Miniatury Matematyczne dla inspiracji są fantastyczne (2) - co znajdziemy w numerze 2 (SP)

Z uwagi na wakacyjny okres, dobrze jest trochę odpocząć od wysiłku umysłowego. Można jednak poczytać o tym co ciekawego znajdziemy w numerze drugim Miniatur Matematycznych. Ten zeszyt jest nieco grubszy od poprzednika, więc z pewnością będzie znacznie więcej przykładów do wykorzystania. Przekonajmy się dla kogo najbardziej będzie odpowiedni ten zeszyt (nota bene: formalnie nie jest to czasopismo, lecz "wydawnictwo książkowe"; dziękuję Mirosławowi Majewskiemu za zwrócenie uwagi na tę kwestię).

Na początek przytoczę opis numeru ze strony wydawcy:
https://www.aksjomat.torun.pl/pl/p/Miniatury-matematyczne-2-SP/207

Przekazujemy drugi tomik z serii "Miniatury Matematyczne". Tematem przewodnim tej książeczki są liczby całkowite i różne zagadnienia z nimi związane. Znajdziecie w niej ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości, a także takie, które Was zabawią, a nawet zadziwią (igraszki arytmetyczne).

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie "Kangur Europejski" i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych.

Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było z dobrym skutkiem podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tego tomiku może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwiązywaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków...

Tyle tytułem wprowadzenia. Teraz kolej na moją opinię na temat tej pozycji. Zaznaczę, iż opisuję wydanie drugie (poprawione) opublikowane w roku 2017.

Miniatury matematyczne są wydawane na dobrej jakości papierze w formacie A5 (co odpowiada rozmiarowi zwykłej kartki z zeszytu szkolnego). W drugim numerze mamy 76 strony. Co możemy znaleźć w tym zeszycie? Oto najważniejsze jego elementy:

Część 1: O liczeniu i ważeniu.
Na początek możemy zobaczyć krótki opis tego w jaki sposób Archimedes postanowił policzyć ilość ziaren piasku we wszechświecie. Dalej widzimy problem Mendelejewa (kojarzonego z tablicą pierwiastków chemicznych) w którym mamy do czynienia z odważnikami i ważeniem. Kolejno temat zapamiętywania rysunku znaków "x" zakodowanych w tabeli 5x5 i tajemniczą liczbę zakodowaną w tablicy. Wszystkie trzy tematy nawiązują do zapisu liczb w systemie pozycyjnym dziesiątkowym i dwójkowym. Na koniec tej części mamy jeszcze artykuł "od arytmetyki do algebry", który opisuje trzy gry arytmetyczne oraz sprytną pułapkę związaną z dzieleniem przez zero.

Część 2: Igraszki matematyczne.
W tej odsłonie przekonamy się o tym, że cudowne dziewiątki i sprytne mnożenie może być wyjątkowo ciekawe! Mamy po trzy przykłady sztuczek w których możemy dostrzec zależności, które mogą zadziwić swoją wizualną prostotą i pięknem. Mamy w tych przykładach do czynienia z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, a na koniec również potęgowaniem kwadratowym (dla liczb dwucyfrowych, których pierwsza lub druga cyfra to 5).

Część 3: Podzielność.
Tutaj z pewnością pasjonaci dzielenia i dowodzenia będą mogli odkryć to jak głębokim tematem może być reszta z dzielenia, największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW). Przykłady zawarte w tym artykule z pewnością mogą pokazać jak głębokie i trudne problemy mogą być rozwiązane "w dziecinnie prosty sposób" za pomocą żelaznych reguł logiki. Różnorodność zapewnia 30 zaprezentowanych i krótko wyjaśnionych przykładów.

Część 4: Liczby pierwsze.
Czym są liczby pierwsze? Wiadomo, że zajmowali się nimi matematycy od bardzo dawna. Sposobem prostym i bardzo przyciągającym uwagę można pokazać sito Eratostenesa przez które wyciekają liczby złożone, a zostają te, które zwiemy pierwszymi. Do tego widzimy dowód uczonego Euklidesa na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (z wykorzystaniem metody sprowadzenia do sprzeczności). Dalej mamy podane 17 zadań w których trzeba uzasadnić to czy dana liczba (lub grupa liczb) jest pierwsza czy też złożona.

Część 5: Igraszki matematyczne.
Kontynuacja wcześniej rozpoczętego wątku. Tym razem zagadnienia odgadywania czyjegoś wieku (3 przykłady), zagadki typu "pomyśl zanim odpowiesz" (2) i przedziwne symetrie (4). Ostatnia koncepcja pokazuje niezwykłe i zarazem ukryte niespodzianki w iloczynach i kwadratach liczb. Z pewnością doskonale tutaj widać, iż lustrzane odbicie może dotyczyć także liczb!

Część 6: Równania diofantyczne.
Zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych - właśnie takie rozważania są zawarte w tej części opracowania. Pomimo pozornie prosto wyglądających przykładów, te przekształcenia mogą być dość wymagające, więc warto mieć to na uwadze. Kto lubi przekształcać i podstawiać kolejne wyrażenia będzie mógł poczuć się jak ryba w wodzie. Mamy do dyspozycji 15 przykładów z których większość ma załączone rozwiązanie, zaś pozostałe rozwiązania są przedstawione w ostatniej części.

Część 7: O smoku, zbójach i rybakach.
Ta miniatura przedstawia zestaw zadań o bardzo różnorodnej tematyce, które dotykają liczb całkowitych (6 zadań). Natomiast druga odsłona zawiera grupę zadań dotyczącą pewnych zagadnień ekstremalnych związanych z liczbami naturalnymi (20 zadań). I na dodatek jest jeszcze grupa problemów poświęcona własnościom liczb naturalnych (18 zadań). Myślę, że te przykłady są na tyle oryginalne (jak kto woli - abstrakcyjne), że bez problemu mogłyby powalić wielu maturzystów poziomu podstawowego. Podejrzewam, że jedynie osoby mocno zafascynowane matematyką będą w stanie docenić tego typu zagadnienia.

Część 8: Rozwiązania igraszek matematycznych.
Jak sama nazwa wskazuje dołączone zostały rozwiązania z części piątej. Pomimo nietypowej natury zadań, rozwiązania są przedstawione w przystępnej formie. Wystarczy uważnie przeczytać i przeanalizować rozumowanie autorów. Większość powinna zostać zrozumiana bez specjalnego wysiłku.

To tyle w kwestii formalnej. Tak właśnie wygląda zawartość tego numeru... z mojej perspektywy i w bardzo dużym skrócie. Teraz czas na moje wrażenia. Jakie jest tym razem moje ogólne wrażenie całości?

Osobiście spodobały mi się takie części jak: o ważeniu i liczeniu, igraszki matematyczne (obie odsłony), omówienie sita Eratostenesa (jako zabawa na wypisanie liczb pierwszych w zakresie do 100)... i tyle. Podejrzewam, że mogą one również zaciekawić osoby nie mające zawodowego kontaktu z matematyką. Mam na myśli rodziców czy też osoby, które umieją i lubią wyjaśniać oraz pokazywać innym proste sztuczki matematyczne. Reszta materiału jest przeznaczona dla osób, które potrzebują inspiracji oraz wyzwania matematycznego. Myślę, że będą nimi głównie nauczyciele, którzy prowadzą kółka matematyczne bądź przygotowują uczniów do konkursów matematycznych (chociażby wspomnianego na wstępie "Kangura Matematycznego").

Na koniec dodam, że powyżej wspomniana zawartość numeru może być wykorzystana na zajęciach z dziećmi w klasie 4-6. Pozostała część przeznaczona jest dla uczniów minimum 7-8 klasy SP. Podkreślam wyraźnie, że szczególnie istotne będzie w tym wypadku dobre opracowanie tych zagadnień. Moim zdaniem konieczna jest odpowiednia metoda wyjaśnienia oraz naprowadzania umysłów dzieci, tak aby samodzielnie były w stanie jak najwięcej odkrywać i wyciągać prawidłowe wnioski. Dzięki temu nawet te abstrakcyjne treści mogą wzbudzać zaciekawienie czy też uaktywniać uzdolnienia matematyczne wśród dzieci zainteresowanych matematyką.

Miniatury Matematyczne dla inspiracji są fantastyczne (1) - co znajdziemy w numerze 1 (SP)

W poprzednim artykule tej serii napisałem takie oto podsumowanie: Miniatury Matematyczne to szczególnie wartościowe czasopismo, które jest adresowane do szerokiego grona odbiorców. Mogą z niego korzystać nie tylko dzieci, ale i rodzice. W przypadku nauczycieli taka lektura i jej wykorzystanie na zajęciach powinna być standardem i jednocześnie znakiem rozpoznawczym najlepszych belfrów.

Dodałem na zachętę również: W miarę możliwości będę chciał opisywać poszczególne numery tego czasopisma, ponieważ uważam, że jest ono ogromną pomocą dla każdej grupy wiekowej: począwszy od uczniów szkoły podstawowej, kończąc na uczniach szkoły średniej. Podkreślę, że nie będzie to pełny i obszerny opis zawartości czasopisma, lecz raczej zwrócenie uwagi na najciekawsze perełki, które według mnie zasługują na uznanie.

Wiedziałem, że nie będzie to zadanie ani łatwe, ani krótkie ani tym bardziej lekkie (chociaż na pewno bardzo przyjemne!). Słowo się rzekło, kobyła u płotu. Zatem zaczynamy! Chcę jeszcze zaznaczyć wyraźnie, że nie jestem zawodowym matematykiem, więc recenzje będą pisane z punktu widzenia osoby, która uwielbia matematykę chociaż za bardzo jej nie rozumie. Warto to mieć na uwadze, aby potem nie czuć rozczarowania w zetknięciu z rzeczywistością.

Na początek przytoczę opis numeru ze strony wydawcy:
https://www.aksjomat.torun.pl/pl/c/Dla-szkoly-podstawowej/47

Organizowany od 1991 roku Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „Kangur Europejski” zyskuje z roku na rok coraz większą popularność, szczególnie w kategorii "Maluch". Organizatorów cieszy masowość tego konkursu i ożywienie, jakie wnosi on w budzenie zainteresowań matematycznych. Pragniemy podtrzymać tę dobrą atmosferę dostarczając młodym uczniom zainteresowanym matematyką dodatkowego bodźca.

Być może spełni tę rolę seria książeczek „Miniatury Matematyczne”, której pierwszy tomik przekazujemy w Wasze ręce. Znajdziecie w nim ciekawe i nieszablonowe teksty matematyczne, nie wykraczające jednak poza Wasze możliwości.

Mamy nadzieję, że lektura tych tekstów zaowocuje jeszcze lepszymi wynikami w konkursie „Kangur Europejski” i pomoże Wam przygotować się do innych zawodów matematycznych. Wiele problemów zawartych w miniaturach wykorzystywanych było, z dobrym skutkiem, podczas zajęć Międzyszkolnych Kół Matematycznych prowadzonych przez Toruński Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego.

Spodziewamy się, że zawartość tej książeczki może pomóc kolegom nauczycielom w budzeniu i rozwijaniu uzdolnień matematycznych swoich wychowanków.

Tyle tytułem wprowadzenia. Teraz kolej na moją opinię na temat tej pozycji. Zaznaczę, iż opisuję wydanie drugie (poprawione) opublikowane w roku 2017 (pierwsze wydanie datowane jest na rok 1995, co pozwala zobaczyć jaki szmat czasu wydawane jest czasopismo).

Miniatury matematyczne są wydawane na dobrej jakości papierze w formacie A5 (co odpowiada rozmiarowi zwykłej kartki z zeszytu szkolnego). W numerze pierwszym mamy 64 strony. Co możemy znaleźć w tym zeszycie? Oto najważniejsze jego elementy:

Część 1: Liczyć - co to znaczy?
W tej odsłonie mamy bardzo ciekawy opis tematu "od zbioru do liczby". Można go z powodzeniem wykorzystać do zrozumienia i wyjaśnienia tego dlaczego posługujemy się systemem dziesiętnym, czym jest pozycja w liczbie, jak odróżnić znaczenie liczby od cyfry oraz historyczny rys tego jak liczyli nasi praprzodkowie. Ten mini tekst może być świetnym wprowadzeniem w tajemnice systemu liczenia.

Następnym tematem jest zamiana podstawy systemu liczenia wraz z wyjaśnieniem tego gdzie stosujemy systemy pozycyjne i w jaki sposób można je wykorzystywać do kodowania informacji. Myślę, że ten krótki wykład może być świetną inspiracją do przeprowadzenia ciekawych zajęć na temat systemu dwójkowego, a kolejno do nauki innych systemów (w tym chociażby trójkowy, piątkowy czy siódemkowy). Jest również wyjaśnione tow jaki sposób zamieniać wartości pomiędzy różnymi systemami (przykładowo między dwójkowym i trójkowym).

Część 2: Czy mnożenie jest takie trudne?
W ramach tego opracowania mamy: kwadraty babilońskie, arytmetykę rybaków egipskich, mnożenie w prostokącie i mnożenie na palcach. W skrócie powiem, że pierwsze dwa tematy zahaczają o zabawę liczbami - każda liczba naturalna daje się przedstawić w postaci sumy kwadratów (co najwyżej) czterech liczb naturalnych oraz każda liczba naturalna może być przedstawiona jako suma potęg liczby 2. Z kolei mnożenie "w prostokącie" to nic innego jak graficzne przedstawienie mnożenia w pamięci dwóch liczb dwucyfrowych na zasadzie "zaokrąglania". No i mamy na dokładkę klasyczne mnożenie "na palcach". Ten sposób powinien znać każdy - szczególnie dzieci, które mają trudności z tabliczką mnożenia.

Część 3: W czarodziejskim świecie liczb.
Tutaj znajdziemy kilka bardzo ciekawych zabaw z liczbami i ich niezwykłe właściwości. Przykładowo jak z mnożenia przez 9 i dodawania od dwójki do dziewiątki otrzymywać liczby 11, 111, 1111..., fenomen ułamka 1/7 czy też zapis liczby 100, tak aby każda cyfra wystąpiła dokładnie jeden raz (z wykorzystaniem różnych znaków działań). Dalej wciągają nas tematy liczby Szeherezady, odgadywanie pomyślanej liczby czy też daty urodzin kolegi i zabawa w detektywa (wykrywanie "Czarnego Piotrusia").

Część 4: Jak zmierzono obwód Ziemi.
W tym miejscu posłuchamy krótkiej opowieści o tym jak Eratostenes (tak, tak - dokładnie ten sam od "sita Eratostenesa") zmierzył obwód Ziemi. Najbardziej zadziwia dokładność pomiaru, który uzyskał uczony w stosunku do dzisiejszych obliczeń.

Część 5: Geometria Małego Księcia.
Jeśli chcemy zobaczyć w jaki sposób trójkąt może mieć trzy kąty proste i jak wyglądał dialog Małego Księcia z autorem (Antoine), to może to być świetne wprowadzenie w geometrię sferyczną. Jestem pewien, że może to pokazać inne perspektywy i zarazem otworzyć drzwi do kolejnych poziomów matematycznych tajemnic.

Część 6: Geometria kartki papieru.
Ta część jest tak fajna, że moim zdaniem powinna być obowiązkowa dla każdego ucznia od klasy trzeciej. Zawiera bowiem składanie (kartki) papieru, którą Chińczycy i Japończycy podnieśli do rangi sztuki. Mowa oczywiście o origami. Jakie konstrukcje mamy do dyspozycji? Otóż w kolejności nauczymy się jak złożyć: kwadrat, trójkąt równoboczny i równoramienny, romb, deltoid (popularnie zwany latawcem) i jeszcze figury foremne - pięciokąt, ośmiokąt i sześciokąt. Tutaj mamy dowód na matematykę w najbardziej przyjaznej postaci - samodzielne składanie kartki, aby uzyskać określoną figurę.

Część 7: Układanka.
Co by się stało, gdyby pewien bogaty maharadża postanowił wybudować ogromny pałac? Otóż to! Kolejna rewelacyjna część, która pokazuje jak ważne praktyczne problemy mogą być rozwiązywane we współpracy z królową nauk - Matematyką! Mamy do dyspozycji trójkątne i kwadratowe kafelki i teraz czeka na układanie podłogi. Zabawa matematyką bez odczuwania jakiejkolwiek ingerencji i katowania liczeniem?! Tak, to możliwe, a nawet obowiązkowe! W tej odsłonie mamy pokazane jak można układać kolejne n-kąty: pięcio, sześcio aż po jedenastokąt. I co ważne - mamy również wyjaśnienie matematyczne związane z tym na czym polega szczelne układanie parkietu za pomocą figur płaskich. Dzięki temu możemy bardzo praktycznie odczuć temat posadzek, parkietów i podłóg wypełnionych wielokątami foremnymi czy też innych figur "falistych".

Część 8: Kwadrat - wyróżniony prostokąt.
I jeszcze jeden mały bonus. Zabawa zapałkami (patyczkami) w której celem jest uaktywnienie twórczego potencjału za pomocą matematycznych wskazówek. Jak bowiem można ułożyć z 12 zapałek figury, które mają równe obwody a pola mają 9 kwadratów? ("zapałczanych"). To znakomite wprowadzenie do tematu obwodu i pola kwadratu i prostokąta.

Do tego dochodzi wyjaśnienie algebraiczne i geometryczne, więc można przechodzić do kolejnych zagadek. Wśród nich są chociażby takie:
- który z czworokątów o danym obwodzie ma największe pole?
- który z wielokątów o danej liczbie boków i tym samym obwodzie ma największe pole?
- który z wielokątów foremnych o tym samym obwodzie posiada największą powierzchnię?
- jaka z figur geometrycznych o ustalonym obwodzie posiada największą powierzchnię?

Część 9: Zestawy do ćwiczeń.
Tutaj zostały dołączone dwie strony symboli i cyfr, które mają za zadanie pomóc w tworzenie zbiorów i oznaczania liczb różnymi symbolami. Jest to dodatek do pierwszej części.

Tak właśnie tak wygląda zawartość tego numeru... z mojej perspektywy i w bardzo dużym skrócie. Najbardziej spodobały mi się części w których można bardzo łatwo przemycać zabawę z jednoczesną nauką matematyki. Mam na myśli takie części jak: geometria składania papieru (6), układanka (7) i kwadrat - wyróżniony prostokąt (8). Z kolei ciekawym pomysłem jest ukazania różnych sposobów mnożenia, więc tutaj z pomocą przyjdzie nam część druga (czy mnożenie jest takie trudne). W przypadku czarodziejskiego świata liczb (3), to można śmiało powiedzieć, że stanowi znakomitą inspirację do tego, aby bawić się liczbami i odkrywać ich tajemnice. Najbardziej wymagający będzie z pewnością temat systemów pozycyjnych, więc akurat ta część wymaga dobrego przygotowania i opracowania planu działania (scenariusza zajęć).

A jakie jest moje ogólne wrażenie całości? Jako osoba, która obcuje z matematyką w pełni hobbistycznie, uważam że ten zeszyt jest dobrą okazją do tego, aby zawodowi matematycy (mam na myśli nauczycieli) mogli przygotowywać rozbudowane, twórcze i ciekawe zajęcia. Dodam, że bardzo dobrym pomysłem jest wcześniejsze przygotowanie i przećwiczenie danego tematu, ponieważ dzięki temu zajęcia będą realizowane bardziej płynnie (a i nauczyciel uniknie stresu i niespodzianek).

Pomysły i krótkie opracowania tematów mogą być znakomitą inspiracją do tego, aby pokazywać matematykę z innej strony. Im bardziej praktyczna i możliwa do "ręcznego sprawdzenia", tym lepiej. Dobrze jest również pamiętać o tym, aby dziecko miało okazję samodzielnie testować swoje pomysły i oceniać rezultaty swojego działania. W przypadku składania kartek można wspomnieć o tym, że ciekawym dodatkiem jest podzielenie ich liniami na dodatkowe figury i pokolorowanie różnymi kolorami lub symbolami. Dzięki temu połączymy zabawę z pracą, czyli przyjemne z pożytecznym. Jeśli uczymy się matematyki wcale o niej nie myśląc (odczuwając radość i zaspokajając swoją ciekawość), wówczas możemy być pewni, że podążamy prawidłową ścieżką.

Na koniec dodam, że ten zawartość tego numeru może być wykorzystana na zajęciach z dziećmi w klasie 4-6. Niemniej części, które najbardziej mi się spodobały mogą z powodzeniem być zrealizowane z dziećmi poziomu 2-3 klasy SP. Przy okazji dodam, że stosunek zawartości czasopisma do ceny jest bardzo dobry. Za niewielką kwotę możemy mieć dostęp do inspirujących pomysłów na niezwykle twórcze i ciekawe zajęcia.

Szczególnie istotne jest to, że Miniatury Matematyczne to jedno z nielicznych przyjaznych czasopism promujących i popularyzujących matematykę w taki sposób, aby była fascynującą aktywnością, a nie męką, torturami czy katowaniem (niestety tak postrzega matematyczną rzeczywistość duża część populacji - zarówno najmłodsza jak i dużo starsza). Dlatego gorąco polecam lekturę tych zeszytów również rodzicom czy też samym dzieciom, które szczególnie interesują się tajemnicami matematyki... w jej najbezpieczniejszym i przyjaznym wydaniu. Przy okazji może to być proste i dobre wyjaśnienie skąd akurat taki nietypowy tytuł serii.

Tabliczka mnożenia zawiera niezwykłe koncepcje warte docenienia

Wielu rodziców oraz nauczycieli zastanawia się nad tym w jaki sposób można z pozornie jałowego tematu zrobić ciekawe zajęcia na którym będzie okazja do tego, aby poćwiczyć mięśnie umysłu. Jednym z takich zagadnień jest popularna, a często także nielubiana tabliczka mnożenia. Gdyby jednak pokazać ją od zupełnie innej strony, to jestem absolutnie przekonany, że dzieci mogłyby ją polubić i odkrywać w niej niezwykłe tajemnice. O jakich tajemnicach mówię? Zobaczmy poniżej...

Grażyna Jabłońska pokazuje różne własności tabliczki mnożenia (link do pracy autorki podany zostanie na końcu). Można zobaczyć pomysł na twórczą tabliczkę w postaci wielokrotności liczb, ciągów liczbowych czy nawet jako symetrie. Pomysł jest nie tylko prosty, ale moim zdaniem rewelacyjny! Autorka podzieliła się tym co pozornie każdy wie lub czuje, ale w praktyce niemal nikt tego nie stosuje. A przecież tabliczka mnożenia zawiera niezwykłe koncepcje warte docenienia...

Myślę, że w tym wypadku jeden rysunek będzie więcej warty niż tysiące słów. Oto miniatury tej pracy.

 

Tytuł pracy: Tabliczka mnożenia inaczej. Opis: Różne własności tabliczki mnożenia, zapisana w postaci wielokrotności liczb, ciągów liczbowych, uwidocznione symetrie. Autor: Grażyna Jabłońska, Data publikacji: 2008-06-02. Link do publikacji: http://www.45minut.pl/publikacje/18242/

Dodam, że chętni odkrywania matematycznych tajemnic i zagadek również w starszym wieku mogą poszukiwać sposobów rozwiązania problemu tabliczki mnożenia. Na poniższych zdjęciach zadanie polegało na tym, aby bez użycia kalkulatora i telefonu (Internetu) policzyć sumę wszystkich liczb, które mamy w tabliczce mnożenia (jako wyniki iloczynu dwóch liczb). Pomimo początkowych trudności dorośli uratowali honor i znaleźli prosty oraz prawidłowy sposób na to, aby podać końcowy wynik.

A gdyby tak o właśnie te liczby ze sobą dodać, to może by wtedy nam wyszła suma?

 

No to sprawdźmy ten sposób i zobaczymy co nam z tego wyjdzie! Najwyżej poprawimy!

Podsumowanie: W zależności od poziomu danego dziecka, ta praca może być wykorzystana przy omawianiu różnych zagadnień. Moim zdaniem dobrym pomysłem jest przećwiczenie na sobie tych własności tabliczki mnożenia, a potem umiejętne naprowadzanie dziecka na prawidłową drogę. Dzięki temu możliwe jest odkrywanie ukrytych zależności między poszczególnymi elementami tabliczki mnożenia. Im więcej sposobów na twórczą naukę, tym więcej radości z poznawania jej tajemnic. Pamiętajmy, że w matematyce chodzi przede wszystkim o tworzenie strategii rozwiązania zadania (problemu), a nie jedynie podawanie wyniku końcowego. Za każdym razem staram się powtarzać, że jeśli określimy prawidłową drogę, to zawsze dojdziemy do zamierzonego (pożądanego) celu. To ćwiczenie może być świetnym sprawdzianem związanym z umiejętnością kombinowania i tworzenia różnych sposób zliczania. Bardzo łatwo potem będzie wprowadzić i omówić temat ciągów (zwłaszcza arytmetycznego).