BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Pi razy oko – czyli komedia matematycznych pomyłek

Książki związane z tak zwaną popularyzacją matematyki nie są zbyt częstym gościem na rynku wydawniczym. Tym bardziej dobre lub bardzo dobre książki, które sprawiają, że nawet osoby, które nie mają na bieżąco kontaktu z matematyką… również chciałyby po nie sięgnąć. Dlatego zwykle z dużą ciekawością, ale i niedowierzaniem przyglądam się tym, które pojawiają się na rynku, zwłaszcza gdy są reklamowane jako bestsellery albo takie, które sprawią, że nagle wszyscy porzucą wszystko czym się zajmują i zanurzą się natychmiast w ich lekturze.

Ostatnio w moje ręce wpadła książka, która kilka lat temu była na liście zagranicznych bestsellerów, więc tym bardziej chciałbym się jej przyjrzeć. Zanim przejdę do omówienia tej pozycji, to może podam najpierw tytuł i autora. Ta książka, to Pi razy oko – czyli komedia matematycznych pomyłek, którą napisał matematyczny pasjonat Matt Parker.

Już sam tytuł książki wskazuje na to, że będzie ciekawie. Dlaczego? Otóż wyrażenie „pi razy oko” oznacza, że coś podajemy w dużym przybliżeniu, więc niekoniecznie będzie to ścisła wartość. A właśnie takiego typu „zaokrąglenia zaoczne” będą powodowały bardzo nietypowe i czasami wręcz groźne sytuacje. Ale o tym jeszcze za chwilę.

Książka zawiera 376 stron i została wydania w połowie roku 2021. Co wchodzi w skład owej pozycji? Otóż tradycyjnie znajdziemy w niej wstęp, następnie 14 rozdziałów, podziękowania oraz źródła zdjęć i ilustracji.

Ze strony wydawcy możemy dowiedzieć się o tej książce takich oto zapowiedzi.

Przeczytajcie o zabawnych – a także tragicznych – konsekwencjach matematycznych błędów, pomyłek i niedokładności. Przekonajcie się, co może się zdarzyć, kiedy w rzeczywistym świecie z matematyką coś pójdzie nie tak. Pi razy oko to pełna humoru, ciekawostek i anegdot książka napisana przez Matta Parkera – słynnego popularyzatora nauki, znanego z youtube’owych kanałów Stand-Up Maths i Numberphile.

Co sprawia, że most zaczynia się kołysać w warunkach, kiedy właśnie nie powinien tego robić? Albo że w tajemniczy sposób rozpływają się w powietrzu miliardy dolarów? Co jest przyczyną wielu katastrof lotniczych i budowlanych? Co prowadzi do zawieszania się wyrafinowanych systemów komputerowych w najmniej odpowiednim momencie? Odpowiedź brzmi: matematyka! A raczej – mówiąc dokładniej – matematyka, z którą w rzeczywistym świecie coś poszło nie tak.

Matt Parker nie ma żadnych wątpliwości – cała nasza cywilizacja i codzienne życie opiera się na matematyce – programy komputerowe, finanse, inżynieria i wiele innych dziedzin zawdzięczają swoje istnienie i (na ogół bezproblemowe) działanie właśnie jej. I przez większość czasu matematyka pracuje sobie cichutko za kulisami, nie zwracając na siebie uwagi, aż… pojawia się błąd. Błąd człowieka, który czegoś nie przewidział, czegoś nie dopilnował lub coś nie do końca dobrze zrozumiał lub wdrożył. Wówczas matematyka staje się naprawdę bezlitosna.

W książce Pi razy oko Matt Parker zabiera czytelnika w niesamowitą podróż po manowcach zastosowań matematyki w naszym życiu – krainie błędów, pomyłek, wpadek i gliczy, które zdarzają się wszędzie, gdzie tylko ktoś kiedyś użył do czegoś jakichkolwiek obliczeń. Internet, big data, znaki uliczne, loterie, kalendarze, osobliwe zbiegi okoliczności, pozornie uczciwe gry losowe, niedokładności w pomiarze czasu, fałszywe slogany reklamowe, arkusze Excela, konwersje jednostek – przekonajcie się, czym grożą błędy popełniane przez ludzi korzystających z matematyki na co dzień, czyli na dobrą sprawę… przez nas wszystkich! Konsekwencje błędów matematycznych bywają zabawne, zadziwiające, ale niestety także tragiczne. O wszystkich Matt Parker pisze wyjątkowo lekkim piórem, z dystansem i charakterystycznym dla siebie poczuciem humoru.

Tyle tytułem tego co wydawca obiecuje. Teraz co nieco na temat wrażeń z lektury tej książki. Co mnie w niej poruszyło, zaskoczyło, rozbawiło czy też zadziwiło? Przede wszystkim numeracja! Otóż autor celowo zawarł w książce kilka błędów, które czytelnik powinien samodzielnie odkryć. Najbardziej oczywistym i rzucającym się w oczy jest numeracja książki, ponieważ jest ona „tyłem do przodu” – czyli pierwsza numerowana strona… ma numer 368. O reszcie błędów opowiem na samym końcu, aby każdy mógł samodzielnie przyjrzeć się książce zanim się o nich dowie ode mnie.

Książka na pewno daje sporo do myślenia, bo wskazuje i wyjaśnia wyraźnie błędy, które normalnie są ukryte przed nami… do momentu, gdy coś pójdzie nie tak jak powinno. Są nimi błędy związane przede wszystkim z liczbami, danymi oraz wspólnymi ustaleniami, a także pośpiechem czy też brakiem prostego przewidywania oraz sprawdzania.

Autor opowiada w dużym zakresie o błędach opartych na danych liczbowych, które są w różny sposób zamieniane, przeinaczane czy też skracane. Są błędy, które powodują duży uśmiech na twarzy, ale i są takie, które naprawdę powodują, że ludzie tracą życie.

To co widoczne na pierwszy rzut oka to niebywała pasja autora, ale jednocześnie także bardzo duża skrupulatność. Istotne jest również to, że na pozór trudne zagadnienia wyjaśnia w możliwie najprostszy sposób. Widać, że tutaj musiał pracować sztab ludzi, którzy pomagali autorowi przełożyć jego wyjaśnienia na język możliwie najbardziej ludzki i łatwy w odbiorze dla większości czytelników.

O czym wspomina autor? Otóż na łamach swojej pracy mówi o o tym, że część Brytyjczyków ma problem z koncepcją liczb ujemnych, zaś część Amerykanów z przeliczaniem jednostek. I zapewne nie jest to specjalnie trudne do odkrycia, bo wiąże się z innymi systemami, których używają. A to już prosta droga do tego, aby nastąpiły nieporozumienia czy też błędy.

Bywają również nieco bardziej kuriozalne sytuacje w których autor pisze o odrzuconej przez brytyjski rząd petycji dotyczącej oczywistego błędu na oficjalnych znakach drogowych. I co najciekawsze – chodzi o nieprawidłowe przedstawienie piłki nożnej. Matt wyjaśnia, że chociaż z sześciokątów nie można stworzyć piłki nożnej, to można z nich uzyskać obwarzanek nożny. I to ładnie widać na obrazku, który prezentuje ową koncepcję.

Poza tym opowiada w jaki sposób na pozór niewielkie zmiany w projektach mogą powodować wręcz katastrofalne skutki. Opisuje zarówno sytuacje pożarów w ramach prac kosmicznej agencji NASA jak i zawalenia się mostów, gdy ktoś zapomniał o istotnych zmianach lub przetestowaniu pomysł zanim zostanie on realnie wdrożony w praktyce.

W rozdziale mówiącym o tym, że na to nie można liczyć, autor bezwzględnie rozprawia się z tym, co często dzieli Internet – czyli kto w danym problemie (a ściślej – rozwiązaniu) ma tak naprawdę rację i jak to logicznie uzasadnić. Pokazuje co się dzieje, gdy nie rozumiemy istoty problemu, ale chcemy dobrze wypaść, więc po prostu posługujemy się liczbami. I dobiera się do sloganu reklamowego zarówno firmy Lego jak i tej najbardziej popularnej międzynarodowej firmy kojarzonej z burgerami. Wygląda to śmiesznie, gdy autor krok po kroku wyjaśnia w jaki sposób kombinują ludzie… i matematycy! Tak, tak! Matematyk (taki z krwi i kości), to zdecydowanie odrębny gatunek człowieka, który wszystko widzi w perspektywie obiektów, zależności, liczb czy też relacji. Stąd właśnie kolejne kombinowanie związane z kodami pocztowymi i wyjaśnieniem czemu są one kilkuznakowe.

 

Najbardziej znanym i jednocześnie najciekawszym dla mnie rodzajem błędu był (jest) ten związany z grami komputerowymi – zwłaszcza tak zwane „retro games” (tak, tak – to właśnie czasy lat 90-tych, czyli: Atari, Commodore, Spectrum albo przyjaciółki Amigi). Znakomite wyjaśnienie (wraz z obrazkiem), które ukazuje istotę błędów w grze Pacman (jest ktoś mający 35 lat lub więcej, kto nie zna tej gry?). Matt rozbiera na czynniki pierwsze to skąd się biorą magiczne „krzaczki” w momencie, gdy przechodzimy na poziom 256. Do tego także dokłada omówienie śmiertelnego błędu związanego z dawką promieni Rentgena, problem z danymi w Excelu jak też obcinanie liczb… jak też krótkie wyjaśnienie problemu dzielenia przez zero!

Fascynującym rozdziałem jest ten w którym opisuje i wyjaśnia prawdopodobieństwo. Tutaj wręcz samemu chce się spróbować tego o czym pisze autor. Jak to bowiem możliwe, że zabawa w podrzucanie momenty (orzeł i reszka) może być chytrą pułapką w której większe szanse na sukces ma ten, który nie lepiej podrzuca, lecz lepiej rozumie istotę tego rozkładu? W jaki sposób można zrozumieć to czym są zdarzenia niezależne od siebie oraz czy duży wzrost i zawodowa gra w koszykówkę NBA są ze sobą ściśle powiązane? Czy można spotkać swoją drugą połówkę życiową, gdy zostało nam wcześniej zrobione zdjęcie z którego istnienia nie do końca zdajemy sobie sprawę? Skąd wiadomo, że kulka z określonym numerem (w grach losowych) musi teraz na pewno wypaść, gdy nie wypadała w poprzednich losowaniach ani razu? Czym jest w takim razie hazard i na czym bazuje: na matematyce czy może na słabości ludzkiej do tego, aby za wszelką cenę mieć pewność oraz poczucie kontroli nad tym co nie podlega ludzkiemu wpływowi? Te pytania na pewno dadzą do myślenia, zaś autor doleje oliwy do naszego ognia ciekawości.

Czy jest możliwe to, aby w świecie finansów o sukcesie decydowała prędkość światła? A może chodzi o to, że czasami lepiej zaczekać i pomyśleć aniżeli kupować lub sprzedawać na oślep? Czy kogoś ciekawi skąd na największej na świecie platformie (w której dawniej były do kupienia jedynie książki) czasami ceny książek osiągają astronomiczne ceny, nawet jeśli nie są to książki które rzeczywiście są warte setek tysięcy dolarów? Jak działają owe algorytmy? Tutaj autor znowu daje nam namiastkę niektórych problemów, które wydają się nam dość przyziemne, ale nie zawsze rozumiemy skąd cały ten szum wokół nich? A może raczej dlaczego maklerzy muszą mieć naprawdę duży dystans jak i opanowanie, aby nie zwariować po intensywnym dniu pracy?

Rozdział o wdzięcznej nazwie „okrąglutkie” zawiera bardzo ciekawy opis tego o co chodzi w tak zwanym zaokrąglaniu i jak można nim manipulować czy też świadomie próbować oszukiwać innych. Ta część pracy z pewnością dobrze może uświadomić w jaki sposób ludzie manipulują wynikami i co może być powodem ku takim działaniom. Pomimo, że jest to krótki rozdział, to świetnie pokazuje w jaki sposób ludzie wykorzystują matematykę, aby manipulować innymi, przekonując, że „przecież to czysta matematyka, więc tutaj nie ma możliwości oszukiwania”.

Czy może być coś zbyt małe, aby tego nie zauważyć? Okazuje się, że tak! Nie tylko tytuł rozdziału, ale i jego sposób numeracji! Po wcześniejszym rozdziale dziewiątym, kolejny powinien być dziesiątym, prawda? Pytanie czy nie będzie to rozdział numer „09,49”? Tak, to jest właśnie nazwa tego rozdziału i podejrzewam, że tutaj jakiegoś psikusa zrobili humaniści matematykom… albo na odwrót! Dodam tylko, że zawarte w nim zostało mini dochodzenie związane ze śrubami do mocowania szyby w samolocie. Ujawnię nieśmiało, że wszystko szczęśliwie się zakończyło, bo wszyscy przeżyli. Dla ciekawskich dołożę jeszcze teorię szwajcarskiego sera, która bardzo mi się podoba! I nie dlatego, że rzeczywiście lubię ser żółty, lecz z uwagi na to, że może być stosowana w bardzo wielu wypadkach, w których potrzebujemy zrozumieć dlaczego coś poszło nie tak, gdy szansa na to zdarzenie była szalenie nikła.

Przeliczanie jednostek jest zmorą nie tylko osób, które muszą zamieniać takie dane na lekcjach matematyki. Jest to szczególnie niebezpieczne, gdy dotyczy innych systemów – zwłaszcza takich w których brak ustalenia o który z nich chodzi może się skończyć tragicznie. I odnosi się to zarówno do nowoczesnego sprzętu kosmicznego, jak i zatonięcia siedemnastowiecznego okrętu wojennego. Może to również mieć istotne skutki dla ilości koniecznego paliwa w samolocie, ale i dzielenia pieniędzy podatników, którzy dają się zrobić w konia, bo nie rozumieją właśnie owej istoty dzielenia. Dzięki temu rozdziałowi zrozumiemy na czym polegają błędy jednostek i ich konwersji.

Zwykle na dźwięk słowa „statystyka” w większości umysłów ludzkich po prostu mózg znika! I tutaj mamy następną część książki w której nasz naukowiec wyjaśnia co z niej wynika. Jest to świetny wstęp do tego czym jest statystyka a czym matematyka. Podam tylko jedno zdanie z tego rozdziału, które doskonale opisuje tę różnicę, która jest zrozumiała przez niewielu: „w matematyce najczęściej poszukuje się prawidłowej odpowiedzi, tymczasem w statystyce liczby wypluwane z obliczeń nigdy (!) nie mówią nam wszystkiego”. Podane przykłady w tym rozdziale są znakomitym źródłem czy też inspiracją do dyskusji. Dzięki temu możliwe jest lepsze zrozumienie manipulowania danymi za pomocą właśnie statystyki.

Czy coś może być całkowicie losowe? No właśnie! Pytanie wydaje się banalne, a już wywołuje pewne poruszenie bądź niepokój, prawda? Przecież każdy z nas wie, że jak jest coś losowe, to znaczy, że jest „nieprzewidywalne”, więc po co dopisek – całkowicie? To jest kolejna perełka w której dowiadujemy się o co chodzi, gdy nie wiadomo o co chodzi. Czy możemy mieć maszynę, która będzie dziennie rzucała (sześcienną) kostką ponad milion razy? Jeśli tak, to po co nam ona? Jeśli mamy kalkulator to czy daje nam on możliwość uzyskiwania losowych liczb? Czy szyfrowanie danych w przeglądarce ma znaczenie i jeśli tak, to jak inni mogą łatwo odgadnąć nasz kod (hasło)? Przy okazji jeśli ktoś chce poczytać jak autor sprytnie przyłapał nieuczciwych uczniów, gdy uczył w szkole średniej, to jest ku temu okazja. Potem płynnie przychodzi do prawa Benforda, które jest stosowane z powodzeniem do tego, aby sprawdzać dane finansowe. I jeszcze mały smaczek: wiecie, że w biurze Cloudflare w San Francisco za fizyczny generator liczb losowych służą lampy lava?


Ostatni rozdział związany z błędami jest wyjątkowo okrutny i przebiegły: nie można obliczyć. I pomimo że ten rozdział raczej też jest krótki, to bardzo mi się spodobał. I nie tylko dlatego, że Matt wyjaśnia przyczynę zniszczenia rakiety Ariane 5, ale dlatego, że pokazuje dobitnie, że nawet drobne i niepozornie wyglądające błędy, mogą sprawiać, że całość się rozleci. I znowu gratka dla miłośników gier retro – tym razem Space Invaders. Autor wyjaśnia w jaki sposób dochodzi do raczej śmiesznych błędów. Warto podkreślić, że autorzy w tamtych czasach martwili się małą ilością miejsca (w pamięci RAM), więc skracali sobie drogę jak to tylko było możliwe. No i jeszcze kuriozalny błąd w którym mejle (tak, elektroniczne wiadomości) nie mogły dochodzić dalej niż 500 mil. A na koniec bardzo ważny praktyczny projekt pod nazwą: CHI+MED, którego nie powstydziłby się nawet doktor Paj-Chi-Wo z klasycznej Akademii Pana Kleksa.

Zakończenie książki jest wyjątkowe: z jednej strony autor pokazuje, że nawet jemu zdarza się popełniać błędy, z których niekoniecznie jest dumny, ale na pewno bardzo rozpoznawalny. Z drugiej – to, że podczas rozmowy z jednym inżynierem dowiedział się o tym, że firmy w (dla) których pracują inżynierowie, również popełniają liczne błędy (niektóre oczywiście groźne dla nas, ale nie wszystkie), ale owym inżynierom nie wolno się nimi dzielić publicznie. A właśnie dzielenie się błędami oraz wspólne poszukiwanie rozwiązań, jest tym co chroni nas przed ich katastrofalnymi skutkami w przyszłości.

Z uwagi na to, że tematyka błędów jest mi bardzo bliska, więc pozwolę sobie na krótki cytat (z ostatniej strony ostatniego rozdziału). Matt Parker mówi w nim o czymś szalenie ważnym:

Praca inżyniera i każdej innej osoby, która korzysta z matematyki, wiąże się z ogromną odpowiedzialnością… Kiedy matematyk popełnia błąd kończący się katastrofą, można mówić o tragedii, ale nie znaczy to, że możemy się bez matematyki obejść. Potrzebujemy inżynierów projektujących mosty. Nie mogą przestać tego robić ze strachu przed popełnieniem błędu.

Działanie naszego współczesnego świata opiera się na matematyce. Kiedy coś pójdzie nie tak, powinno nam to uzmysłowić, że musimy mieć oko na ten topiący się ser, a jednocześnie przypomnieć o całej tej matematyce, która działa bez zarzutu w tylu dziedzinach wokół nas.

Podsumowując, książka jest pełna różnych matematycznych pomyłek, w których błędy są istotą tego co sprawia, że coś poszło nie tak jak zaplanowano. Pytanie teraz kto będzie adresatem tej książki. Moim zdaniem książka będzie znakomitą inspiracją dla nauczycieli matematyki (zarówno szkolnych jak i domowych), którzy będą chcieli mieć ciekawe historie dla swoich uczniów, bądź też przykładowe zagadnienia, które mogą znacznie rozwinąć. Może być również wartościową lekturą dla dzieci, które kochają matematykę i lubią samodzielnie poszukiwać różnych ciekawych historii związanych z nią – w tym również pułapek, pomyłek czy błędów.

Książka jest raczej łatwa w odbiorze, gdyż jest napisana przystępnym językiem. Wyzwaniem jest jednak to, że wymaga raczej specjalistycznej wiedzy w obszarach o których wspomina autor. A przynajmniej jakichś dobrych fundamentów na których można się oprzeć. Jeśli bowiem rodzic lub nauczyciel jest pasjonatem informatyki, ekonomii, matematyki, fizyki albo statystyki (idealnie gdy jest inżynierem), wówczas na bazie swojej wiedzy specjalistycznej bez problemu będzie w stanie opowiedzieć swojemu dziecku (w domu lub szkole) o tym co zostało zawarte w tej książce. Dlatego właśnie dobrze jest mieć pewne podstawy o których wspominam, aby dość gładko poruszać się po treściach zawartych w tej pozycji. No chyba, że ktoś jest na tyle samodzielnym jak też ambitnym czytelnikiem, że wystarczy mu tylko zbiór owych historii, aby zgłębiać te tematy samodzielnie.

Dla mnie w tej książce najbardziej wartościowe były wnioski oraz czytelne wyjaśnienie zjawisk dzięki którym popełniane były błędy. Szalenie ważne są dla mnie skutki pozornie błahych pomyłek, które często wynikają z lenistwa bądź też pośpiechu czy też ze zbytniej pewności siebie. Przyznam, że tylko w niektórych rozdziałach czułem się jak ryba w wodzie, bo akurat mam doświadczenie jak też pewną wiedzę związaną z zagadnieniami, które porusza autor. Inne przeczytałem i w miarę dobrze je rozumiem, ale nie mają one dla mnie większego znaczenia (przykładowo nietypowe błędy, na które muszą uważać programiści i osoby wykonujące różne operacje w Excelu). Nie oznacza to jednak, że książka jest mało wartościowa. Po prostu moim zdaniem jest ona przeznaczona dla osób, które już mają pewne podstawy o których wyżej wspominam. Mam wrażenie, że osób typowo „niematematycznych” ta książka raczej nie pochłonie, nawet jeśli będą w stanie wyciągnąć wnioski z tego co przeczytają. Stąd moja ocena tej książki 8 na 10, co odpowiada szkolnej czwórce (w skali sześciostopniowej). Podkreślam, że osoby pochłonięte matematyką albo osoby z odpowiednią specjalistyczną wiedzą mogą tą książką być zachwycone. Moim zdaniem dla zdecydowanej większości czytelników nie będzie to jednak hit, który powali ich na kolana i sprawi, że nagle porzucą wszelkie swoje obowiązki do momentu zakończenia lektury.

 

Na sam koniec dodam jeszcze, że celowymi trzema błędami zamieszczonymi w tej książce są: numeracja stron (od tyłu do przodu), numer rozdziału pomiędzy dziewiątym a dziesiątym (09,49) oraz tytuł rozdziału dwunastego (cłaciwokie lwosoe – a powinno być „całkowicie losowe”).