Przyjrzyjmy się specjalnemu trójkątowi, którego poszczególne kąty pozostają w relacji: 1:2:3. Dobrze jest bowiem zrozumieć i opanować umiejętności, które przydadzą się w kolejnych etapach nauki.
Przy szczególnych trójkątach mamy ciekawe własności. O ile trójkąt, który jest połową kwadratu jest bardzo prosty do opanowania, o tyle drugi z nich - specjalny (tak zwany 30-60-90, nota bene: to nie są wymiary modelki), może na początku sprawiać dzieciom pewne trudności.
Moim zdaniem warto zwrócić uwagę na 3 elementy:
1. Rysowanie trójkąta 30-60-90.
2. Zrozumienie zależności między wszystkimi bokami.
3. Przeliczanie wartości (długości) pozostałych boków.
Dzięki nauce tych elementów dzieci będą w stanie w kolejnych etapach nauki poprawnie i efektywnie wykorzystywać tę wiedzę, podwyższając jednocześnie poziom swoich umiejętności.
Omówimy zatem pokrótce wszystkie te elementy.
1) Praktyczne rysowanie trójkąta 30-60-90.
Tutaj sprawa jest prosta. Najpierw rysujemy dwie proste prostopadłe, a potem od kąta prostego rysujemy odcinek poziomo o długości 10 kratek (5 cm), zaś pionowo 6 kratek (3 cm). W przypadku dzieci na niższym poziomie (np. klasa 4 lub 5) rysujemy najpierw prostokąt, a potem dopiero przekątną, która sprawi, że będziemy mieli dwa takie same trójkąty 30-60-90.
Warto dzieciom również przypomnieć po czym poznajemy większy, a po czym mniejszy kąt. O ile kąt prosty widać "gołym okiem", o tyle kąty 30 i 60 stopni warto szybko odróżniać. W jaki sposób? Otóż wystarczy zapamiętać prostą właściwość: im kąt bardziej oddalony od kąta prostego, tym mniejsza jego miara (wartość). Zatem odcinek o długości 10 kratek (5 cm) jest bardziej oddalony od tego 6 kratek (3 cm), więc ten pierwszy kąt ma miarę 30 stopni, zaś ten drugi dokładnie 60.
Pamiętajmy, że rysunek ma charakter wyłącznie poglądowy. Jest tylko i wyłącznie ułatwieniem dla naszych rozważań i analiz. Dobrze jest również pokazać dzieciom jak nieduży błąd popełniliśmy biorąc pod uwagę te boki trójkąta prostokątnego. W jaki sposób? Otóż można na późniejszym etapie pokazać czym jest tangens kąta 30 i 60 stopni w odniesieniu do powyższego trójkąta (o bokach 5x3 cm). Dobrze oczywiście jest to jeszcze poprzedzić twierdzeniem Pitagorasa, tak aby dzieci mogły samodzielnie obliczyć długość najdłuższego boku. Dzięki temu można przemycić ciekawe idee, tak aby jednocześnie pokazać (potwierdzić) właściwości trójkąta 30-60-90.
I od razu widać, że tangens 60 stopni to wartość pierwiastka z 3, zaś w naszych obliczeniach dostaliśmy wynik 10/6. Różnica pomiędzy tymi wynikami (w przybliżeniu) wynosi 1,732 - 1,666 = 0,065. Widać zatem wyraźnie, że na potrzeby praktyczne podstawienie tych boków (5 i 3 albo 10 i 6) w zupełności wystarczy. Zwłaszcza, że uczniowie notują w zeszytach w kratkę, więc dzięki temu rysunki będą nie tylko czytelne, ale i bliskie idealnej wersji.
Przy szczególnych trójkątach mamy ciekawe własności. O ile trójkąt, który jest połową kwadratu jest bardzo prosty do opanowania, o tyle drugi z nich - specjalny (tak zwany 30-60-90, nota bene: to nie są wymiary modelki), może na początku sprawiać dzieciom pewne trudności.
Moim zdaniem warto zwrócić uwagę na 3 elementy:
1. Rysowanie trójkąta 30-60-90.
2. Zrozumienie zależności między wszystkimi bokami.
3. Przeliczanie wartości (długości) pozostałych boków.
Dzięki nauce tych elementów dzieci będą w stanie w kolejnych etapach nauki poprawnie i efektywnie wykorzystywać tę wiedzę, podwyższając jednocześnie poziom swoich umiejętności.
Omówimy zatem pokrótce wszystkie te elementy.
1) Praktyczne rysowanie trójkąta 30-60-90.
Tutaj sprawa jest prosta. Najpierw rysujemy dwie proste prostopadłe, a potem od kąta prostego rysujemy odcinek poziomo o długości 10 kratek (5 cm), zaś pionowo 6 kratek (3 cm). W przypadku dzieci na niższym poziomie (np. klasa 4 lub 5) rysujemy najpierw prostokąt, a potem dopiero przekątną, która sprawi, że będziemy mieli dwa takie same trójkąty 30-60-90.
Warto dzieciom również przypomnieć po czym poznajemy większy, a po czym mniejszy kąt. O ile kąt prosty widać "gołym okiem", o tyle kąty 30 i 60 stopni warto szybko odróżniać. W jaki sposób? Otóż wystarczy zapamiętać prostą właściwość: im kąt bardziej oddalony od kąta prostego, tym mniejsza jego miara (wartość). Zatem odcinek o długości 10 kratek (5 cm) jest bardziej oddalony od tego 6 kratek (3 cm), więc ten pierwszy kąt ma miarę 30 stopni, zaś ten drugi dokładnie 60.
Pamiętajmy, że rysunek ma charakter wyłącznie poglądowy. Jest tylko i wyłącznie ułatwieniem dla naszych rozważań i analiz. Dobrze jest również pokazać dzieciom jak nieduży błąd popełniliśmy biorąc pod uwagę te boki trójkąta prostokątnego. W jaki sposób? Otóż można na późniejszym etapie pokazać czym jest tangens kąta 30 i 60 stopni w odniesieniu do powyższego trójkąta (o bokach 5x3 cm). Dobrze oczywiście jest to jeszcze poprzedzić twierdzeniem Pitagorasa, tak aby dzieci mogły samodzielnie obliczyć długość najdłuższego boku. Dzięki temu można przemycić ciekawe idee, tak aby jednocześnie pokazać (potwierdzić) właściwości trójkąta 30-60-90.
I od razu widać, że tangens 60 stopni to wartość pierwiastka z 3, zaś w naszych obliczeniach dostaliśmy wynik 10/6. Różnica pomiędzy tymi wynikami (w przybliżeniu) wynosi 1,732 - 1,666 = 0,065. Widać zatem wyraźnie, że na potrzeby praktyczne podstawienie tych boków (5 i 3 albo 10 i 6) w zupełności wystarczy. Zwłaszcza, że uczniowie notują w zeszytach w kratkę, więc dzięki temu rysunki będą nie tylko czytelne, ale i bliskie idealnej wersji.
2) Zrozumienie zależności między wszystkimi bokami.
Tutaj sprawa jest prosta. Jeśli dzieci potrafią narysować trójkąt 30-60-90 i rozumieją już zależności między bokami (twierdzenie Pitagorasa), wówczas pora na wyjaśnienie zależności między bokami. Warto w tym celu wykorzystać własności w trójkącie równobocznym - dzięki temu uczniowie zrozumieją w jaki sposób powstają wszystkie wartości. W zależności od koncepcji nauczyciela oraz potencjału grupy można najpierw posłużyć się zapisem literowym, a następnie stopniowo wprowadzać wartości liczbowe. Można również odwrotnie - wszystko zależy od poziomu grupy na którym realizujemy ten temat.
Tutaj sprawa jest prosta. Jeśli dzieci potrafią narysować trójkąt 30-60-90 i rozumieją już zależności między bokami (twierdzenie Pitagorasa), wówczas pora na wyjaśnienie zależności między bokami. Warto w tym celu wykorzystać własności w trójkącie równobocznym - dzięki temu uczniowie zrozumieją w jaki sposób powstają wszystkie wartości. W zależności od koncepcji nauczyciela oraz potencjału grupy można najpierw posłużyć się zapisem literowym, a następnie stopniowo wprowadzać wartości liczbowe. Można również odwrotnie - wszystko zależy od poziomu grupy na którym realizujemy ten temat.
3) Przeliczanie wartości (długości) pozostałych boków.
Na koniec dobrze jest potrenować nieco na wybranych wartościach. Im szybciej uczniowie zrozumieją i zapamiętają, kiedy i przez co należy podzielić lub pomnożyć, aby otrzymać pozostałe boki... tym szybciej opanują pozostałe tematy. Temu właśnie służą poniższe ćwiczenia. Oczywiście można dobierać różne wartości, uwzględniając poziom grupy i ilość czasu przeznaczonego na dane zagadnienie. Tak czy inaczej ćwiczenia trzeba wykonać, aby nabrać wprawy.
Podsumowanie: temat specjalnego trójkąta 30-60-90 wymaga wszechstronnego podejścia. Dzięki temu dzieci zrozumieją, że pozornie trudny temat (trygonometria czy twierdzenie Pitagorasa) może być naprawdę fajny. Ciekawe pomysły, praca grupowa oraz naprowadzanie na znajdywanie i odkrywanie kolejnych właściwości może zaowocować nie tylko radością uczniów, ale również wiedzą i umiejętnościami, które zostaną utrwalone na długi czas.
Pamiętajmy również o tym, że powyższe rozważania są jedynie szkieletem (zarysem) tego co może i powinno zostać zrealizowane. Artykuł ma na celu zainspirowanie do tego, aby przyjrzeć się temu zagadnieniu z innej perspektywy. Im więcej punktów widzenia weźmiemy pod uwagę, tym lepsze zajęcia będziemy w stanie zrobić. A to może sprawić, że dzieci z chęcią będą chciały się uczyć matematyki... i pokochają odkrywanie matematycznych tajemnic! :)
