Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia (2)

W poprzedniej odsłonie mówiłem o tym, że aby liczba była podzielna przez 4, to musi być "podwójnie parzysta". Co to oznacza? Otóż wyjściowa liczba (ta, którą sprawdzamy) musi być parzysta, a po podzieleniu na 2 nadal musi być parzysta. Wydaje się, że już jesteśmy sporo do przodu, ponieważ nie musimy znać wszystkich wielokrotności liczby 4 (tych od 0 do 96). Jednak za każdym razem musimy realizować dzielenie, aby być pewnym czy liczba jest podzielna przez 4 (czy jest "podwójnie parzysta"). I tak w przypadku badania liczb: 34, 42, 86, 54 i 74 dopiero po podzieleniu na dwa widzimy, że ich ilorazy są nieparzyste. Natomiast liczby 28, 92, 68, 60... widzimy, że dają parzysty iloraz, a więc są podzielne przez 4.

Pytanie jednak czy można pójść o krok dalej? Co by było, gdyby nie było konieczności wykonywania żadnych operacji związanych z dzieleniem czy mnożeniem, aby określić czy liczba jest podzielna przez 4? Czy wówczas pięciolatek byłby w stanie bez problemu znajdować takie liczby? To może warto pomóc temu dziecku, aby te z kolejnych poziomów edukacji również mogli skorzystać?

Doskonale wiemy, że jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

No tak. Co by jednak było gdyby tak w ogóle nie sprawdzać w pamięci dzielenia? Spróbujmy. Zerknijmy na tabelę i reguły.

Reguła zerowa (wejścia). Liczba nie jest podzielna przez 4 jeśli jej ostatnia cyfra jest nieparzysta. Tak więc każda liczba, która kończy się na 1, 3, 5, 7 lub 9 jest już na wejściu (input) wykluczana.

Tak więc mamy tylko dwie reguły do zapamiętania i zastosowania.

Reguła #1 - jeśli ostatnia cyfra to 0, 4 lub 8, to przed nią ma być parzysta cyfra (reguła: P0, P4, P8) [parzysta wielokrotność 4].
Reguła #2 - jeśli ostatnia cyfra to 2 lub 6, to przed nią ma być nieparzysta cyfra (reguła: N2, N6) [nieparzysta niewielokrotność 4].

Jak to rozumieć? Otóż jeśli liczba kończy się według reguły pierwszej, wówczas przed nią musi być parzysta cyfra. Inaczej mówiąc jeśli nasza sprawdzana (dwuznakowa) liczba zacznie się dowolną parzystą, wówczas jeśli kończy się na 0, 4 lub 8, to na pewno jest podzielna przez 4. Przykładami niechaj będą: 20, 24, 28 (dwójki), 40, 44, 48 (czwórki), 60, 64, 68 (szóstki), 80, 84, 88 (ósemki).

Natomiast reguła druga mówi nam o tym, że jeśli mamy ostatnią cyfrę 2 lub 6, wówczas przed nią musi znaleźć się nieparzysta cyfra, aby liczba była podzielna przez 4. Wymieńmy je zatem: 12, 16 (jedynki), 32, 36 (trójki), 52, 56 (piątki), 72, 76 (siódemki), 92, 96 (dziewiątki).

Teraz można zerknąć na tabelę, która pokazuje w praktyce to co przed chwilą zostało omówione.

Najpierw wypisujemy wszystkie liczby które chcemy zbadać (kolumna nr 1), następnie zapisujemy tylko dwie ostatnie cyfry jako liczbę, i kolejne kolumny to przedostatnia i ostatnia cyfra (w osobnych kolumnach). Pod koniec mamy regułę oceny liczby i końcowy wniosek - czy liczba jest czy nie jest podzielna przez 4.

Omówiliśmy zatem wszystkie możliwości poza jedną. Liczba może być nie tylko dwucyfrowa lub dłuższa, lecz także jednocyfrowa (wtedy liczba pokrywa się z symbolem cyfry). Są nimi takie liczby (cyfry) jak: 0, 4 i 8. Gdyby je zapisać sprytnie jako "dwucyfrowe" poprzedzając je zerem, wówczas wyglądałyby tak: 00, 04 i 08. A jak już pamiętamy będą one zgodne z regułą mówiącą o parzystej wielokrotności (czyli regule pierwszej), a więc również podzielne przez 4.

Gdyby ktoś pomyślał, że te reguły są trudne do przyswojenia dla dzieci, to spieszę z wyjaśnieniem, że wystarczy je odpowiednio zakodować, tak aby miło w uszach zabrzmiały. Przykładowe wersje mogą wyglądać w taki oto sposób (to oczywiście tylko jako inspiracja).

Reguła #1: Parzysta wielokrotność czwórki (0, 4 lub 8) wymaga przed nią parzystej przyjaciółki. Ciekawie dla dzieci może brzmieć taka wersja: "Na końcu zero, czwórka lub ósemka szukają przed sobą parzystego ziomka".

Reguła #2: Nieparzysta niewielokrotność czwórki (2 lub 6) wymaga przed nią nieparzystej przyjaciółki. Można także i bardziej finezyjnie: "Gdy masz liczbę zakończoną o dwa lewo (lub w prawo) od naszej czwóreczki, to szukasz przed nią nieparzystej połóweczki".

Podsumowanie: są różne sposoby na to, aby radzić sobie z wyzwaniami i problemami matematycznymi. Warto pamiętać o tym, aby poszukiwać różnorodnych rozwiązań, a nie skupiać się na problemie. Dzięki temu jest duża szansa, że przejdziemy na wyższe szczeble naszego zrozumienia. Można oczywiście dzieciom pokazać to zagadnienie na dziesiątki sposobów, włącznie z wypisaniem wszystkich wielokrotności i ćwiczenie z nimi poprzez zapamiętywanie dotąd aż je wszystkie opanują. Czy jednak nie stać nas na bardziej twórcze i znacznie ciekawsze rozwiązania?