Wielokrotności i dzielniki - czyli jak to prosto ogarnąć, aby zrozumieć ich mroczne tajniki (1)

Z tematem wielokrotności i dzielników dzieci stykają się wiele razy. Nie zawsze każde dziecko jest świadome tego co się dzieje i w jakim celu uczy się o tym. Spróbujmy zatem rzucić nieco światła na te mroczne obszary wiedzy, aby pomóc wyłonić się zrozumieniu tego co naprawdę ważne.

W tym odcinku powiemy sobie ogólnie o co chodzi z tymi tematami, zaś w następnej odsłonie pokażę w jaki sposób można to wykorzystywać i przy okazji nieco ułatwiać sobie życie.

Dzielniki

Z dzielnikami wiąże się temat dzielenia. Chodzi o to, aby znaleźć te liczby przez które dzieli się liczba wyjściowa (bez reszty). Przykładowo - jeśli mamy 20 cukierków to na ile części możemy podzielić, aby w każdej była taka sama ich liczba? No i wiemy, że na jedną, dwie, cztery, pięć, dziesięć lub dwadzieścia. Na tę chwilę można jeszcze powiedzieć, że dzielenie nazywa się w matematyce ilorazem. Jak to zapamiętać? Można w ten sposób, że gdybyśmy zapisali dzielenie w postaci ułamka zwykłego, wtedy kreska ułamkowa mówi nam o tym, aby "raz podzielić" liczebnik przez mianownik. Ile razy? Ilo-raz. Dodatkowo mamy jeszcze drugie znaczenie tego słowa, ponieważ iloraz oznacza zarówno proces dzielenia jak też końcowy wynik tego procesu.

Liczbę którą dzielimy nazywamy dzielną, natomiast liczbę przez którą dzielimy nazywamy dzielnikiem. Jak to zapamiętać? Otóż najpierw przepuszczamy przez drzwi kobietę (dziewczynkę) - dzielną, a następnie staje mężczyzna (chłopiec) - dzielnik. Ta pierwsza nazwa jest zwykle bardzo rzadko używana, zaś ta druga - bardzo często, zwłaszcza w kontekście dzielników danej liczby. Dzielników, czyli tych liczb przez które możemy podzielić podaną liczbę.

Wielokrotności

W tym przypadku wielokrotnością jest iloczyn danej liczby przez inną liczbę naturalną. Przykładowo jeśli mamy wymienić wielokrotność piątki, wtedy chodzi o podanie wyników iloczynu: 0*5, 1*5, 2*5, 3*5, 4*5 itd. Wynikami będą oczywiście: 0, 5, 10, 15, 20. Zauważmy, że wielokrotność piątki, to również sumowanie kolejnej piątki, licząc (zaczynając) od zera.

Pytanie zatem do czego będzie nam potrzebna ta koncepcja. Moim zdaniem najbardziej powszechnym zastosowaniem jest ustalanie najmniejszej wspólnej wielokrotności. A ta z kolei jest używana do tego, aby znajdować (najmniejszy) wspólny mianownik dla ułamków - gdy je chcemy dodać lub odjąć, a nie mają tych samych mianowników. Innym zastosowaniem są zadania tekstowe (zadania z treścią) w których chodzi o ustalenie najmniejszej wspólnej wartości dla podanych liczb. Przykładowo - chłopiec i dziewczynka zaczynają z tego samego miejsca (start). Chłopiec robi równe kroki o długości 60cm, zaś dziewczynka 80cm. W jakiej najmniejszej odległości od początku (startu) ich stopy zrównają się po raz kolejny? Ile kroków musi wykonać dziewczynka a ile chłopiec? Poza tymi zastosowaniami można jeszcze wykorzystać tę koncepcję w momencie omawiania sita Eratostanesa oraz tabliczki mnożenia. Innych jednoznacznych zastosowań wielokrotności nie umiem na tę chwilę wymienić. Jeśli są, to można powiedzieć, iż są one w pewien sposób zamaskowane i doklejają się do innych tematów, niejako niezauważone.


W następnym odcinku pokażę w jaki sposób wykorzystać sito Eratostanesa, tabliczkę mnożenia, cechy podzielności oraz rozkład liczby na czynniki pierwsze. I to wszystko w kontekście właśnie dzielników i wielokrotności.

Jeśli ktoś odczuwa niedosyt oraz potrzebuje pewnej dawki inspiracji i ćwiczeń, aby być rozgrzanym na kolejny wykład, to proponuję nieco głębiej zastanowić się nad takimi problemami:

I. Jaki będzie wynik:
a) mnożenia
b) dzielenia
c) dodawania
d) odejmowania

1) dwóch liczb parzystych
2) dwóch liczb nieparzystych
3) trzech liczb parzystych
4) trzech liczb nieparzystych

II. Jaki związek ma wielokrotność z dzielnikami.

III. Dlaczego sito Eratostanesa jest świetną pomocą do wyznaczania liczb pierwszych (w zakresie do 100).

IV. Po czym rozpoznać czy znaleźliśmy już wszystkie dzielniki danej liczby.

V. Jaki jest związek między rozkładem liczby na czynniki pierwsze oraz liczbą różnych możliwości jej zapisu za pomocą iloczynu.

Zapewniam, że tego typu samodzielna praca może również sprawić nieco satysfakcji a przy okazji ułatwić wyciągnięcie pewnych wniosków.