Wielokrotności i dzielniki - czyli jak to prosto ogarnąć, aby zrozumieć ich mroczne tajniki (1)

Z tematem wielokrotności i dzielników dzieci stykają się wiele razy. Nie zawsze każde dziecko jest świadome tego co się dzieje i w jakim celu uczy się o tym. Spróbujmy zatem rzucić nieco światła na te mroczne obszary wiedzy, aby pomóc wyłonić się zrozumieniu tego co naprawdę ważne.

W tym odcinku powiemy sobie ogólnie o co chodzi z tymi tematami, zaś w następnej odsłonie pokażę w jaki sposób można to wykorzystywać i przy okazji nieco ułatwiać sobie życie.

Dzielniki

Z dzielnikami wiąże się temat dzielenia. Chodzi o to, aby znaleźć te liczby przez które dzieli się liczba wyjściowa (bez reszty). Przykładowo - jeśli mamy 20 cukierków to na ile części możemy podzielić, aby w każdej była taka sama ich liczba? No i wiemy, że na jedną, dwie, cztery, pięć, dziesięć lub dwadzieścia. Na tę chwilę można jeszcze powiedzieć, że dzielenie nazywa się w matematyce ilorazem. Jak to zapamiętać? Można w ten sposób, że gdybyśmy zapisali dzielenie w postaci ułamka zwykłego, wtedy kreska ułamkowa mówi nam o tym, aby "raz podzielić" liczebnik przez mianownik. Ile razy? Ilo-raz. Dodatkowo mamy jeszcze drugie znaczenie tego słowa, ponieważ iloraz oznacza zarówno proces dzielenia jak też końcowy wynik tego procesu.

Liczbę którą dzielimy nazywamy dzielną, natomiast liczbę przez którą dzielimy nazywamy dzielnikiem. Jak to zapamiętać? Otóż najpierw przepuszczamy przez drzwi kobietę (dziewczynkę) - dzielną, a następnie staje mężczyzna (chłopiec) - dzielnik. Ta pierwsza nazwa jest zwykle bardzo rzadko używana, zaś ta druga - bardzo często, zwłaszcza w kontekście dzielników danej liczby. Dzielników, czyli tych liczb przez które możemy podzielić podaną liczbę.

Wielokrotności

W tym przypadku wielokrotnością jest iloczyn danej liczby przez inną liczbę naturalną. Przykładowo jeśli mamy wymienić wielokrotność piątki, wtedy chodzi o podanie wyników iloczynu: 0*5, 1*5, 2*5, 3*5, 4*5 itd. Wynikami będą oczywiście: 0, 5, 10, 15, 20. Zauważmy, że wielokrotność piątki, to również sumowanie kolejnej piątki, licząc (zaczynając) od zera.

Pytanie zatem do czego będzie nam potrzebna ta koncepcja. Moim zdaniem najbardziej powszechnym zastosowaniem jest ustalanie najmniejszej wspólnej wielokrotności. A ta z kolei jest używana do tego, aby znajdować (najmniejszy) wspólny mianownik dla ułamków - gdy je chcemy dodać lub odjąć, a nie mają tych samych mianowników. Innym zastosowaniem są zadania tekstowe (zadania z treścią) w których chodzi o ustalenie najmniejszej wspólnej wartości dla podanych liczb. Przykładowo - chłopiec i dziewczynka zaczynają z tego samego miejsca (start). Chłopiec robi równe kroki o długości 60cm, zaś dziewczynka 80cm. W jakiej najmniejszej odległości od początku (startu) ich stopy zrównają się po raz kolejny? Ile kroków musi wykonać dziewczynka a ile chłopiec? Poza tymi zastosowaniami można jeszcze wykorzystać tę koncepcję w momencie omawiania sita Eratostanesa oraz tabliczki mnożenia. Innych jednoznacznych zastosowań wielokrotności nie umiem na tę chwilę wymienić. Jeśli są, to można powiedzieć, iż są one w pewien sposób zamaskowane i doklejają się do innych tematów, niejako niezauważone.


W następnym odcinku pokażę w jaki sposób wykorzystać sito Eratostanesa, tabliczkę mnożenia, cechy podzielności oraz rozkład liczby na czynniki pierwsze. I to wszystko w kontekście właśnie dzielników i wielokrotności.

Jeśli ktoś odczuwa niedosyt oraz potrzebuje pewnej dawki inspiracji i ćwiczeń, aby być rozgrzanym na kolejny wykład, to proponuję nieco głębiej zastanowić się nad takimi problemami:

I. Jaki będzie wynik:
a) mnożenia
b) dzielenia
c) dodawania
d) odejmowania

1) dwóch liczb parzystych
2) dwóch liczb nieparzystych
3) trzech liczb parzystych
4) trzech liczb nieparzystych

II. Jaki związek ma wielokrotność z dzielnikami.

III. Dlaczego sito Eratostanesa jest świetną pomocą do wyznaczania liczb pierwszych (w zakresie do 100).

IV. Po czym rozpoznać czy znaleźliśmy już wszystkie dzielniki danej liczby.

V. Jaki jest związek między rozkładem liczby na czynniki pierwsze oraz liczbą różnych możliwości jej zapisu za pomocą iloczynu.

Zapewniam, że tego typu samodzielna praca może również sprawić nieco satysfakcji a przy okazji ułatwić wyciągnięcie pewnych wniosków.

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Matematyka - Daj się uwieść i przy okazji nie daj się zwieść na manowce

Przyszła w końcu pora na książkę, która jest adresowana do odbiorcy o nieco wyższym poziomie matematycznego wtajemniczenia. Na tapetę weźmiemy pozycję Christopha Drössera "Matematyka - Daj się uwieść!". No i właśnie teraz przyjrzymy się uważnie temu co rzeczywiście kryje się w tej pozycji. Czy mamy się dać uwieść matematyce czy raczej nie daj się zwieść na manowce? Za chwilę się tego dowiemy. Zatem zaczynajmy!

Okładka książki - Matematyka - Daj się uwieść! (Christoph Drösser)

Na jednej ze stron książki (przed główną stroną z tytułem) możemy przeczytać (oprócz biografii autora) o tym, że matematyka to niekoniecznie denerwujące i nudne rzędy cyfr, którymi zamęczają się uczniowie, nauczyciele, rodzice i my wszyscy – przecież wszystkie te obliczenia mają źródło w codzienności i naprawdę mogą sprawiać przyjemność. Dowodzi tego Christoph Drösser w swojej książce.

Wiele podstawowych wzorów i działań matematycznych powstało w celu rozwiązania bardzo praktycznych problemów. Christoph Drösser wykorzystuje ten fakt i wyjaśnia najczęstsze działania, takie jak proporcje, ułamki czy rachunek prawdopodobieństwa, na zrozumiałych i często zaskakujących przykładach z życia codziennego.

Tyle jeśli chodzi o reklamę tego co ta książka nam pokaże (lub powinna pokazać) - czas na sprawdzenie czy te obietnice mają realne pokrycie.

Spis treści książki z krótkim opisem każdej z historyjek - Matematyka - Daj się uwieść! (Christoph Drösser)

Książka składa się ze spisu treści, kilkunastu historyjek, rozwiązań zagadek (obliczanki), źródeł oraz skorowidza. Są w niej proste ilustracje i nieliczne tabele. Na 244 stronach małego formatu (123x188) znajdziemy 17 ciekawych historyjek w których są przemycone różne matematycznych zagadnienia.

Trzeba przyznać, że te mini opowiadania są naprawdę wciągające, więc można się oddać rozmyślaniom i przy okazji podążać za autorem. Zanim coś więcej napiszę, to jeszcze kilka technicznych informacji. Tytuł książki bardzo dobrze oddaje intencje autora, więc można pomyśleć, że to w końcu książka, która sprawi, że matematyka będzie dla nas (odbiorcy) czymś co w końcu nie tylko zrozumiemy, ale i odczujemy. I tym razem szczęście było tak blisko, ale niestety w książce są błędy merytoryczne. Osoby, które mają wykształcenie matematyczne (zwłaszcza techniczne) będą w stanie szybko wychwycić błędy, na które nawet nie zwróci uwagi przeciętny czytelnik.

Co jeszcze stanowi o słabości książki? Otóż w części "obliczanki - rozwiązania" autor przedstawia szkic rozwiązań. Nie byłoby w tym nic dziwnego, gdyby nie to, że rozwiązania piętnastu zagadek postanawia zmieścić na 2 stronach (pamiętajmy o małym formacie). A wystarczyłoby przecież poświęcić każdej zagadce przynajmniej pół strony, tak aby mniej wprawny czytelnik (nie wszyscy przecież są matematykami i inżynierami) mógł również nieco bardziej zrozumieć co, jak i dlaczego. Chyba, że intencją autora było pochwalenie się swoją pracą przed kolegium matematyków. Podsumowując, można powiedzieć, że gdyby nie świetnie dobrane i opracowane historyjki, to książka byłaby kompletną klapą.

Dla kogo zatem ta książka będzie najbardziej wartościowa? Myślę, że dla osób, które potrzebują inspiracji ku temu, aby pokazać w oryginalnej formie zagadnienia omawiane na poziomie szkoły średniej (niektóre z nich także na studiach), ale w taki sposób, że samodzielnie potrafią je opracować, unikając powielania błędów zawartych w książce. Jeśli komuś nie przeszkadzają błędy, to może ta książka być wykorzystana do tego, aby udowodnić uczniom, że matma wcale nie musi być trudna. Być może to jest po prostu... matma jakiej nie znasz.

Moja ocena tej pozycji to 6/10. A szkoda, bo wystarczyłoby tylko trochę solidności i myślę, że byłaby to jedna z lepszych pozycji, które z pewnością można byłoby polecić ambitnym uczniom (czy też nauczycielom) do inspiracji. Zalecam przed kupnem książki zapoznać się z jej treścią (np. w księgarni), bo kupując ją można się bardzo mocno rozczarować. I o ile pomysły w niej zawarte są ciekawe i naprawdę pokazujące matematykę w dobrym świetle (dobre do inspiracji), to błędy merytoryczne w dużym stopniu wpływają na niską ocenę końcową tej pozycji. A szkoda!

Na temat istotnych błędów można poczytać tutaj (zwłaszcza komentarz W.Jasińskiego z 08.01.2012).
Link: https://ksiegarnia.pwn.pl/Matematyka-Daj-sie-uwiesc,68610889,p.html

W tym samym miejscu (link wyżej) w zakładce "Dodatki" można znaleźć fragment książki (w PDF), który przedstawiłem jako obrazki (podobnie jak spis treści). Myślę, że jest wizualny dowód (i zarazem drobny podgląd książki) właśnie na to, że historyjki są naprawdę ciekawe, nawet jeśli bywają w niej błędy merytoryczne. Poniżej przykładowy rozdział.

BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Gen liczby - czyli jak naprawdę dzieci uczą się matematyki?

Czy liczenie sprawia dzieciom problemy? Czy liczby są zmorą uczniów? Jak budować podstawy matematyczne, aby potem kolejne piętra matematycznej wieży mogły być stabilne? Na te pytania będziemy szukać odpowiedzi w książce, która na okładce ma dwie ciekawe frazy: "Matematyka to przede wszystkim sztuka myślenia" oraz "Zobacz co możesz zrobić, żeby twoje dziecko polubiło matematykę". No to zerknijmy co takiego mają do powiedzenia i przekazania dwoje autorów, którzy wykonali kawał solidnej pracy i podzieli się swoimi przemyśleniami.

Okładka książki - Gen liczby. Jak dzieci uczą się matematyki? (Małgorzata Skura i Michał Lisicki)

Tytuł książki, którą bierzemy na warsztat to: Gen liczby. Jak dzieci uczą się matematyki? Autorzy to Małgorzata Skura i Michał Lisicki. To właśnie ta pozycja dość długo czekała na recenzję, pomimo że powinna zostać wchłonięta w ciągu jednego weekendu. Tak czy inaczej już możemy zobaczyć co o niej sądzę. Pytanie co takiego zawarli w niej autorzy, którzy są ekspertami w zakresie programowania edukacji matematycznej w wychowaniu przedszkolnym oraz edukacji wczesnoszkolnej. A myślę, że jest tego na tyle dużo, że warto się przyjrzeć zawartości nieco bliżej.

Tekst reklamowy na tylnej stronie okładki książki Gen liczby. Jak dzieci uczą się matematyki?

Zacznijmy od tego, że książka ma nieco ponad 300 stron. Na wstępie warto zaznaczyć, że książka jest stosunkowo świeża, bo została wydana w połowie kwietnia 2018 roku. To co odróżnia tę książkę od pozostałych to przede wszystkim miła dla oka okładka. Sugeruje ona, że będzie coś dla dzieci i przy okazji jakaś zabawa. A do tego znajdziemy w środku jeszcze bardzo dużo wiedzy i pomysłów na to jak można nauczać matematyki w najwcześniejszych etapach nauki. Nie ma w niej żadnych kolorów - nieliczne obrazy i rysunki są w kolorach szarości. Pomimo tego, nie ma problemów z jakością i odróżnianiem sensu omawianych zagadnień, które zostały wyrażone w formie graficznej.

Całość składa się ze wstępu, czterech rozdziałów, zakończenia, słowniczka pojęć, bibliografii oraz przypisów.

Spis treści książki - Gen liczby. Jak dzieci uczą się matematyki?

Pierwszy rozdział (trochę bardziej wykład) omawia to w jaki sposób i po co uczymy się matematyki. Tutaj mamy podane sporo teorii, jednak ostatnie kilkanaście stron jest już praktycznymi wskazówkami, które mają na celu ukierunkowanie na to co i jak warto z dzieckiem robić, aby mogło się ono cieszyć matematyką, a zarazem uczyć jej niewidocznych reguł, zasad i zależności.

Następne szersze zagadnienie to matematyka jako sposób porządkowania. To już sprytne połączenie teorii z bardzo prostymi, ale wartościowymi pomysłami, które można wykorzystać w praktyce. Można nawet powiedzieć, że przy odpowiednim podejściu można z tej części wycisnąć logikę, rozumowanie, kreatywność i odkrywanie. To dobre pole do refleksji oraz inspiracji, które mogą pomóc w zaprojektowaniu bardzo ciekawych ćwiczeń!

Przechodzimy do trzeciej części, która mówi o tym jak dzieci poznają liczby. Znowu mamy dość dużą dawkę ciekawie przekazanej teorii, więc na pewno łatwiej będzie w przyszłości zrozumieć teksty bazujące na tego typu opisach. Trzeba trochę samozaparcia, bo dopiero pod koniec autorzy nagradzają nas za wytrwałość, dzieląc się hojnie wieloma świetnie opracowanymi pomysłami do zastosowania "na już".

Ostatni rozdział wyjaśnia jak dzieci uczą się rachować. Tutaj będziemy mogli przekonać się, że rachowanie wcale nie jest tak proste jak się wydaje dorosłym. O ile przy dodawaniu jeszcze skala trudności nie jest zbyt duża, o tyle już przy odejmowaniu zaczynają się schody. Małgorzata Skura i Michał Lisicki świetnie wyjaśniają, że nie wszystkie dzieci liczą w ten sam sposób jak też przypominają, że nie wszystkie tak samo szybko dojrzewają. Na końcu dodają jeszcze garść praktycznych wskazówek pomagających w nauce sprawnego rachowania i dobrego radzenia sobie z zadaniami z treścią. Na pewno mogą to być pomysły, które dobremu nauczycielowi pozwolą rozwinąć skrzydła.

Zakończenie to zachęcenie do tego, aby wykorzystywać wszelkie okazje do tego, aby liczyć i posługiwać się liczbami. Kilka podpowiedzi jak to zrobić i na co zwrócić uwagę opierają się o: porównywanie liczebności, stałość liczby, dodawanie i odejmowanie na palcach, liczenie, historyjki z liczbami oraz gry.

W słowniczku znajdziemy około 70 terminów, z którymi warto na samym początku się zapoznać, aby czytając to co autorzy zawarli w tej publikacji - wszystko było jasne.

I na koniec pozostaje jeszcze bibliografia oraz przypisy. Zainteresowani mogą zanurzyć się w literaturze, która pomoże zgłębić określone zagadnienia.


Jest w tej publikacji coś, co sprawia, że książka nabiera życia. Co to takiego? Otóż świetnym rozwiązaniem jest użycie elementów, które bardzo mocno wzbogacają książkę i dają poczucie tego, że jest ona w dużej mierze do zastosowania, a nie jedynie teorią akademicką. Tymi elementami są:

a) "Na przykład" (żarówka), która pokazuje przykładowe zastosowanie matematycznej teorii
b) "Ważne" (wykrzyknik), to wskazówki i rady, które zwracają uwagę na to, jakim zasadami warto się kierować
c) "Kostka" (kostka do gry), która podpowiada jakie pomysły można wykorzystać do rozwoju matematycznego dziecka i przy okazji do przemyślenia (inspiracji)

W sumie jest około 200 pomysłów i wskazówek, które w znaczący sposób mogą pomóc w tym, aby projektować różne aktywności i dzięki temu pomagać dziecku w prawidłowym rozwoju matematycznym. To naprawdę daje dużą wiedzę i świadomość dotyczącą tego co, jak i dlaczego warto z dzieckiem robić i czego unikać.

Dla kogo jest ta książka? W zasadzie dla wszystkich, którzy chcą wprowadzić dziecko w świat matematyki, który będzie miał solidne podstawy. Pomoże ona dorosłym - rodzicom, dziadkom, opiekunom, ale i nauczycielom edukacji przedszkolnej i wczesnoszkolnej - na to, aby stymulować rozwój dziecka w obszarze matematyki. Autorzy dodają, że książka podpowiada na co zwrócić uwagę, aby dzieciństwo dobrze zaowocowało wtedy, kiedy przyjdzie czas na regularną edukację matematyczną. I co moim zdaniem szalenie istotne, autorzy podkreślają, że matematyka to przede wszystkim zadania, które przybierają różną formę: mogą to być zabawy, gry czy łamigłówki. Ważne, aby dziecko zaciekawiły, żeby mierzenie się z nimi sprawiło mu przyjemność. I w książce dają ku temu dowody w postaci dobrze dobranych i różnorodnych przykładów. Myślę, że najwięcej z tej książki wycisną osoby, które nie wiedzą w jaki sposób dziecko do lat 7-8 postrzega matematyczną rzeczywistość i jak buduje poszczególne etapy zrozumienia.

Jeśli ktoś nie chce lub nie może czytać części teoretycznej (która nota bene jest naprawdę napisana przystępnym językiem!), to może ograniczyć się do przekartkowania książki i odczytywania "żarówek" i "wykrzykników". To taka mała kopalnia pomysłów dotyczących ćwiczeń, zabaw i gier, które można wykorzystać do rozwoju matematycznego dziecka.

Czytając tę książkę nie można przegapić tego, iż autorzy mają naprawdę spore doświadczenie i dużo do powiedzenia. Świadczy o tym nie tylko wszechstronne podejście oraz wyjaśnienia najbardziej istotnych elementów matematycznego rozwoju, ale również liczba przypisów (239) jak też wykorzystana bibliografia (200 pozycji, w tym także obcojęzyczne). Widać, że autorzy dość szeroko przeanalizowali i przemyśleli opisywane zagadnienia.

Podsumowanie: książce daję ocenę 10/10 z uwagi na to, że jest bardzo dobrze przemyślana oraz zawiera kilkaset wskazówek, rad oraz pomysłów dotyczących tego co jest ważne, wartościowe i istotne przy dobrym budowaniu fundamentów matematyki jak też rozwijaniu kreatywności u dziecka. Owszem, przeczytanie książki wymaga zrozumienia tego co czytamy, ale jest to jedna z niewielu pozycji, które w sposób przystępny pokazują jak budować matematyczne fundamenty dziecka.

Na stronie wydawcy można zobaczyć miniatury wybranych stron z powyższej publikacji (jak też okładkę, którą zamieściłem wyżej): https://mamania.pl/product-pol-298-Gen-liczby-Jak-dzieci-ucza-sie-matematyki.html

NWW i NWD - co o tym wiemy oraz z czym to się je (6)

Po napisaniu poprzednich pięciu części wydawało mi się, że koncepcja tego czym jest zarówno wspólna wielokrotność (NWW) i jak wspólny dzielnik (NWD)... jest już za nami. Okazuje się jednak, że to była tylko pierwsza warstwa, którą obrałem i pokazałem co jest głębiej. Pora zatem na odkrycie kolejnej z warstw, aby było to jeszcze bardziej zrozumiałe.

Szczerze mówiąc, to ten artykuł jest odpowiedzią na zapytanie pani Małgorzaty, która poprosiła mnie, abym wytłumaczył działanie algorytmu na mniejszych liczbach. Zwłaszcza, że dzieci (eksperci od sprawdzania tego na ile umiemy i rozumiemy dogłębnie dane zagadnienie) pod jej przewodnictwem zaczęły zadawać pytania, które pozornie są proste, ale przy bliższym spojrzeniu pokazują, że są one (odpowiedzi) dla nich kluczem do zrozumienia.

Przeanalizujemy cztery przypadki w których mamy do czynienia z koncepcją NWW. Na razie możemy uznać, że wszyscy dobrze rozumieją czym jest NWD i tutaj nie widzę konieczności wyjaśniania czegokolwiek.

Załóżmy, że chcemy znaleźć NWW (16,24). Co robimy? Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze w tabeli (16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3), a potem nanosimy je na dwa koła z wyróżnioną częścią wspólną. W ten sposób nie ma szans na pomylenie wartości NWW.

Przykład 1: NWW (120 i 180). Zobaczmy co będzie się działo dla liczb 120 i 180. Widzimy, że wspólna wielokrotność zostanie utworzona z rozkładu obu liczb w postaci dwóch kółek z częścią wspólną (60).

Przykład 2: NWW (256, 192). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 768, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 64.

Przykład 3: NWW (240, 420). Iloczyn we wszystkich kółkach (NWW) to 1680, zaś w iloczyn w oku (środkowej części) (NWD) to 60.

Jak działa algorytm wyznaczania wspólnej wielokrotności (za każdym razem mam na myśli najmniejszą wspólną wielokrotność)?

Czym jest NWW? To najbliższy wspólny punkt w którym spotykają się dwie liczby. To najbliższa wspólna odległość (punkt) w którym spotykają się dwie osoby (liczby).

1) Obie liczby są pierwsze (automat).

Załóżmy, że mamy odcinki o długości 3cm i 5cm (jednostka może być dowolna, byle identyczna dla obu wartości). Pytanie jaki jest najbliższy punkt w którym oba z nich spotkają się dokładnie w tym samym miejscu? Okazuje się, że z uwagi na to, że zarówno 3 jak i 5 są liczbami pierwszymi, więc nie mają wspólnego dzielnika. Co wtedy? Otóż w takim przypadku wyznaczenie NWW polega na tym, aby położyć krótszych odcinków (3cm) tyle ile jest dłuższych (5), zaś dłuższych (5cm) tyle ile jest krótszych. Zatem rozwiązaniem jest 3x5 lub 5x3, czyli 15. W takim przypadku NWW jest wyznaczana zawsze poprzez iloczyn obu liczb. Dlaczego? Z uwagi na to, że obie liczby nie mają wielokrotności (części wspólnej).

2) Jedna liczba jest pierwsza, a druga jest złożona i jest jej wielokrotnością.

A co by się stało, gdybyśmy ten sam przykład chcieli rozwiązać dla odcinków 7cm i 21cm? Okazuje się wtedy, że dłuższy odcinek (21cm) mieści w sobie krótsze odcinki... bez reszty. Inaczej mówiąc liczba 21 jest wielokrotnością dla 7. W tym przypadku wystarczy położyć jeden dłuższy odcinek, a nad nim (albo pod nim) 3 odcinki krótsze, aby spotkały się ze sobą. W tego typu przypadku wystarczy sprawdzić czy większa liczba jest wielokrotnością mniejszej. Jeśli tak jest, wtedy większa z nich jest zarazem najmniejszą wielokrotnością dla obu z nich.

3) Obie liczby są złożone, zaś a druga jest zarazem wielokrotnością pierwszej.

Zastanówmy się teraz: czy będzie jakaś różnica jeśli obie liczby będą złożone - zaś druga jednocześnie będąc wielokrotnością pierwszej? Weźmy na przykład liczby 12 i 36 (obie parzyste) lub 9 i 27 (obie nieparzyste). Postępowanie jest identyczne jak w poprzednim przykładnie (7 i 21). Nadal nic się nie zmienia. Również nie byłoby różnicy w postępowaniu gdyby były to liczby złożone - nieparzysta i parzysta (9 i 36 albo 15 i 60).

Wniosek? Jeśli jedna z liczb jest wielokrotnością drugiej, wówczas nie ma znaczenia to czy są one pierwsze czy złożone, tak samo jak to czy obie są parzyste, nieparzyste czy też mieszane.

Dochodzimy zatem do sytuacji, która wymaga nieco innego podejścia i pewnej analizy, aby zrozumieć sens tego co się będzie działo przy wyznaczaniu wspólnej wielokrotności.

4) Żadna z liczb nie jest swoją wielokrotnością ani nie jest pierwsza

Weźmiemy na warsztat cztery przypadki. Jeśli uda nam się dobrze je wyjaśnić, wówczas jest bardzo duża szansa na to, że nastąpi pełne zrozumienie, a przynajmniej pogłębienie tego co dotychczas wiemy. Przyznam, że dopiero po kilku godzinach przeprowadzonych analiz, nastąpiło u mnie oświecenie. Przyznam, że wcześniej rozumiałem to na poziomie mechanicznym (obliczeniowym), ale nie do końca na poziomie struktury. Dlatego nie dziwię się dzieciom, że mogły nadal nie rozumieć istoty tego co robią, nawet jeśli poprawnie rozwiązywały zadania na NWW (zakładam, że NWD jest na tyle zrozumiałą koncepcją, że niemal wszyscy są w stanie bez problemu ją w pełni zrozumieć).


Przykład 1: NWW (16,24). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

16 = 2*2*2*2, zaś 24 = 2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2 = 8. W takim razie NWD (16,24) = 2*3*8 = 48

Przykład 2: NWW (120 i 180). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

120 = 2*2*2*3*5, zaś 180 = 2*2*3*3*5, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (120,180) = 2*3*60 = 360

Przykład 3: NWW (240, 420). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

240 = 2*2*2*2*3*5, zaś 420 = 2*2*3*5*7, zatem NWD = 2*2*3*5 = 60. W takim razie NWD (240, 420) = 2*2*7*60 = 1680

Przykład 4: NWW (64, 768). Rozkładamy liczby na czynniki i wyznaczamy NWD.

64 = 2*2*2*2*2*2, zaś 768 = 2*2*2*2*2*2*2*2*3, zatem NWD = 2*2*2*2*2*2 = 64. W takim razie NWD (64,768) = 1*2*2*3*64 = 768

Najważniejszym odkryciem dla mnie jest to, że wyznaczenie NWW dla dwóch liczb wymaga znalezienia ich części wspólnej (tak, największego wspólnego dzielnika). Następnie ich najmniejsza wspólna wielokrotność powstaje poprzez iloczyn tego co pozostało z liczb A i B po "wycięciu" (A' i B') wspólnej części... i jednokrotnego pomnożenia przez część wspólną.

Być może brzmi to nieco tajemniczo, ale za chwilę powinno się to wszystko rozjaśnić.

Jaka byłaby wspólna wielokrotność dla odcinków 4 i 5? To proste - 20! A gdyby odcinki 4 i 5 w swoich jednostkach miały ukryte - zamiast długości w centymetrach... jeszcze inną wspólną liczbę? Wyobraźmy sobie odcinek składający się z 4 identycznych części, którego każda część składa się jeszcze z 3 (mniejszych). Tak samo pomyślmy o odcinku o długości 5 jednostek (załóżmy, że też ma w sobie w każdej jednostce 3 mniejsze części). I teraz mielibyśmy 4x3 oraz 5x3, czyli 12 i 15. Jaka byłaby ich wspólna wielokrotność? To proste. Wspólna część obu odcinków na razie znika i mamy odcinki o długości 4 i 5. Jeśli je pomnożymy przez siebie, będziemy mieli 20. A teraz pozostaje tylko to, aby ten odcinek jeszcze pomnożyć (rozciąć) na 3 mniejsze (część wspólna dla obu!) i mamy wynik 20 x3 = 60. Zatem NWW dla 12 i 15 to 60!

To jeszcze jeden przykład, aby zobaczyć, że ten sposób efektywnie działa na każdej liczbie - nie ważna jak dużej! Pierwsza liczba niechaj będzie taka: Liczba A: 150 = 2x3x5x5. Druga liczba natomiast będzie taka: Liczba B: 315 = 3x3x5x7.

Teraz zastanówmy się jaka jest część wspólna dla obu liczb (wszystkie identyczne czynniki w każdej z nich). Zarówno w pierwszej liczbie jak i w drugiej częścią wspólną jest 3x5 (15), prawda? A to, co pozostaje wtedy w każdej z nich, gdy wytniemy (zignorujemy) wspólną część? Liczba A' będzie teraz miała wartość 2x5 (10), zaś B' to 3x7 (21). Wyznaczamy teraz wspólną wielokrotność dla tych "obciętych" liczb (A' i B') a potem mnożymy przez część wspólną (NWD obu wyjściowych liczb). Dlatego końcowa wartość NWW dla 150 i 315 będzie wyglądać następująco: 10x21 x15 = 3150.

Jak wygląda algorytm wyznaczania NWW? Oto on:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Zakreślamy w kółkach te same liczby (tyle samo razy!) w rozkładach obu liczb. Celem tego ćwiczenia jest znalezienie NWD.
3. W ten sposób znajdujemy NWD i już pierwsza część za nami.
4. Rysujemy dwa koła, które mają część wspólną (tak szeroką jak wiele jest identycznych czynników z rozkładu obu liczb).
5. Wpisujemy w środkową część (oko) identyczne liczby z rozkładu obu liczb (czyli NWD).
6. Zapisujemy pozostałe czynniki pierwszej liczby (A') w pozostałą część lewego koła, zaś pozostałe czynniki drugiej liczby (B') w prawą część koła.
7. Zapisujemy iloczyn czynników liczby A' i B' oraz części wspólnej (NWD).
8. Obliczamy wynik końcowy.

Co jest istotne w tym, aby wiedzieć (mieć pewność), że prawidłowo przeszliśmy cały proces rozumowania?

1. W części A' i B' nie może być identycznych czynników. Dlaczego? Bo gdyby takie były, wówczas muszą przejść do części środkowej (oko). Natomiast mogą być te same czynniki w środku koła (oku) i w lewym lub prawym kole.
2. Te same czynniki w rozkładzie liczb muszą być zakreślone tę samą liczbę razy. Przykładowo, gdy jedna z liczb to: (504) 2x2x2x3x3x7, zaś druga to (2940) 2x2x3x7x7x5, wtedy wspólne w obu liczbach są 2x2x3x7 (84).
3. NWD nie może być liczbą większą niż mniejsza z liczb wyjściowych. Przykładowo jeśli mamy liczby 16 i 24, to NWD nie może być większy niż 16. W takim wypadku mniejsza liczba nie mogłaby zostać rozłożona na czynniki, tak aby ją poprawnie wpisać w koło (lewe lub prawe). Wyjątkowo NWD może być równy liczbie mniejszej, gdy większa jest jej wielokrotnością (np. 16 i 48, wtedy NWD to 16).


Na koniec jeszcze mamy nietypową mini-sesję, która będzie składać się z pytań i odpowiedzi. Taka krótka sesja "Q&A" (Questions and Answers). W ten sposób mam nadzieję, że wszystkie elementy zaczną się lepiej łączyć z poprzednimi.

Q0: Dlaczego część wspólna (w oku - w części wspólnej obu kół) to takie same czynniki?
A0: Ponieważ przy rozbiciu obu liczb - te same czynniki (iloczyn) wyznaczają to czym jest NWD. A z uwagi na t że są takie same, to znaczy, że wspólne. A jak wspólne, to jednocześnie wpisujemy je w kole (oku) dla obu zbiorów.

Q1: Dlaczego do części wspólnej wkładamy takie same czynniki?
A1: Dlatego, że czynniki (iloczyn) wspólne w rozkładach obu liczb musi być ten sam - jako, że obszar środkowy kół A i B to te same czynniki (iloczyny) dla liczb A jak i B.

Q2: Czy NWW zaczynamy od znajdowania największego wspólnego dzielnika, który umieszczamy w części wspólnej?
A2: Jeśli mowa o metodzie kół dla dwóch liczb, to można w ten sposób to potraktować (zakładając, że albo szybko zrobimy rozkład liczb A i B na czynniki pierwsze albo w pamięci wyznaczymy wspólny dzielnik - zwłaszcza jak są to nieduże liczby).

Q3: Dlaczego do wyznaczenia NWW mnożymy NWD (część środkową - oko) przez czynniki/liczby, które zostają (w rozkładzie liczb A i B)?
A3: Dzieje się tak, ponieważ te liczby (czynniki), które pozostają w obu wyciętych częściach liczb A i B (A' i B') są liczbami pierwszymi, więc znalezienie wspólnej części dla nich (tak, ich "małego NWW"!) wymaga pomnożenia ich przez siebie. A potem rozszerzamy "małe NWW" przez NWD i nagle okazuje się, że znaleźliśmy wyjściowe NWW dla liczb początkowych.

Q4: Ile jest znanych i dobrych sposobów na wyznaczenie NWW - no i który z nich jest najlepszy?
A4: W zależności od tego jak liczyć i jak duże muszą być różnice, aby jeden sposób był inny od drugiego (wielkość i jakość różnic), to moim zdaniem możemy wyróżnić co najmniej CZTERY (tak, to nie pomyłka!) sposoby.

Q5: Czy jest jakikolwiek sposób wyznaczania NWW, który nie odnosi się bądź nie uwzględnia koncepcji NWD?
A5: Żaden ze znanych mi sposobów nie ma możliwości wyznaczenia NWW bez obejścia się (tj. wykorzystania) pomysłu związanego z NWD. Jedne z nich pokazują (stosują) to bezpośrednio, zaś inne w nieco ukrytej formie, ale wszystkie znane mi sposoby na NWW... wykorzystują koncepcję NWD.


Na koniec krótko omówię cztery sposoby (podejścia) wyznaczania NWW dla dwóch liczb.

NWW dla 36 (liczba A) i 120 (liczba B).
SPOSÓB pierwszy: mnożymy obie całe liczby, a potem dzielimy przez ich NWD. Czyli: 36*120/12=360

SPOSÓB drugi: mnożymy liczbę A' przez całą liczbę B. Czyli: 3*120 = 360

SPOSÓB trzeci: mnożymy liczbę B' przez całą liczbę A. Czyli: 10*36 = 360

SPOSÓB czwarty: mnożymy liczbę A' przez B' a potem przez NWD (środkową część - oko). W naszym przypadku będzie to takie działanie: 3* 2*5 *2*2*3 = 3*10 *12 = 360.


Osobiście do wyznaczania NWW (dla dwóch liczb) stosuję ostatni sposób (czwarty), ponieważ jest najbardziej logiczny dla mnie i najłatwiejszy do wyjaśnienia i zrozumienia. Być może na rysunkach będzie łatwiej zrozumieć to co mam do przekazania. Jedno czego jestem pewien to fakt, że trzeba poświęcić odrobinę czasu, aby zrozumieć istotę tego zagadnienia. Warto to zrobić w taki sposób, aby również dzieci miały możliwość sprawdzenia tej koncepcji na realnych obiektach (liczmanach).

Matma jakiej nie znacie - moja wizja nauczania i kilkanaście pomysłów do wykorzystania

Wiele osób zastanawia się jak wygląda moja wizja matematyki, o której w różnych miejscach wspominam. Myślę, że jest kolejna okazja, aby ją teraz nieco przybliżyć. Nie jest to co prawda wszystko co mam do powiedzenia o tym jak wyobrażam sobie nauczanie matematyki, ale na pewno istotny rąbek tajemnicy został uchylony...

Mija już blisko 2 tygodnie od momentu, gdy występowałem w webinarze (29 września 2019 roku). Tym razem przebiegało ono, bazując na koncepcji, którą tworzę, analizuję, wyznaję, hojnie się nią dzielę oraz przy okazji także uwielbiam. Tytuł mojego wystąpienia był następujący:

Matma jakiej nie znasz - czyli w jaki sposób można nauczać matematyki w sposób oryginalny, ciekawy jak i efektywny

Całość trwała 70 minut, więc musiałem w miarę się pospieszyć, aby powiedzieć większość tego co zaplanowałem. Webinar w którym występowałem składał się z dwóch głównych części:

1) Prezentacja (teoria) za pomocą slajdów (27 min)
2) Moje pomysły (praktyka): garść przykładów do wykorzystania i inspiracji (41 m)

W części pierwszej (teoretycznej) dotyczącej podejścia do nauki i nauczania matematyki mówiłem o tym w jaki sposób warto podchodzić do matematyki (1), czym są mity i stereotypu matematyczne i jak z nimi walczyć (1A), jaka jest relacja nauczyciela i ucznia (2), w jaki sposób nauczyciel powinien podchodzić do nauczania matematyki (2A), następnie o tym jak uczeń powinien podchodzić do swojego rozwoju matematycznego (2B). Dalsze slajdy to krótki opis tego jak wygląda moje podejście do nauczania (3), wnioski mówiące o tym na co zwrócić uwagę (4) jak też podsumowanie całości.

W kolejnej odsłonie mówiłem o tym jakiej pomocy i wsparcia oczekują nauczyciele (5), czym jest uczenie się od innych (6) i na końcu był mały apel dotyczący tego, aby nauczyciele ze wszystkich poziomów mogli lepiej ze sobą współpracować i wzajemnie się od siebie uczyć (8). Pod koniec nieco prowokacyjnie zapytałem o to czy lepszy jest model naukowy czy też może ciekawski (9).

A co jeśli chodzi o część praktyczną? Otóż podzieliłem się w niej kilkunastoma pomysłami. Myślę, że wystarczy rzut oka na poniższe obrazki, aby zobaczyć to czego dotyczyły moje koncepcje. Zdradzę, że omówiłem w dużym skrócie to w jaki sposób można je wykorzystać w czasie zajęć z matematyki. I uważam, że na tej podstawie każdy, kto zajmuje się nauczaniem matematyki... może samodzielnie stworzyć własne zajęcia.

Generalnie było to moje pierwsze wystąpienie online, więc zdaję sobie sprawę, że jest dużo rzeczy do poprawy. Niemniej dużo bardziej przeważa radość, bowiem cieszę się z tego, że mogłem podzielić się z innymi moją pasją do nauczania matematyki i przy okazji pokazać matematykę z zupełnie innej perspektywy - matmę jakiej nie znacie...

Poniżej zamieszczam odnośnik do zapisu nagrania (webinaru) na YouTube, który można sobie w wolnej chwili obejrzeć :). https://www.youtube.com/watch?v=iMi-ByCGCMc