Kolejność wykonywania działań - czyli co nieco o porządku w obliczeniach oraz poziomach w działaniach

Dzieci często miewają problemy z prawidłowym realizowaniem obliczeń. Wyniki ich działań (obliczeń) bywają zupełnie różne od tego co uznajemy za poprawne. Z czego to się bierze? Jak temu zapobiec? Na te pytania postaram się odpowiedzieć w poniższym artykule.

Powodem takiego stanu rzeczy są przede wszystkim:
1. Braki w poprawnym opanowaniu podstawowych działań.
2. Błędne zrozumienie zagadnienia kolejności wykonywania działań.

Jak temu zaradzić? Przede wszystkim trzeba zacząć od podstawy. Jest nią poprawne opanowanie podstawowych działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Jeśli zostanie to opanowane, wówczas przechodzimy do problemu z kolejnością wykonywania działań.

Z czego biorą się trudności w tym temacie? Moim zdaniem jest kilka przyczyn. Najbardziej istotną jest ta, że dzieci nie rozumieją pojęcia priorytetów i hierarchii.

Weźmy najpierw poziomy stosowanych działań. Wychodzimy od najwyższego piętra (4) i schodzimy coraz niżej aż do najniższego (1). Dzięki tej koncepcji (poziomy) widzimy, że nie ma możliwości popełnienia błędu w tak prosty sposób jak tradycyjnie.

Najpierw sprawdzamy (uważnie patrzymy) czy nasze wyrażenie zawiera nawiasy. Jeśli nie, wówczas przechodzimy na niższy poziom. Pytamy zatem czy występuje potęgowanie, potem czy mamy mnożenie lub dzielenie, a na samym końcu czy jest dodawanie bądź odejmowanie.

I teraz najważniejsza reguła, którą trzeba dobrze zrozumieć. W przypadku gdy pojawią się dwa działania na jednym poziomie, wówczas stosujemy konwencję (umowę) polegającą na tym, że wykonujemy je tak jak zapisujemy zdania lub poszczególne słowa - w kolejności występowania od lewej do prawej.

Jest jeszcze jedna reguła, która nie występuje tak często, ale jednak może się zdarzyć. Chodzi mianowicie o nawiasy. Jeśli pojawią się więcej niż dwa nawiasy, wówczas zaczynamy nasze obliczenia od tych, w środku których już nie znajdziemy innych nawiasów.

I teraz chyba najciekawsza część - czyli przykłady jak można ten temat pokazywać i nauczać w praktyce (warto zerknąć na dwie powyższe tabele).

1. Wypisujemy obok siebie dwie liczby od 2 do 19 (im mniejsze tym lepiej).
2. Pomiędzy te liczby wpisujemy znak dodawania.
3. Powtarzamy te same czynności (kroki 1 i 2 na identycznych liczbach) i zapisujemy obok.
4. Zapisujemy na końcu pierwszej kolumny *2 i na początku drugiej 2*.
5. Następnie bierzemy w kółko to działanie, które jest wyżej w hierarchii poziomów.
6. Wykonujemy stosowne obliczenia, krok po kroku.
7. Porównujemy wyniki w obu kolumnach.
8. Wspólnie omawiamy wnioski.
9. Pracujemy nad kolejną tabelą i przykładami.
10. Sprawdzamy umiejętności uczniów i w razie konieczności omawiamy błędy.

 

 

 

W kolejnych tabelach mamy widoczne następne (bardziej złożone) działania, które coraz bardziej podwyższają poprzeczkę uczniom. Warto zaznaczyć, że uczniowie powinni samodzielnie tworzyć przykłady i odkrywać różnice pomiędzy zmianą znaku w tym samym układzie liczb. Dobrym pomysłem jest łączenie uczniów w pary, aby każdy z nich mógł wykonywać te same czynności, ale naprzemiennie. Pierwszy z nich może brać w kółko działania, które trzeba wykonać jako pierwsze, zaś drugi obliczać wynik. Dobrze jest też używać zakreślacza w kolorze żółtym, zielonym i pomarańczowym. W zależności od koloru można się umówić, że pierwszy z nich będzie oznaczał działanie z najwyższego poziomu, kolejny z niższego, a ostatni z najniższego (oczywiście w ramach konkretnych przykładów).

Dobrze jest także przećwiczyć podobne przykłady w tabeli, tak aby każdy miał okazję zrobić swój przykład (samodzielnie). Dopiero po opanowaniu powyższych tabel (tj. zadań w nich zawartych) można przejść do trudniejszych zadań. Takie ćwiczenia bez trudu można odnaleźć w podręczniku czy ćwiczeniach do danego poziomu nauczania (zeszyt ćwiczeń lub zbiór zadań).

Wskazane jest również w początkowej fazie nauki, aby nie brać przykładów zbyt trudnych. Bazowanie na niewielkich wartościach sprawi, że uczniowie nie będą się gubili (wykładali) na tabliczce mnożenia lub na operacjach rachunkowych, lecz będą mieli okazję zrozumieć istotę kolejności wykonywania działań. I na koniec podkreślę, że jeśli uczniowie nie znają jeszcze pojęcia liczb ujemnych, wówczas należy tak dobrać przykłady, aby nie uzyskiwać wartości mniejszych od zera.

W zależności od poziomu i umiejętności uczniów można (a nawet trzeba) jednocześnie tworzyć i zapisywać z nimi zadania tekstowe, które będą odpowiadały działaniom z tabeli (i odwrotnie). Dzięki temu będą mieli dodatkową szansę na to, aby zrozumieć sens zapisywanych wyrażeń i zmianę w zapisie, która prowadzi do zmiany w wyniku.

Oczywiście przedstawiony przeze mnie sposób jest jednym z wielu. Są różne podejścia oraz materiały, które pozwolą na szersze spojrzenie na to zagadnienie. Wystarczy nieco poszperać w zasobach sieci Internet, aby odnaleźć wiele różnych propozycji (w tym filmy na YouTube) dotyczących wyjaśnienia tego tematu.


Podsumowanie: Zbigniew Semandeni w pierwszym rozdziale (Matematyka w edukacji początkowej - podejście konstruktywistyczne) w książce Matematyczna edukacja wczesnoszkolna - teoria i praktyka, podkreśla bardzo wyraźnie pewną myśl, którą przytaczam w całości (1.20.9, str. 98). Brzmi ona następująco: "Uczniom często wydaje się, że reguły najpierw się mnoży, a potem dodaje są takimi samymi prawami matematycznymi jak np. przemienność dodawania. Otóż różnica jest fundamentalna. Przemienność dodawania jest prawem nauki, stwierdzonym przez matematyków, którzy nie mogą go zmienić, tak już jest. Natomiast reguły kolejności wykonywania działań dotyczą wypracowanej w historycznym rozwoju nauki konwencji dotyczącej sposoby pisania znaków matematycznych na papierze i ich odczytywania (podobnie jak np. to, że dodawanie oznacza się krzyżykiem + oraz że licznik ułamka pisze się u góry, a mianownik u dołu, pod kreską)" [koniec cytatu]

Wyjaśnienie mechanizmu dzielenia i nagle wszystko się zmienia (2)

W poprzedniej odsłonie mówiłem o tym, że aby liczba była podzielna przez 4, to musi być "podwójnie parzysta". Co to oznacza? Otóż wyjściowa liczba (ta, którą sprawdzamy) musi być parzysta, a po podzieleniu na 2 nadal musi być parzysta. Wydaje się, że już jesteśmy sporo do przodu, ponieważ nie musimy znać wszystkich wielokrotności liczby 4 (tych od 0 do 96). Jednak za każdym razem musimy realizować dzielenie, aby być pewnym czy liczba jest podzielna przez 4 (czy jest "podwójnie parzysta"). I tak w przypadku badania liczb: 34, 42, 86, 54 i 74 dopiero po podzieleniu na dwa widzimy, że ich ilorazy są nieparzyste. Natomiast liczby 28, 92, 68, 60... widzimy, że dają parzysty iloraz, a więc są podzielne przez 4.

Pytanie jednak czy można pójść o krok dalej? Co by było, gdyby nie było konieczności wykonywania żadnych operacji związanych z dzieleniem czy mnożeniem, aby określić czy liczba jest podzielna przez 4? Czy wówczas pięciolatek byłby w stanie bez problemu znajdować takie liczby? To może warto pomóc temu dziecku, aby te z kolejnych poziomów edukacji również mogli skorzystać?

Doskonale wiemy, że jeśli chodzi o podzielność przez 4, to najprostszy sposób jest taki, że zakrywamy wszystkie wcześniejsze cyfry i pozostawiamy jedynie ostatnie dwie. I wtedy jest już łatwo - dwucyfrową liczbę dość szybko można w pamięci sprawdzić czy jest podzielna przez 4. A dalsza historia jest już prosta. Jeśli mamy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4 (niechaj to będzie przykładowo 28), wówczas możemy przed nią dopisywać dowolną liczbę cyfr i nadal każda w ten sposób utworzona będzie podzielna przez 4.

No tak. Co by jednak było gdyby tak w ogóle nie sprawdzać w pamięci dzielenia? Spróbujmy. Zerknijmy na tabelę i reguły.

Reguła zerowa (wejścia). Liczba nie jest podzielna przez 4 jeśli jej ostatnia cyfra jest nieparzysta. Tak więc każda liczba, która kończy się na 1, 3, 5, 7 lub 9 jest już na wejściu (input) wykluczana.

Tak więc mamy tylko dwie reguły do zapamiętania i zastosowania.

Reguła #1 - jeśli ostatnia cyfra to 0, 4 lub 8, to przed nią ma być parzysta cyfra (reguła: P0, P4, P8) [parzysta wielokrotność 4].
Reguła #2 - jeśli ostatnia cyfra to 2 lub 6, to przed nią ma być nieparzysta cyfra (reguła: N2, N6) [nieparzysta niewielokrotność 4].

Jak to rozumieć? Otóż jeśli liczba kończy się według reguły pierwszej, wówczas przed nią musi być parzysta cyfra. Inaczej mówiąc jeśli nasza sprawdzana (dwuznakowa) liczba zacznie się dowolną parzystą, wówczas jeśli kończy się na 0, 4 lub 8, to na pewno jest podzielna przez 4. Przykładami niechaj będą: 20, 24, 28 (dwójki), 40, 44, 48 (czwórki), 60, 64, 68 (szóstki), 80, 84, 88 (ósemki).

Natomiast reguła druga mówi nam o tym, że jeśli mamy ostatnią cyfrę 2 lub 6, wówczas przed nią musi znaleźć się nieparzysta cyfra, aby liczba była podzielna przez 4. Wymieńmy je zatem: 12, 16 (jedynki), 32, 36 (trójki), 52, 56 (piątki), 72, 76 (siódemki), 92, 96 (dziewiątki).

Teraz można zerknąć na tabelę, która pokazuje w praktyce to co przed chwilą zostało omówione.

Najpierw wypisujemy wszystkie liczby które chcemy zbadać (kolumna nr 1), następnie zapisujemy tylko dwie ostatnie cyfry jako liczbę, i kolejne kolumny to przedostatnia i ostatnia cyfra (w osobnych kolumnach). Pod koniec mamy regułę oceny liczby i końcowy wniosek - czy liczba jest czy nie jest podzielna przez 4.

Omówiliśmy zatem wszystkie możliwości poza jedną. Liczba może być nie tylko dwucyfrowa lub dłuższa, lecz także jednocyfrowa (wtedy liczba pokrywa się z symbolem cyfry). Są nimi takie liczby (cyfry) jak: 0, 4 i 8. Gdyby je zapisać sprytnie jako "dwucyfrowe" poprzedzając je zerem, wówczas wyglądałyby tak: 00, 04 i 08. A jak już pamiętamy będą one zgodne z regułą mówiącą o parzystej wielokrotności (czyli regule pierwszej), a więc również podzielne przez 4.

Gdyby ktoś pomyślał, że te reguły są trudne do przyswojenia dla dzieci, to spieszę z wyjaśnieniem, że wystarczy je odpowiednio zakodować, tak aby miło w uszach zabrzmiały. Przykładowe wersje mogą wyglądać w taki oto sposób (to oczywiście tylko jako inspiracja).

Reguła #1: Parzysta wielokrotność czwórki (0, 4 lub 8) wymaga przed nią parzystej przyjaciółki. Ciekawie dla dzieci może brzmieć taka wersja: "Na końcu zero, czwórka lub ósemka szukają przed sobą parzystego ziomka".

Reguła #2: Nieparzysta niewielokrotność czwórki (2 lub 6) wymaga przed nią nieparzystej przyjaciółki. Można także i bardziej finezyjnie: "Gdy masz liczbę zakończoną o dwa lewo (lub w prawo) od naszej czwóreczki, to szukasz przed nią nieparzystej połóweczki".

Podsumowanie: są różne sposoby na to, aby radzić sobie z wyzwaniami i problemami matematycznymi. Warto pamiętać o tym, aby poszukiwać różnorodnych rozwiązań, a nie skupiać się na problemie. Dzięki temu jest duża szansa, że przejdziemy na wyższe szczeble naszego zrozumienia. Można oczywiście dzieciom pokazać to zagadnienie na dziesiątki sposobów, włącznie z wypisaniem wszystkich wielokrotności i ćwiczenie z nimi poprzez zapamiętywanie dotąd aż je wszystkie opanują. Czy jednak nie stać nas na bardziej twórcze i znacznie ciekawsze rozwiązania?