Często zastanawiam się co by się stało, gdyby 9-letnie dzieci mogły bez problemu realizować to co ich koledzy w klasie 4 czy nawet 5. Co to takiego? Otóż jest to mnożenie liczb 3, 4 czy 5 cyfrowych przez podobne liczby. Zwykle unika się tematu związanego z mnożeniem 564 przez 2754, argumentując, że Jasiu, Basia czy Agatka jest jeszcze zbyt mała i nie poradzi sobie z mnożeniem pisemnym. A ja wtedy pytam: a gdyby tak Agatka już dość dobrze umiała tabliczkę mnożenia, to czy mogłaby zająć się mnożeniem takich liczb i do tego w sposób, który będzie przypominał ciekawą zabawę i dawał satysfakcję z tego, że potrafi wykonać równie prawidłowo jak jej kalkulator? No właśnie! Dlatego chcę się podzielić czymś, czego osobiście nigdy nie byłem uczony i nikt mi tego nie pokazywał. Co to takiego? Za chwilę odkryję karty na stół...
Gdy już dzieci nauczą się płynnie tabliczki mnożenia, wówczas przychodzi kolej na mnożenie liczb wielocyfrowych. Najpierw są to wartości w zakresie od 200 do 1000, ale potem już pojawiają się liczby (wyniki) co najmniej czterocyfrowe. Tradycyjny sposób mnożenia jest dobrym rozwiązaniem, ale przy uczniach o słabszej pamięci i umiejętnościach zdarza się, że zapominają o przesuwaniu rzędu po zakończeniu każdego iloczynu.
I właśnie stąd moja idea na to, aby spróbować czegoś innego. Co zatem proponuję? Otóż mnożenie hinduskie, które daje tą przewagę nad tradycyjnym sposobem, że nie wymaga dodatkowego miejsca i przy okazji nie ma konieczności przestawiania rzędów. Wystarczy tylko zwykła tabliczka mnożenia zaledwie do 81 (bo największe cyfry mnożone to dwie dziewiątki) i można wykonać praktycznie dowolne mnożenie. A co jeszcze daje dużo radości dzieciom, to fakt, że mogą mnożyć liczby 4, 6 czy nawet 8-cyfrowe przez siebie. Słowem, jest wiele zabawy i przy okazji wzrasta stopień poprawności. Myślę, że mogą to być odpowiednie argumenty za tym, aby wypróbować ten oto magiczny sposób.
Jak zatem możemy opanować ten niezwykły sposób mnożenia? Zobaczmy...
Gdy już dzieci nauczą się płynnie tabliczki mnożenia, wówczas przychodzi kolej na mnożenie liczb wielocyfrowych. Najpierw są to wartości w zakresie od 200 do 1000, ale potem już pojawiają się liczby (wyniki) co najmniej czterocyfrowe. Tradycyjny sposób mnożenia jest dobrym rozwiązaniem, ale przy uczniach o słabszej pamięci i umiejętnościach zdarza się, że zapominają o przesuwaniu rzędu po zakończeniu każdego iloczynu.
I właśnie stąd moja idea na to, aby spróbować czegoś innego. Co zatem proponuję? Otóż mnożenie hinduskie, które daje tą przewagę nad tradycyjnym sposobem, że nie wymaga dodatkowego miejsca i przy okazji nie ma konieczności przestawiania rzędów. Wystarczy tylko zwykła tabliczka mnożenia zaledwie do 81 (bo największe cyfry mnożone to dwie dziewiątki) i można wykonać praktycznie dowolne mnożenie. A co jeszcze daje dużo radości dzieciom, to fakt, że mogą mnożyć liczby 4, 6 czy nawet 8-cyfrowe przez siebie. Słowem, jest wiele zabawy i przy okazji wzrasta stopień poprawności. Myślę, że mogą to być odpowiednie argumenty za tym, aby wypróbować ten oto magiczny sposób.
Jak zatem możemy opanować ten niezwykły sposób mnożenia? Zobaczmy...
Mamy prosty przykład mnożenia dwóch liczb dwucyfrowych. Wykonajmy iloczyn dwóch liczb 24x46. Zobaczmy jak krok po kroku go wykonać - oddajmy głos autorowi, którym jest Paweł Marchel (realizator ciekawego projektu matematycznego "Matemagia", link poniżej).
Teraz zatem ja spróbuję pokazać jak działa mnożenie hinduskie na przykładzie większych liczb. Miejmy nadzieję, że każdy bez problemu opanuje tę metodę i będzie mógł dzięki niej odkrywać kolejne tajemnice jak i przeżywać radość oraz zafascynowanie matematyką.
Przykład 1: 467x82 = ? [38294]
Mamy dwie liczby: jedna 3-cyfrowa, zaś druga 2-cyfrowa. Wiemy zatem, że musimy utworzyć prostokąt, składający się z 6 kwadratów (3x2), które potem "rozcinamy" za pomocą przekątnych.
Następny krok, to zapisanie obu liczb: liczby 467 nad prostokątem (dłuższym bokiem), tak aby każda cyfra była dokładnie na środku kratki. Następnie to samo robimy z liczbą 82, tyle że po prawej stronie i zapisujemy jej poszczególne cyfry od góry do dołu (obok kwadratów).
Dalej jest już prosto. Wykonujemy mnożenie poszczególnych cyfr i wpisujemy je do kolejnych kratek. Pamiętajmy, że jeśli wynikiem jest liczba dwucyfrowa, wówczas pierwsza cyfra (dziesiątek) musi być wpisana w górny trójkąt, zaś druga cyfra (jednostek) w niższy. Jeśli wynikiem jest liczba jednocyfrowa, wówczas w górnym trójkącie wpisujemy 0, zaś w dolnym daną liczbę (cyfrę). A co zrobić, gdy wynikiem będzie liczba trzycyfrowa? Nic, po prostu sprawdzić czy na pewno dobrze wykonaliśmy mnożenie. Dlaczego? Otóż w przypadku mnożenia dwóch liczb jednocyfrowych wynik nie może być większy niż dwie cyfry. Ot i całe wyjaśnienie tajemnicy!
W naszym wypadku zaczynamy od prawego górnego kwadratu: 7x8, następnie, 7x2, kolejno 6x8, 6x2 i na koniec 4x8 i 4x2. W ten sposób uzyskujemy konkretne wartości, które wpisujemy w dane kwadraty (a ściślej w trójkąty, które powstały z rozcinania kwadratów).
Ostatni etap i jesteśmy już w domu! Mianowicie sumujemy zgodnie z kierunkiem strzałek (od góry do dołu i od prawej do lewej) poszczególne cyfry. I tak mamy najpierw 4, następnie 9, a w trzeciej sumie (5+8+1+8) wychodzi nam liczba dwucyfrowa, czyli 22. Wpisujemy na końcu strzałki jedynie ostatnią cyfrę (czyli 2), zaś poprzednią dwójkę dodajemy do sumy kolejnych cyfr w następnej strzałce. Przedostatnia strzałka (idziemy od prawej w lewo) to cyfry 4, 2 i 0. Ich suma to 6, ale musimy dodać zaległą (przeniesioną) dwójkę, a więc ostatecznie jest to 8. No i najkrótsza a zarazem ostatnia strzałka ma tylko jedną cyfrę, która przepisujemy (jest nią 3).
I na koniec otrzymujemy wynik: 38294. Tak, można a nawet trzeba sprawdzić na kalkulatorze czy jest to prawidłowa wartość iloczynu liczb 467 i 82. Pora na kolejny przykład.
Następny krok, to zapisanie obu liczb: liczby 467 nad prostokątem (dłuższym bokiem), tak aby każda cyfra była dokładnie na środku kratki. Następnie to samo robimy z liczbą 82, tyle że po prawej stronie i zapisujemy jej poszczególne cyfry od góry do dołu (obok kwadratów).
Dalej jest już prosto. Wykonujemy mnożenie poszczególnych cyfr i wpisujemy je do kolejnych kratek. Pamiętajmy, że jeśli wynikiem jest liczba dwucyfrowa, wówczas pierwsza cyfra (dziesiątek) musi być wpisana w górny trójkąt, zaś druga cyfra (jednostek) w niższy. Jeśli wynikiem jest liczba jednocyfrowa, wówczas w górnym trójkącie wpisujemy 0, zaś w dolnym daną liczbę (cyfrę). A co zrobić, gdy wynikiem będzie liczba trzycyfrowa? Nic, po prostu sprawdzić czy na pewno dobrze wykonaliśmy mnożenie. Dlaczego? Otóż w przypadku mnożenia dwóch liczb jednocyfrowych wynik nie może być większy niż dwie cyfry. Ot i całe wyjaśnienie tajemnicy!
W naszym wypadku zaczynamy od prawego górnego kwadratu: 7x8, następnie, 7x2, kolejno 6x8, 6x2 i na koniec 4x8 i 4x2. W ten sposób uzyskujemy konkretne wartości, które wpisujemy w dane kwadraty (a ściślej w trójkąty, które powstały z rozcinania kwadratów).
Ostatni etap i jesteśmy już w domu! Mianowicie sumujemy zgodnie z kierunkiem strzałek (od góry do dołu i od prawej do lewej) poszczególne cyfry. I tak mamy najpierw 4, następnie 9, a w trzeciej sumie (5+8+1+8) wychodzi nam liczba dwucyfrowa, czyli 22. Wpisujemy na końcu strzałki jedynie ostatnią cyfrę (czyli 2), zaś poprzednią dwójkę dodajemy do sumy kolejnych cyfr w następnej strzałce. Przedostatnia strzałka (idziemy od prawej w lewo) to cyfry 4, 2 i 0. Ich suma to 6, ale musimy dodać zaległą (przeniesioną) dwójkę, a więc ostatecznie jest to 8. No i najkrótsza a zarazem ostatnia strzałka ma tylko jedną cyfrę, która przepisujemy (jest nią 3).
I na koniec otrzymujemy wynik: 38294. Tak, można a nawet trzeba sprawdzić na kalkulatorze czy jest to prawidłowa wartość iloczynu liczb 467 i 82. Pora na kolejny przykład.
Przykład 2: 6832x754 = ? [5151328]
Tym razem samodzielnie spróbujmy przeanalizować przykład, wzorując się na poprzednim.
Zwróćmy jeszcze uwagę na kierunek odczytywania liczby. Jeśli zapiszemy ją tak jak zalecam (pierwszą góry a drugą po prawej), wówczas odczytujemy ją zaczynając od górnego lewego kwadratu, a kończymy przechodząc w dół i w prawo aż do ostatniej cyfry. Dzięki temu nie będzie sytuacji w których uczeń zapisze wynik w postaci lustrzanej (zamiast 5151328, to wpisze 8231515).
Pamiętajmy, aby zapisywać tylko ostatnią cyfrę, a każdą z powyższych przenosić do kolejnej grupy. Przykładowo jeśli otrzymujemy z mnożenia wynik 72, wówczas wpisujemy tylko 2, zaś 7 dodajemy do kolejnego sumowania "po ukosie". Można sobie takie dodatkowe cyfry zapisywać obok tabelki w której realizujemy obliczenia. W przypadku dzieci mających trudności z tabliczką mnożenia, można zapisywać poszczególne iloczyny obok, a potem wpisywać w odpowiednie miejsca (trójkąty) w tabeli. Im większa płynność w tabliczce mnożenia, tym większa poprawność i efektywność przy tego typu mnożeniu. Warto o tym pamiętać. No i w miarę możliwości warto sprawdzać wyniki na kalkulatorze... przynajmniej do momentu osiągnięcia dużej wprawy w tym nowym sposobie mnożenia.
Jako dodatek pokażę jeszcze jak może wyglądać karta pracy (link poniżej) i na co zwrócić uwagę, aby ten sposób był maksymalnie prosty i bezbłędny. Otóż przede wszystkim zalecam zapisywanie liczb na górze (nad kratkami) i po prawej stronie kratek. Będzie to gwarantowało większą poprawność, gdyż unikniemy przypadkowego zliczania cyfr (gdy zapisujemy po lewej stronie, to często może do tego dojść).
Tym razem samodzielnie spróbujmy przeanalizować przykład, wzorując się na poprzednim.
Zwróćmy jeszcze uwagę na kierunek odczytywania liczby. Jeśli zapiszemy ją tak jak zalecam (pierwszą góry a drugą po prawej), wówczas odczytujemy ją zaczynając od górnego lewego kwadratu, a kończymy przechodząc w dół i w prawo aż do ostatniej cyfry. Dzięki temu nie będzie sytuacji w których uczeń zapisze wynik w postaci lustrzanej (zamiast 5151328, to wpisze 8231515).
Pamiętajmy, aby zapisywać tylko ostatnią cyfrę, a każdą z powyższych przenosić do kolejnej grupy. Przykładowo jeśli otrzymujemy z mnożenia wynik 72, wówczas wpisujemy tylko 2, zaś 7 dodajemy do kolejnego sumowania "po ukosie". Można sobie takie dodatkowe cyfry zapisywać obok tabelki w której realizujemy obliczenia. W przypadku dzieci mających trudności z tabliczką mnożenia, można zapisywać poszczególne iloczyny obok, a potem wpisywać w odpowiednie miejsca (trójkąty) w tabeli. Im większa płynność w tabliczce mnożenia, tym większa poprawność i efektywność przy tego typu mnożeniu. Warto o tym pamiętać. No i w miarę możliwości warto sprawdzać wyniki na kalkulatorze... przynajmniej do momentu osiągnięcia dużej wprawy w tym nowym sposobie mnożenia.
Jako dodatek pokażę jeszcze jak może wyglądać karta pracy (link poniżej) i na co zwrócić uwagę, aby ten sposób był maksymalnie prosty i bezbłędny. Otóż przede wszystkim zalecam zapisywanie liczb na górze (nad kratkami) i po prawej stronie kratek. Będzie to gwarantowało większą poprawność, gdyż unikniemy przypadkowego zliczania cyfr (gdy zapisujemy po lewej stronie, to często może do tego dojść).
Linki wykorzystane w artykule:
1) Karta pracy zawierająca ćwiczenie z zakresu mnożenia po hindusku. Link: http://scholaris.pl/zasob/725022) Opisu przykładu i trzech obrazków (poszczególnych kroków) omawianego przez Pawła Marchela. Link: http://biblioteka.soleckujawski.pl/index.php/aktualnosci/blog/item/476-listopad-miesiacem-ciekawostek
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz
Jeśli chcesz, aby twoja wiadomość nie została odrzucona przez system jako spam (usunięte), to podpisz się swoim imieniem lub pseudonimem. Dziękuję :)