Specjalne cechy podzielności - przełomowe odkrycie albo wyjaśnione tajemnice

Dzielenie i określanie podzielności przez 3 i 9 wydaje się być dość łatwe, ale w praktyce wiele dzieci ma problemy z obliczeniami w zakresie 100 (tak, tak - tabliczka mnożenia), więc dobrze byłoby im w tym jakoś pomóc. Jak tego dokonać? Poniżej pokażę przełomowe odkrycie, które pozornie znają wszyscy, a jakby nikt nie stosuje (?!).

Otóż najkrócej mówiąc - istnieje jedna zasada, która w prosty sposób pozwala na określenie czy dana liczba jest podzielna przez 3 lub przez 9. I dodam, że jest ona jeszcze łatwiejsza niż ta przekazywana w szkole... chociaż dokładniej mówiąc jest jej niezwykle sprytnym przedłużeniem (!).

Na czym polega postęp i odkrycie związane z podzielnością? Otóż nikt głośno nie mówi o tym, że proces można powtarzać tyle razy, aż dojdziemy do ostatecznej wersji (?!). Ja tego nie słyszałem i nikt z uczniów (w tym ludzi dorosłych), których o to pytałem... również nie ma o tym bladego pojęcia!

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 3:

Przykładowo jeśli mamy liczbę 963963963, to jeśli efektywnie zliczymy, wówczas suma cyfr wynosi 6x9= 54. I teraz nie dzielimy tej liczby przez 3, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli kolejne sumowanie cyfr, dotąd aż uzyskamy liczbę jednocyfrową. Zatem z liczby 54 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy (jednocyfrową) liczbę 9. A teraz już wiadomo, że 9 jest podzielna przez 3, więc z tego wniosek, że pierwotna liczba jest również podzielna przez 3.

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 9:

Zobaczmy teraz liczbę 45729063531, której suma cyfr wynosi 5x9= 45. I teraz znowu nie dzielimy tej liczby przez 9, tylko robimy jeszcze raz to samo, czyli jeszcze jedno sumowanie cyfr. Zatem z liczby 45 (po dodaniu jej wszystkich cyfr) uzyskujemy liczbę 9. I tak jak poprzednio wiadomo, że jeśli ta końcowa jednocyfrowa liczba 9 jest podzielna przez 9, wówczas pierwotna liczba również jest podzielna przez 9.

Poniżej w tabeli zebrałem przykładowe wartości (liczby), które pokazują, że pomysł jest bardzo prosty, a zarazem ogromnie efektywny. W obu tabelach pokazałem wyłącznie liczby podzielne przez 3 bądź 9, tak aby maksymalnie skrócić wykład. Przykłady do sprawdzenia siebie będą na końcu.

Dlaczego to przełomowe odkrycie zasługuje na Medal Fieldsa? Otóż dlatego, że dzięki zastosowaniu tej metody poprawność określania podzielności liczby (w naszym wypadku przez 3 i 9) wzrośnie do poziomu bliskiego 100%! Dlaczego? Ponieważ w przypadku podzielności przez 3, końcowa wartość sumy cyfr musi dawać 3, 6 lub 9, natomiast w przypadku podzielności przez 9... musi to być jedynie 9. Widzimy, że wystarczy tylko sprowadzić dowolną liczbę do postaci tylko jednej cyfry! Czy można oczekiwać czegoś więcej?! Przecież tę czynność będzie potrafił wykonać nawet 6-8 latek, prawda?

Postęp jest moim zdaniem potężny, ponieważ przy prawidłowym sumowaniu można stwierdzić, że do oceny podzielności przez 3 mamy tylko 3 możliwości, zaś dla 9 - wyłącznie jedną. Nie muszę chyba wspominać jakie ogromne znaczenie ma to dla dzieci, które mają trudności z rachunkami oraz opanowaniem tabliczki mnożenia.

Pojawia się pytanie czy w badaniu większości liczb wystarczy podwójne sumowanie. W praktyce szkolnej (aż do poziomu matury lub wyższego poziomu konkursów matematycznych) okazuje się, że jak najbardziej wystarcza. Otóż w obu wypadkach (podzielność przez 3 i 9) pierwsza wartość sumy (kolumna A) nie może przekroczyć 99, do tego aby nie była potrzebna dodatkowa (kolumna B jako ostatnia).

Jeśli przyjrzymy się bliżej, to zrozumiemy, że maksymalna wartość pierwszej sumy jest na tyle duża, że można śmiało powiedzieć, że pozwala na zbadanie absolutnie każdej liczby 11-cyfrowej (zapisanej wyłącznie dziewiątkami), a w praktyce nawet 16-18 cyfrowych (jeśli będą występowały cyfry nie większe niż 4 lub 5 w przynajmniej co drugiej cyfrze danej liczby). Przykładowo liczby: 182736455463728190, 45544554455454455445 bez problemu mogą zostać ocenione za pomocą tej metody. W skrócie - wartość pierwszej sumy nie może przekroczyć 99, co niemal zawsze wystarcza.

Z kolei w drastycznych przypadkach można sprawdzać takie niesamowicie długie kolosy jak chociażby ten: 108 217 326 435 544 654 763 872 981 090. Tak, tak! - otóż nawet 30-cyfrowa liczba jest bez problemu możliwa do oceny względem jej podzielności... i to za pomocą zaledwie podwójnego sumowania! Czyż to nie wspaniałe? Czy to nie jest w pełni wystarczające? Przy okazji można sprawdzić tę ostatnią liczbę (czy jest podzielna przez 3 lub 9)... a dla ciekawego umysłu i wprawnego oka odnaleźć algorytm za pomocą którego została zapisana. A jeśli znajdzie się ktoś kto chce mieć ogromną radość, to niechaj spróbuje ją przeczytać... ostrzegam, że będzie niesamowita zabawa!

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 3

Magiczna tabela - do wykorzystania jako sprawdzenie podzielności wybranych liczb przez 9

Podsumowując: efektywne sposoby czekają na nas tuż za rogiem. Całą sztuką jest to, aby poszukiwać ich oraz odkrywać, a także mieć odwagę tworzenia i błądzenia. Dzięki temu można łatwo odkrywać takie sposoby wyjaśniania i uczenia matematycznych zagadnień o jakim nie śniło się naukowcom w XXI wieku! Życzę wszystkim powodzenia w poszukiwaniach i odkryciach!... i przy okazji dziękuję mojej Mistrzyni Agacie za niezwykłą inspirację, luźne i wszechstronne dyskusje, rozmowy i wymianę pomysłów oraz zachęcanie do odkrywania piękna matematyki i dzielenia się nią z innymi! :)

PS. Jeśli jesteś nauczycielem to spróbuj tę metodę pokazać, wyjaśnić jak też solidnie przećwiczyć ze swoimi uczniami (powyżej są przykłady do zastosowania na lekcjach) i uważnie patrz na radość oraz postępy dzieci, które w końcu zaczną wierzyć w swoje możliwości. Jeśli zacznie ci się serce radować, to już będziesz wiedział/a dlaczego tak bardzo fascynuje mnie poszukiwanie i dzielenie się najbardziej efektywnymi metoda i sposobami pracy ;) :).