Ciekawy jestem ilu uczniów zastanawia się nad tym, aby sprawdzić o co chodzi we wzorze na pole koła. Skąd się tak naprawdę bierze i jakie są relacje między nim a wielokątami foremnymi, a w szczególności kwadratem, sześciokątem, dwunasto i szesnastokątem.
Dla tych, którzy chcą mieć dobre wprowadzenie do tematu, polecam przypomnieć sobie to, co omawialiśmy w poniższych artykułach (szczególnie tym drugim). Poniżej linki do nich.
1) To jest dobra matematyka - czyli o nauce i sposobach jakie stosować wolno, trzeba a nawet należy (2)
2) Jak powstaje koło z kwadratu - czyli jak wygląda wnioskowanie na prostych koncepcjach
Doszliśmy wtedy do wniosku, że im bardziej zwiekszamy liczbę boków (kątów) w wielokącie foremnym wpisanym w okręgu (koło), tym mniej wolnego miejsca pozostaje między kołem a danym wielokatem. Badaliśmy wtedy kąty wewnętrzne wielokątów foremnych, aby zobaczyć jak szybko będą się zbliżać do miary kąta 180 stopni, którego nigdy nie mogą osiągnąć, ale będą się w nieskończoność do niego zbliżać.
Przy okazji można dodać, że dla praktycznych zastosowań, jeśli koło jest jest bardzo duże, wówczas 32-kąt foremny bardzo mocno je przypomina, zwłaszcza bez wyraźnie zaznaczonych wierzchołków. Podkreślmy, że wówczas kąt wewnętrzny wynosi 168,75 stopni, co sprawia, że dość trudno jest natychmiast odróżnić taki wielokąt od okręgu lub jeszcze lepiej - koła.
Jeśli ktoś chce coś więcej poczytać na temat czworokątów wpisanych w okrąg, to poświęciłem temu zagadnieniu serię 5 artykułów pod tytułem "Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła". Polecam szybko zerknąć na ostatni odcinek, zwłaszcza to jak obliczamy pole koła. Link poniżej.
3) Matematyka jest fajna - magia okręgu i koła - czyli kto wszystkie tajemnice odkryć i zbadać zdoła (5)
Tyle tytułem przypomnienia. Dziś chciałbym żebyśmy połączyli kilka koncepcji, tak aby udowodnić, że nawet tematy stosunkowo trudne, można zrealizować w sposób ciekawy, zrozumiały a przede wszystkim oparty na doświadczeniu i praktycznych przykładach.
Od razu podkreślam, że to co zaproponuję w tym artykule może być zrealizowane na kilku zajęciach. Wszystko zależy od tego czym konkretnie chcemy się zająć, kim są nasi odbiorcy, jakie mają doświadczenie, zapał do pracy połączony z poziomem ciekawości czy też dostępności czasu i energii.
Wyjaśnimy na praktycznych przykładach czym tak naprawdę jest wzór na pole koła. Wierzę, że jest to jedna z propozycji, która nie jest w ogóle spotykana w edukacyjnej praktyce. Dlaczego? Ponieważ nigdy wcześniej o niej nie słyszałem, a dodatkowo będę posiłkował się koncepcją, którą zaprezentował jeden z matematycznych edukatorów - Beau Janzen. Polecam serdecznie przejrzeć jego rewelacyjne filmiki w najbardziej popularnych social mediach (ja akurat odnalazłem je jako rolki na Facebooku).
Jakie koncepcje połączymy tym razem? Wymienię je pokrótce i wyjaśnię w jaki sposób się ze sobą łączą.
1) Pole i obwód: wielokąty oraz koło i okręg.
2) Wielokąty foremne: najważniejsze własności, pole oraz przekątne.
3) Trójkąty równoboczne, równoramienne, kwadraty i sześciokąt foremny.
4) Podział figury na inne wielokąty.
5) Rozcinanie i układanie (nowych) figur.
6) Pomiar i błąd: szacowanie, porównywanie i proste obliczenia.
7) Proporcje oraz procenty: szacowanie, porównywanie i proste obliczenia.
8) Figury wpisane w okrąg i opisane na okręgu.
9) Liczba Pi: czym jest i skąd się bierze jej nieskończone rozwinięcie dziesiętne.
10) Pole koła w stosunku do pól wielokątów foremnych: praktyczne podejście.
Podkreślam wyraźnie, że każdy z powyższych elementów (koncepcji) występuje w różnym zakresie. Jeśli nie chcemy realizować kilku długich zajęć, to trzeba zaznaczyć, że przynajmniej część z nich uczniowie powinni znać chociażby w podstawowym zakresie. Myślę, że na bazie tylko tego artykułu i powyższych zagadnień można spokojnie zrealizować 8-10 zajęć lekcyjnych (po 45 lub 60 minut). Wszystko zależy od kreatywności nauczyciela oraz dostępnych zasobów.
Głównym wątkiem tej inspiracji matematycznej jest zrozumienie tego czym jest wzór na pole koła. Będziemy to realizowali na przykładach praktycznych. Dodam, że można takie zajęcia przeprowadzić z uczniami w wieku 10-14 lat, dostosowując je do możliwości i poziomu wiedzy danej grupy uczniów.
Mamy 8 rodzajów wielokątów foremnych wpisanych w okrąg (3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, i 16-kąt). Z kolei okrąg jest dodatkowo wpisany w kwadrat. Pozornie wydaje się to niezrozumiałe, ale za chwilę wszystko się wyjaśni. Dodam, że nad tą koncepcją pracowałem naprawdę długo, ale wierzę, że dobre jej zrozumienie oraz przeprowadzenie zajęć praktycznych na jej podstawie może sprawić, że dzieci zaczną zupełnie inaczej postrzegać figury geometryczne w kontekście holistycznym.
Podzieliłem wszystko na trzy części. Mam nadzieję, że to zdecydowanie ułatwi objęcie całości, bo naprawdę jest tego sporo. Zaczynajmy!
CZĘŚĆ PIERWSZA (30-60 minut)
1. Jak się ma pole kwadratu do pola koła?
2. Jakie są relacje pola wielokątów foremnych wpisanych w koło?
3. Czy pola wielokątów wpisanych w koło można odnieść do pola (pełnego) kwadratu?
4. Jak rozcinać i układać wielokąty, aby mierzyć ich pola w stosunku do pola kwadratu?
5. Praca na czworokącie i sześciokącie (rozcinanie i układanie kwadratów).
6. Proste obliczenia i porównywanie pól obu figur (dokładne i szacunkowe).
Pole naszego (głównego) kwadratu składa się z czterech mniejszych kwadratów. Bok małego kwadratu to R, zaś głównego kwadratu to 2R. Teraz powinno być wyraźnie widoczne, że pole całego kwadratu to 4R^2 (dzieci muszą to zrozumieć, najlepiej rozcinając duży kwadrat na 4 mniejsze).
Każdy wielokąt foremny wpisany w koło ma zawsze mniejsze pole niż pole koła. Przy tym im więcej boków (kątów) ma dany wielokąt, tym mniejsza jest różnica pól między nimi. Można to uzasadnić poprzez prosty wniosek, bazujący na tym, że pomiędzy wielokątem a kołem są puste przestrzenie, które sprawiają, że wielokątowi foremnego zawsze ich brakuje, aby mógł mieć dokładnie takie samo pole jak ma koło. Na nieco wyższym poziomie można wycinać i układać owe wielokąty, tak aby tworzyć z nich pełne małe kwadraty. Na najwyższym poziomie oczywiście posługujemy się formalnymi (dokładnymi) obliczeniami wielokątów wpisanych w koło. Warto podkreślić, że jeśli nie mamy zbyt dużo czasu, to można wykorzystać do tego albo aplikacje albo wcześniej przygotowany arkusz kalkulacyjny w którym podajemy promień okręgu oraz liczbę kątów danego wielokąta i widzimy jakie ma pole.
Najlepiej jest zaczynać pracę na wpisanym czworokącie i sześciokącie, bo w przypadku czworokąta natychmiast można je złożyć w dwa małe kwadraty. Jeśli chodzi o sześciokąt foremny, to warto pamiętać, że możemy go tak rozcinać, aby wypełnić dokładnie dwa małe kwadraty, a potem dokładać pozostałe części do kolejnego kwadratu. Koniecznie należy w tym miejscu dobrze omówić i przypomnieć własności trójkąta równobocznego, bo dzięki temu można idealnie ułożyć dwa kwadraty, bazując na długości boku trójkąta i tym, że wysokość przecina go zawsze w połowie. Przy czym dobrze jest dać możliwość dzieciom rysowania linii pomocniczych, aby potem mogły wycinać i przenosić każdy (rozcięty) kawałek na matrycę dużego kwadratu podzielonego na cztery mniejsze.
Tak jak wspomniałem wyżej możemy w tym miejscu zrobić proste obliczenia i porównywanie pól obu figur w stosunku do kwadratu. Dzięki temu mamy uniwersalną jednostkę, która brzmi śmiesznie, ale jest moim zdaniem przełomem. Można je nazwać ją jako "małe kwadraty kwadratowe". Jeśli nie ma czasu lub możliwości na obliczenia, to można podkreślić, że w przypadku czworokąta mamy pole, które idealnie pokrywa dwa małe kwadraty, zaś w przypadku sześciokąta widać, że jest to pole wielkości 2,5 małych kwadratów. Nie wiemy dokładnie o ile więcej, ale na oko widać, że na pewno nie mniej niż 2 pełne kwadraty i połowa kolejnego. Na tym etapie to w pełni powinno wystarczyć, zwłaszcza jeśli realizujemy zajęcia z uczniami 4 czy 5 klasy.
CZĘŚĆ DRUGA (45-90 minut)
1. Dwunastokąt foremny oraz jego właściwości.
2. Rysowanie przekątnych tworzących trójkąty równoramienne.
3. Rysowanie trójkątów równobocznych na bokach dwunastokąta.
4. Łączenie każdego wierzchołka trójkąta równobocznego ze środkiem koła.
5. Kolorowanie trójkątów równobocznych i równoramennych.
6. Rozcinanie trzech rakiet z ćwiartki koła.
7. Układanie rakiet jako dopełnienie trzech ćwiartek kwadratu.
8. Określanie wzoru na bazie praktycznego ćwiczenia.
9. Zapisanie wzoru końcowego na pole dwunastokąta foremnego.
10. Odszyfrowanie pola koła w stosunku do pola dwunastokąta foremnego.
Tutaj krótko omawiamy to czym jest dwunastokąt foremny oraz jakie są jego właściwości. Tradycyjnie jeśli mamy więcej czasu, to możemy dać dzieciom możliwość tworzenia wszystkiego od zera. Jeśli jednak chcemy nieco przyspieszyć i ułatwić pracę, wówczas możemy mieć przygotowane wielokąty, tak aby uczniowie mogli mieć już fundamenty na których mogą pracować.
Możemy mieć slajdy na wyświetlane ekranie lub prosty i duży rysunek tablicy, tak aby wszyscy uczniowie widzieli i rozumieli co mają zrobić na danym etapie. Tymi etapami są punkty od 2 do 5. Następnie rozcinamy trzy rakiety, tak aby w kolejnej fazie dopełnić je do trzech ćwiartek kwadratu.
Dalej mamy już określanie i zapisanie wzoru na pole dwunastokąta foremnego na bazie praktycznego ćwiczenia. I teraz następuje moment w którym możemy wyjaśnić na czym polega różnica między polem figury, którą ułożyliśmy a polem koła. Najprościej mówiąc, jeśli przypomnimy sobie, że pole koła to "Pi razy R kwadrat", to wiemy już, że wartość Pi w przybliżeniu to 3,14 a nasz dwunastokąt foremny ma pole "3 razy R kwadrat". Co to oznacza? To, że jeśli podzielimy powyższe (przybliżone) pole koła przez pole naszego wielokąta, to otrzymamy wynik 1,04(6). No dobrze, ale czym jest ów wynik? Pokazuje on proporcję pól obu figur, którą zaokrąglamy do 1,05 a następnie zamieniamy na procenty. Daje to oczywiście 105%, czyli koło ma o 5 procent większe pole od naszego dwunastokąta foremnego. I teraz, aby dzieci mogły jeszcze lepiej to zrozumieć, to bierzemy kwadrat o wielkości 10x10 kratek (5cm x 5cm) i zamalowujemy 5 ze stu takich kratek. Te 5 ze 100, to właśnie owa różnica (nadwyżka).
Teraz powoli wyjaśnia się to dlaczego idealnie byłoby, gdyby masz główny (największy kwadrat) miał wielkość 20x20 kratek (10cm x 10cm). Dzięki temu dzieci doskonale zrozumieją wizualnie to jak niewiele brakuje od pola dwunastokąta foremnego do pola koła w które został wpisany. Jeśli zamalujemy jednym kolorem wszystkie trzy "kwadratowe kwadraty" (najlepiej z pustego szablonu głównego kwadratu), wówczas będzie zamalowane 300 kratek, czyli pole naszego składanego wielokąta. Wystarczy teraz wziąć jeden mały kwadrat i zamalować w nim 5 kratek (najlepiej innym kolorem), tak żeby było doskonale widoczna różnica między polami: koła i dwunastokąta foremnego.
No i znowu jeśli mamy na to przestrzeń i odpowiednie warunki, to można zabawić się w zgadywanie jaka będzie proporcja w przypadku pozostałych wielokątów foremnych. To jest moment na szacowanie, aby później móc zobaczyć na ile nasze przewidywane wyniki różnią się od tych, które obliczymy na końcu i sprawdzimy poziom błędu (może to być błąd względny, bezwględny lub oba). To jest przy okazji ostatni punkt części trzeciej. Można go zrobić teraz lub w części ostatniej.
CZĘŚĆ TRZECIA (45-90 minut)
1. Praca na czworokącie i sześciokącie (rozcinanie i układanie kwadratów) - proporcje i procenty.
2. Bardziej złożone obliczenia i porównywanie pól obu figur (dokładne i szacunkowe) - proporcje i procenty.
3. Praca na ośmiokącie, dwunastokącie i szesnastokącie (rozcinanie i układanie kwadratów).
4. Praca na trójkącie, pięciokącie i dziesięciokącie (rozcinanie i układanie kwadratów).
5. Wpisywanie wszystkich danych do głównej tabeli.
4. Błąd pomiaru: wynik szacunkowy i dokładny.
Tu już powinno wszystko iść jak z górki. Teraz pozostaje nam praca na pozostałych wielokątach foremnych. I znowu w zależności od tego jak zdecyduje nauczyciel na podstawie znajomości uczniów, można realizować bardziej lub mniej złożone obliczenia. Obowiązkowo jednak trzeba dać dzieciom możliwość składania każdego z wielokątów, zaczynając (czy też dokładniej mówiąc: kontynuując) w tej części od ośmiokąta, przechodząc do dwunastokąta (tego pole już dokładnie znamy, prawda?) i szesnastokąta. Chodzi o to, że 8, 12 i 16-kąty są wielokrotnością czworokąta, więc bardzo łatwo można rozrysowywać a następnie wycinać połówki kwadratu, tak żeby układać je w całe kwadraty. Pozostałe 4 części, które są przystającymi trapezami równoramiennymi trzeba tak zagospodarować, aby żeby jak najlepiej (najpełniej) mogły zapełnić albo 1 albo 2 puste kwadraty (przestrzenie), ale w taki sposób, żeby uczeń mógł jak najdokładniej określić (oszacować) stopień ich zapełnienia. Inaczej mówiąc, chodzi o to, żeby określił pole danego wielokąta foremnego, wyrażając do w jednostkach kwadratowych (jako liczbę mieszaną lub procent).
Kolejno przechodzimy do trójkąta, pięciokąta i dziesięciokąta. W przypadku pola trójkąta jest o tyle łatwo, że można go szybko obliczyć ze wzoru albo chwilowo pominąć i po prostu wrócić do niego na samym końcu. Pięciokąt stanowi dość duże wyzwanie, ponieważ tylko jeden jego wierzchołek styka się z bokiem kwadratu, a w przypadku dziesięciokąta aż dwa! Dobrze jest zatem dać ponownie dzieciom okazję do tego, aby podały (tworzyły) swoje pomysły na to w jaki sposób można jak najlepiej rozcinać i przenosić figury, żeby dokładnie wypełniać nasze jednostkowe (kwadratowe) kwadraty. Oczywiście w tym wypadku zalecane będzie pracowanie z linijką, tak żeby w razie potrzeby jak najdokładniej odmierzać długości boków, by możliwie jak najlepiej wypełniać puste przestrzenie. Pamiętajmy, że nie chodzi o jak najdokładniejszy wynik, tylko o to, żeby tworzyć uczniom warunki do tego, żeby mogły generować różne pomysły i strategie rozwiązywania problemów. Dokładny wynik otrzymamy dzięki wzorom, ale to właśnie tworzenie i testowanie różnych koncepcji oraz wyciąganie wniosków jest kluczem do rozwijania myślenia.
No i na końcu warto pamiętać o tym, żeby stworzyć tabelę do tego, aby wpisywać niezbędne dane - zarówno te szacunkowe jak i dokładne. Dzięki temu będziemy mogli bardzo szybko dostrzegać istotne zależności, określać poziom błędu jak też wyciągać wnioski z poszczególnych etapów pracy czy też rozwiązywaniu sytuacji problemowych.
Jeśli nasi uczniowie są nadal ciekawi tego czym jest tajemnicza liczba Pi, to można wyjaśnić im to czym jest i skąd się bierze jej nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Jedną z prostych i bardzo wciągających pomocy jest sprawdzenie tego na którym miejscu po przecinku znajduje się określona data (data urodzenia lub jakiegoś wydarzenia historycznego). Można znaleźć odpowiedzi na takie zapytania na stronie "MyPiDay" (link poniżej).
Z kolei w przypadku omawiania zagadnienia pola koła w stosunku do pól wielokątów foremnych, to koniecznie warto podkreślić, że rozwinięcie dziesiętne liczby Pi było dawniej generowane za pomocą metody Archimedesa. Metoda jest dość prosta: to średnia arytmetyczna sumy obwodu wielokąta opisanego na okręgu i wpisanego w okrąg. Warto wspomnieć, że posługiwał się nią Archimedes. W razie potrzeby można sprawdzić te wartości dla kilku wybranych wielokątów foremnych: trójkąta, kwadratu, sześciokąta, ośmiokąta, dwunastokąta i szesnastokąta. Obecnie używa się znacznie bardziej skomplikowanych i dających ogromnie długie rozwinięcie liczby Pi (można o tym poczytać poniżej).
[Cytat] "W swojej pracy [Archimedes] wykorzystał geometrię. Jego metoda polegała na wyznaczeniu długości boków dwóch figur – dziewięćdziesięciosześciokątów foremnych – z których jedna była wpisana w okrąg, a druga opisana na tymże okręgu. Na tej podstawie Archimedes obliczył średnią arytmetyczną wartość obwodów obydwu figur, uzyskując przybliżoną długość okręgu".
Czas najwyższy kończyć. Mam nadzieję, że ta inspiracja do realizowania zajęć z matematyki będzie dobrą pomocą dla nauczycieli, którzy chcą, aby ich uczniowie mogli odkrywać i doświadczać matematyki w różnych jej aspektach. Pamiętajmy, że im lepiej opracujemy matematyczne koncepcje, tym większą szansę będą mieli nasi uczniowie, aby nie tylko zrozumieć matematykę, ale także ją pozytywnie doświadczać jak i odkrywać jej niezwykłe właściwości także za pomocą działań na konkretach.
Mam nadzieję, że teraz dość dobrze widać, że ten artykuł daje potężne możliwości związane z integracją figur, a jednocześnie dostrzegania różnych zależności między nimi. Warto być świadomym tego, że każdy z powyższych dziesięciu punktów może być bez problemu osobnymi zajęciami, trwającymi po co najmniej kilkadziesiąt minut. Matematyka może być dziedziną w której możemy zapomnieć o czasie i przestrzeni.
