieci są gotowe, to wyjaśniamy obrót o 180 stopni, a potem o 90 stopni (w obu kierunkach: zgodnie z ruchem wskazówek zegara jak i przeciwnie).

6. Najważniejsza wskazówka: dzieci powinny samodzielnie jak najwięcej odkrywać, sprawdzać, testować, ale również zapisywać wnioski (tak jak umieją i przy okazji najprościej jak można, aby nie tracić na tę czynność energii). Dzięki temu można potem porównywać nasze odkrycia jak też wnioski. Przy dobrej współpracy można zrealizować (zainicjować) naprawdę dużo tematów "pobocznych", które za jakiś czas będą nam (i dzieciom) znajome, a więc łatwiejsze do zintegrowania w systemie wiedzy i zrozumienia matematycznego świata, który stale budujemy i poszerzamy.

7. W zależności od tego jakimi środkami dydaktycznymi dysponujemy, dzieci mogą różne figury samodzielnie rysować oraz wycinać. W kolejnych odsłonach można zapewnić dzieciom plastikowe lub drewniane figury, aby przyspieszyć proces odkrywania i tworzenia. Jedną z doskonałych lamigłówek ku temu, aby rozwijać wyobraźnię przestrzenną (tutaj na razie dwuwymiarowa) jest tak zwany TANGRAM (rysunek poniżej przedstawia mozaikę wielokątów).

Mam nadzieję, że ten artykuł jest dobrą inspiracją, podpowiedzią czy też pomocą ku temu, aby wykorzystywać proste pomysły do tego, aby przechodzić na wyższe poziomy odkrywania, tworzenia, testowania jak i zrozumienia.