To jest dobra matematyka - czyli o nauce i sposobach jakie stosować wolno, trzeba a nawet należy (5)

Matematyka jest wykorzystywana w bardzo wielu miejscach. Można nawet powiedzieć, że szalenie trudno jest znaleźć dziedzinę nauki w której nie jest ona brana pod uwagę. Natomiast są też takie obszary w których matematyka dominuje, nawet jeśli tym przedmiotem nie jest owa matematyka. Jak to możliwe? Prosto! Otóż wiele dziedzin nauki bazuje na tym co wypracowała matematyka. Jednym z takich obszarów jest ekonomia. No i teraz pojawia się pytanie. Czy ekonomia może być przemycana na matematyce czy jednak nie powinna się do niej mieszać? A może wręcz niektóre elementy ekonomii muszą być jak najszybciej pokazywane i wyjaśniane właśnie na matematyce? Są takie tematy? Okazuje się, że owszem są!

No to kolejne pytanie. Kto i w jaki sposób miałby pokazywać ekonomię na matematyce i jakie zagadnienia będą nie tylko ciekawe, ale również łatwe do zrozumienia dla dzieci uczących się w szkole podstawowej? Na to pytanie odpowiada nam dzisiejsza ekonomiczna bohaterka, która nazywa się...

Magdalena Cyrczak-Skibniewska. O sobie mówi, że jest projektantem grafiki i dobrze robi swoją robotę. Zamienia nudne i trudne w ładne i fajne. Zresztą zobaczcie i przeczytajcie sami...

No, no! Niektórzy powiedzą, że to duża pewność siebie albo nieco bardziej młodzieżowa, że poszła po bandzie. W takim razie powiedzmy sprawdzam i poprośmy naszą autorkę o to, aby wyjaśniła o co chodzi z tą ekonomią. Dodam na marginesie, że Magda postanowiła w ten sposób wyjaśniać swojemu synowi to o co stale była wypytywana. A że nie chciała trzymać tej tajemnej wiedzy tylko dla siebie... to postanowiła również podzielić się z innymi, zwłaszcza że ma świetne oko rysowania! Natomiast z uwagi na to, że Magdalena mało mówi, a dużo robi, więc najprościej za nią będą mówiły jej prace. Warto im się uważnie przyjrzeć, ponieważ naprawdę robią wrażenie! Ba! Nawet nie tylko wrażenie, ale są również rewelacyjną pomocą związaną z wyjaśnianiem podstawowych i bardzo często spotykanych zagadnień ze świata ekonomii...


Ekonomikony - czyli ekonomia w obrazkach
Co to właściwie znaczy „kryzys”? Czym jest recesja? Dlaczego nie można tak po prostu bezkarnie dodrukować sobie pieniędzy gdy ich brakuje? Co oznacza spadek PKB? Jakie podatki płacimy? O tym są Ekonomikony czyli seria grafik przedstawiających podstawowe pojęcia ekonomiczne w przystępnej, skróconej formie.

Zerknijmy zatem na te dzieła sztuki, bo jak dla mnie są po prostu edukacyjnym kosmosem. Tak, potrafię się zachwycać, zwłaszcza jeśli widzę pasjonata, który dzieli się z innymi swoją wiedzą, doświadczeniem i umiejętnościami. Przyznam w sekrecie, że początkowo byłem mocno sceptyczny względem tych prac, bo nie sądziłem, że autorka pociągnie więcej niż kilka zagadnień. A tu się okazało, że nie tylko jest ich już więcej niż kilkanaście, ale także pod względem merytorycznym są świetnie opracowane! Czegóż chcieć więcej?!

No dobra Tomaszu, ale jak to można zastosować na moich zajęciach? Już śpieszę z odpowiedzią. Otóż wystarczy wybrać jedną z tych infografik i na jej podstawie przygotować zajęcia. W większości wypadków te znakomite grafiki same podpowiedzą na co zwrócić uwagę. Ze swojej strony dodam, że w przypadku kieszonkowego możemy zrobić warsztaty lub wręcz debatę związaną z tym ile kieszonkowego obecnie dostają dzieci. Można również pójść o krok dalej i zapytać ile chciałyby dostawać i na co by przeznaczały ową nadwyżkę.

Z kolei w przypadku zagadnienia budżetu możemy wyjaśnić to czym jest budżet indywidualny czyli najczęściej kieszonkowe, albo też budżet klasowy, szkolny, gminy, miasta czy wręcz kraju. Skąd się biorą pieniądze, jaka jest ich rola oraz dlaczego część z nich musimy oddawać naszemu państwu. Można obalać mity związane z tym, że państwo ma swoje pieniądze. Będzie to doskonała robota, bo niestety, ale zadziwiająco wielu dorosłych nie wierzy ani w smoki ani w duchy, ale są święcie przekonani, że państwo ze swoich pieniędzy....

Poza tym w przypadku, gdy nauczamy o procentach, to obowiązkowym tematem są podwyżki, obniżki, ale również VAT. I tutaj również mamy świetną pomoc na podstawie której możemy przygotować twórcze i bardzo wciągające zajęcia. Wystarczy chociażby zapewnić zabawkowe pieniądze w których symbolicznie ucinamy (lub odrywamy) część z nich jako właśnie ów podatek. A potem widzimy, że te odcięte (bądź oderwane) pieniądze podczas kilkudziesięciu transakcji (tak, to właśnie zabawa w sklep) stanowią ów podatek VAT, który potem trafia do budżetu państwa.

Jeśli przy okazji bierzemy procenty i chcemy wyjaśnić czym się różnią od punktów procentowych, to też jest ku temu okazja. Jedną z takich realnych sytuacji są oczywiście wybory. I to mogą być także wybory klasowe, w których sami uczniowie decydują o tym jak wybierają, w jaki sposób prezentują wyniki i po czym poznać kto ma większe poparcie. Dzięki temu pojęcie punktów procentowych zostanie znacznie lepiej nie tylko wyjaśnione, ale również i zrozumiane jak też trwale zapamiętane!

W obecnej chwili infografik jest już ponad 20, więc na pewno każdy jest w stanie wybrać przynajmniej kilka najciekawszych i najbardziej potrzebnych przykładów, a potem na ich bazie zrealizować świetne zajęcia. Nie muszę chyba wspominać o tym, że każde dziecko (samodzielnie lub w małych grupach) określa swoje zarobki w skali miesiąca oraz roku oraz uczy się tego, jaką część z tego wynagrodzenia będzie musiało oddać do budżetu państwa. To nie tylko świetna zabawa, ale również doskonała nauka! Tak, właśnie tak nie tylko można, ale i trzeba rozwijać potencjał dzieci!

Owe infografiki można znaleźć na portalu Facebook pod hasłem Ekonomikony czyli ekonomia w obrazkach. Dodam, że jest to profil, który obserwuje trzy tysiące osób. Można również wejść na stronę Magdaleny, na której są owe ekonomikony, jak też inne graficzne cuda, które tworzy nasza ekonomiczna bohaterka Magdalena. Ta strona nazywa się: http://www.ekonomikony.pl/

Podsumowanie: Ekonomikony czyli ekonomia w obrazkach, to przykład tego, że nauka może być naprawdę świetną zabawą, a do tego można odkrywać jej różne oblicza. I nie chodzi o to, że coś trzeba znowu obliczać, tylko przede wszystkim zgłębiać daną naukę i czerpać z niej zarówno radość jak i wiedzę. A jeśli jeszcze będziemy kształtowali umiejętności, to będzie to właśnie to co sprawia, że wielu ludzi w wieku pozaszkolnym odkrywa, że szkoda, że w szkole się tego nie uczyłem. Można powiedzieć, że jest czas na to, aby zarówno nadrobić nasze dorosłe zaległości, ale i przy okazji dawać dzieciom to czego sami nie otrzymaliśmy w ramach powszechnej nauki szkolnej.

A dla tych, którzy czytają tylko ostatnie części artykułu lub nie mają czasu na czytanie, proponuję zaledwie dwie infografiki, które powinny być umieszczone jako pierwsze, ale na zakończenie będą doskonałą ilustracją tego co chcę przemycić w tym wykładzie... za pomocą świetnych pomocy naszej ekonomicznej bohaterki.

 

Dziękuję Magdaleno za uczenie nas podstawowych zagadnień ekonomii. Niechaj twoja praca niesie się nieco szerzej i służy pomocą tym, którzy wierzą, że takie tematy powinny być oczywiste... dla każdego dziecka!

Figury podobne i skala – czyli o tym jak zabawa figurami radość i potencjał wyzwala

W ostatnim artykule omawiającym trójkąty podobne powiedzieliśmy co nieco na temat skali. Dodatkowo pokazaliśmy matematyczny sposób w jaki można sprawdzić czy trójkąty są podobne. Tym razem dodamy do tego sposób praktyczny, czyli ten za pomocą którego będziemy mogli realnie dotknąć skali podobieństwa oraz trójkątów podobnych. Tak, tak – uzasadnianie jest fajne, ale nie wszyscy wierzą na słowo. Dajmy im zatem możliwość samodzielnego sprawdzenia tego czy na pewno trójkąty podobne mają proporcjonalne wymiary i jak te figury na siebie nachodzą oraz czy rzeczywiście mają te same kąty. Zatem zaczynajmy naszą przygodę związaną z testowaniem...

Zastanówmy się na początku jak działa i na czym polega tak naprawdę kserowanie? Czyli mówiąc nieco inaczej: szybkie kserowanie na ekranie, a więc krótka bajka o tym w jaki sposób trójkąt podobny powstanie.

Jeśli dany obiekt (figurę płaską) powiększamy proporcjonalnie, wtedy otrzymujemy obiekt powiększony, ale o tym samym kształcie. To powiększenie zależy od tak zwanego współczynnika. Można powiedzieć, że ten współczynnik to taka magiczna (niewidoczna) soczewka, która może albo powiększać albo pomniejszać dany obiekt.

Taka magiczna soczewka (zwana skalą) powoduje, że obiekt:
a) powiększa się jeśli skala jest większa od 1,
b) pomniejsza się jeśli skala jest mniejsza od 1.

Warto podkreślić, że ta soczewka tworząc figurę podobną, zamienia każdy bok (wymiar) w zależności od liczby (wielokrotności), którą wskazuje skala. Przykładowo skala k=2 oznacza, że każdy bok figury powiększamy dwukrotnie, natomiast k=1/2 – pomniejszamy dwukrotnie.

A co wtedy jeśli skala jest zapisana jako 5:1? Nic trudnego! Otóż wówczas gdybyśmy podzielili te dwie liczby, wtedy otrzymujemy skalę k=5 (inna postać). Analogicznie będzie w przypadku skali 1:5, to znaczy w wyniku dzielenia powstanie skala k=1/5. Przy czym pierwsza skala (wartość) wskazuje powiększenie (większa od jednego), zaś druga – pomniejszenie (bo mniejsza od jednego).

Zobaczmy teraz w jaki sposób możemy wyznaczać figury podobne i odkrywać (obliczać) skalę danej figury. Z uwagi na prostotę i częstotliwość występowania weźmiemy na warsztat trójkąt prostokątny. Pamiętajmy jednak, że tak naprawdę to może być dowolna figura.

Na bazie moich przemyśleń jak też raczej nietypowych analiz (niedostępnych w mądrych księgach matematycznych), doszedłem do wniosku, że najłatwiej będzie wymienić je jedna po drugiej. Od razu dodam, że nie są to wszystkie przypadki, ale na pewno te które uznałem za najbardziej cenne na podstawowym etapie edukacji matematycznej. Tutaj zaczyna się zabawa i przy okazji następuje proces odkrywania i testowania, co oznacza, że proces nauki idzie w dobrym kierunku.

1) Proste równoległe lub prostopadłe do przyprostokątnych.

W pierwszym przypadku wystarczy, abyśmy narysowali dowolne proste, które są równoległe (lub prostopadłe) do krótszej lub dłuższej przyprostokątnej. Bez względu na to gdzie narysujemy taką prostą, odcinek ten stworzy trójkąt podobny do pierwotnego (największego).


2) Proste równoległe do przeciwprostokątnej.

Tym razem naszym zadaniem jest narysowanie dowolnych prostych, które są równoległe do przeciwprostokątnej. Bez względu na to gdzie narysujemy taką prostą, odcinek ten stworzy trójkąt podobny do pierwotnego (największego).


3) Proste prostopadłe do przeciwprostokątnej.

Następnie naszym zadaniem jest narysowanie dowolnych prostych, które są tym razem prostopadłe do przeciwprostokątnej. Bez względu na to gdzie narysujemy taką prostą, odcinek ten stworzy trójkąt podobny do pierwotnego (największego). Natomiast w przypadku, gdy taki odcinek będzie dodatkowo przechodził przez wierzchołek kąta prostego, wówczas powstaną („jednym cięciem”) dwa trójkąty podobne. Po cichu powiem, że to cięcie często jest wykorzystywane (jak kto woli sprawdzane) w zadaniach dotyczących podobieństwa figur.


4) Proste (i odcinki) związane z przedłużeniem boków figury.

Ostatni ze sposobów polega na rysowaniu przedłużenia boków figury pierwotnej w taki sposób, aby boki najbardziej oddalone od punktu wspólnego obu figur (trójkątów) były do siebie prostopadłe. To dość proste ćwiczenie i jednocześnie wizualnie wciągające.

I teraz najważniejsze. Konieczne jest to aby w procesie nauki tego zagadnienia następowało rysowanie i wycinanie takich podobnych figur. Obowiązkowo musi być także przyłożenie (nałożenie) ich do wspólnego kąta, aby przekonać się i zobaczyć, że pozostałe boki (jak też dodatkowo i kąty!) nakładają się na siebie. Ponadto warto zaznaczyć takimi samymi kolorami te boki (pary boków) które są odpowiednie, a następnie dokonać ich pomiaru. Tak! Koniecznie trzeba ręcznie sprawdzić czy będą tworzyć taką samą proporcję w każdym wypadku. Dopiero wówczas możemy mówić o skali, która jest proporcjonalnym wydłużeniem lub skróceniem każdego z boków według stałej wartości (liczby określającej skalę). Rzecz jasna, takie ćwiczenia można realizować w grupach, gdzie każde dziecko wspólnie odkrywa i testuje matematyczną rzeczywistość.

Podsumowanie: zagadnienie podobieństwa trójkątów warto łączyć ze skalą oraz proporcją. Dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć to czym jest owo podobieństwo i na czym polega. Można również pokazywać w jaki sposób drobne zmiany długości dowolnego boku lub kąta sprawia, że przynajmniej jedna proporcja zostanie zaburzona, a więc dany trójkąt (lub inna figura) nie będzie „skserowany” według skali. W wersji dla zaawansowanych można następnie przejść na wyższy poziom, czyli omówić to czym jest i jak się tworzy obraz, gdy mamy jego odbicie i różne przekształcenia. Pomimo tego, że tu już wkraczamy w obszary fizyki (optyka i te sprawy), to jednak dzięki tego typu zajęciom nauka może być wspaniałą twórczą zabawą i stawianiem pytań oraz formułowaniem wniosków… czyli jak dla mnie – najprawdziwszą nauką ze wszystkich możliwych!

Figury podobne są jak trójkąty ozdobne – kształt ten sam, ale inna skala… i to właśnie nas na kolana powala

W przypadku figur podobnych dochodzi wiele dodatkowych elementów, które pozornie niewiele zmieniają, ale w praktyce mogą nieźle namieszać w głowie. Wydaje mi się, że jeśli przyjrzymy się im nieco bliżej, to może się okazać, że są pewne sztuczki, które znacznie ułatwią nam zrozumienie tego zagadnienia. Zwłaszcza, że figury podobne wykorzystują cechy figur przystających. Zatem każdy kto przeczytał artykuł o tym „z jakim przystajesz takim się stajesz”, powinien mieć dużo łatwiejszą sytuacją związaną ze zrozumieniem tego tematu. Zobaczmy zatem co w trawie piszczy…

W poniższym opracowaniu będziemy poszukiwali odpowiedzi na takie oto pytania:

1) Co to jest podobieństwo i czym się różni od przystawania?
2) Po czym poznać czy dane figury są do siebie podobne? (ćwiczenia)
3) Czym jest skala i na czym polega powiększanie i pomniejszanie figur? (obiektów)
4) Jak to się dzieje w przypadku trójkątów: skąd wiadomo który trójkąt jest podobny (do innego) no i w jakiej skali?

Na początek zastanówmy się czym jest podobieństwo. Moim zdaniem jest to tak naprawdę po prostu przystawanie tylko w innej skali aniżeli podstawowa* (czyli innej niż 1:1, patrz przypis na samym końcu artykułu).

Zatem wszystkie cechy przystawania działają analogicznie również w przypadku figur podobnych. Jedyną różnicą będzie skala, która sprawia, że figury są proporcjonalnie większe lub mniejsze. Przy czym musimy pamiętać, że przy trójkątach (figurach) podobnych odpowiednie kąty będą takie same (miary kątów nie powiększamy i nie pomniejszamy!). 

Jak praktycznie sprawdzić czy dane trójkąty są podobne? Jest kilka możliwości, które warto poznać i następnie przynajmniej odrobinę przećwiczyć. Przy okazji warto uważnie przestudiować poniższe sposoby testowania trójkątów podobnych. Możemy posługiwać się następującymi sztuczkami.

1) Na podstawie cechy BBB – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

Przykładowo jeśli jeden trójkąt ma boki a1=3, b1=4, c1=5, natomiast drugi a2=6, b2=8, zaś c2=10, to wówczas sprawdzamy czy proporcje odpowiednich boków (czyli skala) są takie same.

Możemy być pewni, że oba trójkąty są podobne jeśli wszystkie wymiary obu z nich mają stałą proporcję, czyli skala jest identyczna dla każdego wymiaru (boku) – bez względu czy będzie to powiększenie (skala większa od 1, np. k=2), czy pomniejszenie (skala mniejsza od 1, np. k=1/2).

W jaki sposób sprawdzamy taką skalę? Otóż musimy porównać ze sobą wszystkie pary boków każdego z trójkątów (i ogólnie – wielokątów). Jednak porównujemy je w taki sposób, aby było to porównywanie proporcjonalne (tym właśnie jest skala). Co to znaczy? Oznacza to, że zawsze zapisujemy proporcję dla obu trójkątów: każdej pary boków najkrótszych (najmniejszych), dłuższych (większych) i najdłuższych (największych).

Można to zobaczyć za pomocą prostego porównywania w tabeli.

W tym przypadku widzimy, że proporcja dla każdej pary odpowiednich boków jest taka sama (zarówno do najkrótszych, średnich jak i najdłuższych boków). Oznacza to, że zastosowana została taka sama zasada związana z powiększaniem (lub pomniejszaniem) każdego boku przez daną liczbę zwaną skalą. W naszym przypadku skala k=1/2 oznacza, że pierwszy trójkąt w stosunku do drugiego został dwukrotnie pomniejszony (skala k=1/2, to inaczej skala 1:2)

Zauważmy jeszcze, że w przypadku figur podobnych nie ma znaczenia to jaka jest kolejność porównywania trójkątów. Gdybyśmy bowiem porównali boki trójkąta drugiego do pierwszego, wówczas tabela wyglądałaby tak.

Tak samo i w tym przypadku widzimy, że proporcja dla każdej pary odpowiednich boków jest taka sama (tak jak wcześniej także do najkrótszych, średnich jak i najdłuższych boków). Oznacza to, że zastosowana została taka sama zasada związana z powiększaniem (lub pomniejszaniem) każdego boku przez daną liczbę zwaną skalą. W naszym przypadku skala k=2 oznacza, że drugi trójkąt w stosunku do pierwszego został dwukrotnie powiększony (skala k=2, to inaczej skala 2:1).

Czasami może pojawić się pytanie skąd wiadomo na podstawie wymiarów, który trójkąt został powiększony, a który pomniejszony. Otóż wszystko zależy od punktu odniesienia (bazy), czyli tego który z nich jest traktowany jako trójkąt „oryginalny” (wyjściowy).

W powyższym przykładzie jeśli trójkąt drugi (większy) porównujemy do pierwszego (czyli bazy), to skala podobieństwa wynosi 2. Inaczej mówiąc, jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta (naszej bazy) dwukrotnie powiększymy, wówczas otrzymamy trójkąt drugi (większy).

Analogicznie: jeśli trójkąt pierwszy (mniejszy) porównujemy do drugiego (czyli bazy), to skala podobieństwa wynosi 1/2. Inaczej mówiąc, jeśli wszystkie boki drugiego trójkąta (naszej bazy) dwukrotnie pomniejszymy, wówczas otrzymamy trójkąt pierwszy (mniejszy).

Pamiętajmy jeszcze o tym, że trójkąty podobne muszą mieć taką samą proporcję dla każdej pary boków odpowiednich. Jeśli w dowolnej z nich nie będzie tej samej wartości (proporcji), wówczas te trójkąty nie zostały utworzone za pomocą skali (stałej liczby, która powiększa lub pomniejsza każdy bok). To natomiast oznacza, że w takim wypadku dane trójkąty nie są podobne.


2) Na podstawie cechy BKB – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

W takim przypadku mając dwa boki i kąt pomiędzy nimi możemy zbadać czy jeden trójkąt jest podobny do drugiego (w naszym wypadku ten duży do małego).

W jaki sposób możemy sprawdzić owe podobieństwo?

Zrobimy to zapisując proporcje odpowiednich boków i oczywiście sprawdzając czy będzie to stała wartość (skala). Warto zauważyć, że na podstawie tej cechy, nie musimy znać (długości) boku trzeciego – ani w pierwszym ani w drugim trójkącie.

Przykładowo, gdybyśmy wzięli pod lupę nasz trójkąt o bokach 3, 4 i kącie między tymi bokami równemu 40 stopni (α = 40°), to jeśli drugi badany trójkąt będzie miał ten sam kąt między bokami, zaś boki będą miały długość odpowiednio 6 i 8 (dwukrotnie dłuższe niż te w pierwszym trójkącie), to oba trójkąty będą podobne. I jak przed chwilą wspomniałem: naprawdę nie musimy badać trzeciego boku! Warto jednak dokładnie zmierzyć ten „zaginiony” (niedorysowany) bok w obu trójkątach i na własnej skórze przekonać się, że proporcja tej pary boków będzie taka sama! Zatem oznacza to, że dla wszystkich par odpowiadających boków proporcja jest stała (zachowana), a więc trójkąty są do siebie podobne. Prawda, że niezwykłe? Czy może to wydaje się niezwykle proste?

Zerknijmy na rysunek na którym możemy zobaczyć tę nietypową zależność.

3) Na podstawie cechy KBK – sprawdzamy badany trójkąt czy jest utworzony w danej skali.

Tym razem ta cecha mówi nam o tym, że jeśli dwa kąty będą miały odpowiednio takie same miary w badanym (drugim) trójkącie, wówczas bok między nimi będzie w odpowiedniej skali. I co niesamowite, tym razem nie musimy nic sprawdzać oprócz tych dwóch kątów! Skalę podobieństwa natomiast wyznaczamy za pomocą jednej proporcji: stosunku boków pomiędzy tymi kątami! Voila!

Zatem jeśli porównujemy trójkąt w którym bok między kątami ma długość 4, zaś odpowiedni bok w drugim trójkącie ma długość 8, wówczas skalą podobieństwa będzie proporcją tych dwóch boków (4 do 8).

Oczywiście analogicznie możemy badać drugi trójkąt w odniesieniu do pierwszego. Wtedy tabela będzie wyglądała niemal identycznie. Jedyną różnicą będzie odwrotna skala (odwrotność skali ½ to oczywiście 2). Przy tym za każdym razem gdy odwracamy porównywane trójkąty, wówczas automatycznie odwraca się skala. Inaczej mówiąc: jeśli drugi trójkąt jest dwukrotnie większy od pierwszego (skala 2:1, a więc k=2), to pierwszy jest dwukrotnie mniejszy od drugiego (skala 1:2, a więc k=1/2).

Widzimy wyraźnie, że trójkąt drugi w stosunku do pierwszego (bazy) jest dwa razy większy. Wskazuje na to skala k=2 (2:1), która oznacza, że każdy bok trójkąta pierwszego (bazy) został powiększony dwukrotnie.


Zastanówmy się jeszcze na koniec nad tym dlaczego zagadnienie podobieństwa bywa naprawdę dość wymagające jeśli pojawiają się testowe zadania. Otóż dzieje się tak, ponieważ do tematu podobieństwa, dochodzą jeszcze dodatkowe tematy, które sprawiają, że skala trudności może być mocno zwiększana. A co to mogą być za tematy? Tymi tematami są chociażby: kąty przyległe, wierzchołkowe, odpowiadające i naprzemianległe. Same w sobie nie są one szczególnie trudne, ale wymagają odrobiny pracy, aby sprawdzić w praktyce jak one powstają i gdzie się chowają. W przypadku natomiast jeszcze wyżej zawieszonej poprzeczki, dochodzą do tego również takie tematy jak właściwości figur (trójkątów i czworokątów) jak też twierdzenie Talesa oraz Pitagorasa.

Podsumowanie: jeśli zatem weźmiemy wszystkie powyższe zagadnienia i zaczniemy je ze sobą mieszać, wówczas w pozornie prostym temacie jakim jest podobieństwo figur (trójkątów)... „nagle” okaże się, że będzie konieczne posiadanie wiedzy jak i zrozumienia z kilku dodatkowych tematów. To właśnie stanowi o tym, że ten temat bywa często niezrozumiały lub wydaje się być czarną magią. Można to moim zdaniem porównać do tego, że naprawdę bardzo trudno byłoby jechać na rowerze... bez trzymania kierownicy, żonglując kilkoma piłeczkami, recytując wcześniej nauczony wiersz (lub na bieżąco powtarzając określone słowa lub liczby) oraz dodatkowo jadąc pod górkę. Chyba teraz jest już jasne, że aby tego dokonać konieczne byłoby płynne nauczenie się każdej z poszczególnych umiejętności, a dopiero potem łączenie ich wszystkich w całość. Właśnie dlatego w matematyce w pewnym momencie następuje pozorna „ślepota” u dzieci, które dość dobrze rozumieją dany temat na zajęciach, ale na teście zupełnie sobie nie radzą, bo pojawiają się zadania wymagające czegoś na kształt „jechania na rowerze”. Zagadka wyjaśniona?!

PS. Szczególnym wypadkiem podobieństwa w skali podstawowej (1:1) jest właśnie przystawanie.

Z jakim obiektem przystajesz takim się trójkątem stajesz

Jednym z zagadnień, które wydaje się proste, a w praktyce szkolnej niestety często bywa słabo zrozumiane… jest temat podobieństwa. Niemniej zanim go opanujemy, to wcześniej musimy najpierw wyjaśnić zagadnienie przystawania. Być może dobrym pomysłem będzie wskazanie pewnych elementów oraz prostych pomysłów na które warto zwrócić uwagę. Myślę, że mam małe co nieco do zaproponowania... w myśl przysłowia "z jakim trójkątem przystajesz taką wiedzę w głowie zastajesz".

Na początku warto sobie postawić pewne pytania, aby zagadnienie przystawania (a na bazie tego, w przyszłości także i podobieństwa!) można było łatwiej nie tyle wyjaśnić ile odkrywać.

1. Co oznacza powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz”?
2. Czym są i jakie własności mają figury przystające?
3. Gdzie i do czego używamy figur przystających?
4. Jak inaczej można nazwać figury przystające?
5. Co się stanie jeśli będziemy obracali figury przystające?
6. W jaki sposób obrót (lub przesunięcie) wpływa na kształt figur przystających? Czy i w jaki sposób zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt?
7. Wycinanie figur przystających ze złożonej kartki (na 2 lub 4 części).
8. Czym jest kserowanie oraz stemplowanie? Co ma wspólnego z figurami przystającymi?
9. W jaki sposób rozpoznać to, że figury są przystające?
10. Skąd się biorą oraz czym są cechy przystawania trójkątów?

Po tym jak już udało nam się wspólnie znaleźć odpowiedzi na powyższe pytania, jesteśmy gotowi do tego, aby przyjrzeć się temu co sprawia, że trójkąty mogą się na siebie nakładać, pokrywać czy też przystawać.

Zatem zaczynajmy nasze testy, aby dowiedzieć się jak można być pewnym, że dwa trójkąty są identyczne, nawet jeśli są obrócone bądź przesunięte.

Badamy boskie boki, czyli pierwsza cecha – BBB (bok-bok-bok)

Eksperyment 1: Bierzemy dwa patyczki i sklejamy je ze sobą końcami. Następnie:
a) budujemy trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny,
b) sprawdzamy jaka jest długość trzeciego (brakującego) boku w każdym z trójkątów,
c) zapisujemy w tabeli uzyskane wyniki pomiaru trzeciego boku,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.

WNIOSEK: Na podstawie ułożenia dwóch boków trójkąta nie jesteśmy w stanie stwierdzić czy te trójkąty są na pewno przystające. Musimy koniecznie poznać długość trzeciego boku.

Eksperyment 2: Bierzemy trzy patyczki różnej długości. Następnie:
a) sklejamy je wszystkie ze sobą,
b) układamy z nich trójkąty o dowolnych kątach,
c) porównujemy wszystkie z nich,
d) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.

 

WNIOSEK: Mając do dyspozycji trzy dowolne boki trójkąta (patyczki), można ułożyć tylko jeden trójkąt: bez względu na to od którego boku zaczynamy układanie (rysowanie). Wówczas możemy mieć pewność, że we wszystkich trójkątach wszystkie boki są tej samej długości (nawet jeśli trójkąt jest w innym położeniu).

Warto zwrócić uwagę na to, że różnica dotyczy jedynie położenia trójkątów, a nie ich kształtu. Oznacza to, że pozostałe trójkąty są identyczne (przystające), nawet jeśli są obrócone (odwrócone) względem siebie. Dlaczego? Ponieważ obracanie (obrót) identycznych trójkątów w tym wypadku nic nie zmienia.

Podsumowanie: cecha BBB (bok-bok-bok) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty o odpowiadających bokach równej długości są przystające. Inaczej mówiąc jeśli znamy trzy boki trójkąta, to jeśli w innym trójkącie są one takie same, to na pewno oba trójkąty są przystające (identyczne).

 

Dodatkowo z cechy BBB wynika (i łączy się z nią) cecha KKK! (na odwrót też to działa). Oznacza to, że odpowiednie kąty w obu trójkątach są sobie równe. Jednak to, że wszystkie kąty są równe w obu trójkątach nie znaczy automatycznie, że trójkąty są przystające. Są one wtedy przystające, gdy w obu z nich są wszystkie odpowiednie kąty tej samej miary i dwa dowolne boki (w każdym trójkącie) tej samej długości. To z kolei gwarantuje, że wówczas wszystkie odpowiadające boki w każdym z trójkątów są  sobie równe. Inaczej mówiąc cechy BBB i KKK są nierozłącznie ze sobą powiązane. Będzie to szczególnie ważne w temacie związanym z podobieństwem.

Badamy kąt między dwoma bokami - czyli na czym polega druga cecha BKB (bok-kąt-bok)

Eksperyment 3: Bierzemy trzy patyczki różnej długości. Następnie:
a) dwa z nich układamy (rysujemy), aby oba boki były pod kątem prostym i sklejamy je ze sobą (tak, aby kąt między nimi się nie zmieniał),
b) w drugim i trzecim trójkącie robimy to samy, tylko obracamy trójkąt o dowolny kąt,
c) w każdym trójkącie rysujemy (budujemy) trzeci bok,
d) porównujemy wszystkie z nich, mierząc dorysowane (ułożone) boki każdego z trójkątów,
e) jeśli rysowaliśmy te trójkąty, to teraz je wycinamy i nakładamy na siebie, sprawdzając czy się ze sobą pokrywają.

WNIOSEK: Mając dwa boki trójkąta i stały kąt między nimi (mniejszy od kąta półpełnego), możemy ułożyć (narysować) tylko jeden trójkąt - bez względu na to od którego boku zaczynamy układanie (rysowanie).

Warto podkreślić, że w tym przypadku nie musimy znać długości trzeciego boku trójkąta. Dlaczego? Otóż z uwagi na to, że trzeci bok będzie zawsze taki sam. Jak to się dzieje? Otóż wybrane dwa boki i kąt między nimi sprawią, że będzie tylko jedna możliwość, aby powstał trzeci bok (jako połączenie dwóch wierzchołków za pomocą odcinka).

Podsumowanie: cecha BKB (bok-kąt-bok) dotycząca trójkąta brzmi tak: trójkąty w których dwa odpowiadające boki są takie same (tej samej długości) oraz kąt między tymi bokami jest taki sam... są przystające.


Kolej na ostatnie sprawdzanie własności trójkąta, czyli odkrywanie cechy KBK (kąt-bok-kąt)

Eksperyment 4: Bierzemy jeden patyczek dowolnej długości (najlepiej nieco dłuższy). Następnie:
a) układamy (rysujemy) w dowolny sposób ten patyczek (bok), w każdym z trzech trójkątów,
b) zaznaczamy kolorem ten bok w każdym trójkącie,
c) na początku i końcu odcinka (który jest naszym bokiem trójkąta) rysujemy dwa dowolne kąty ostre (najlepiej różnej miary),
d) przedłużamy ramiona narysowanych kątów aż do momentu przecięcia (utworzą one brakujący wierzchołek trójkąta),
e) starannie wycinamy wszystkie trójkąty i teraz nakładamy na siebie, sprawdzając czy się pokrywają.

WNIOSEK: Mając dwa kąty trójkąta i bok tej samej długości między nimi, możemy narysować (ułożyć) tylko jeden trójkąt - bez względu na to od którego boku zaczynamy rysowanie (układanie).

Warto zaznaczyć, że w takiej sytuacji nie potrzebujemy znać długości dwóch pozostałych boków trójkąta. Dlaczego? Dzieje się tak, ponieważ te boki przetną się w jednym punkcie, których długość będzie zależna od (wartości) obu kątów.

Podsumowanie: cecha KBK (kąt-bok-kąt) dotycząca trójkąta brzmi: trójkąty mające jeden równy bok i dwa przyległe do niego kąty odpowiednio równej miary... są przystające.

W ten oto sposób odkryliśmy i poznaliśmy sposoby za pomocą których możemy sprawdzić czy trójkąty są przystające.

Na koniec spróbuję w skrócie dać krótkie odpowiedzi na pytania, które zostały postawione na początku artykułu. Są to tylko pewne wskazówki, więc warto je traktować wyłącznie jako stymulację procesu odkrywania jak i tworzenia.

1. Powiedzenie “z jakim przystajesz, takim się stajesz” oznacza, że jeśli spotykasz się z ludźmi z klasą, to dzięki temu sam się do nich upodobnisz. Tak jako jak z tym blogiem oraz artykułami na nim: im więcej myślisz nad nimi, tym bardziej oświeconym człowiekiem się stajesz. W sumie to proste jak słońce, ale na wszelki wypadek dodałem.

2. Figury przystające to takie, które są identyczne. Można powiedzieć, że są również nakładające czy też pokrywające się. Mają one takie własności jakie ma figura pierwotna. Nieco więcej będzie o tym w odpowiedzi na pytanie nr 6.

3. Figury przystające używamy w sytuacji w której chcemy mieć jednakowe obiekty w większej ilości. Przykładowo mogą one być wykorzystane jako płytki lub parkiet w domu czy też w przypadku pakowania (jak też przechowywania czy też produkowania) różnych produktów do pudełek.

4. Figury przystające można nazywać również jako nakładające czy też pokrywające się. Najprościej chyba używać nazwy “figury identyczne”, bo wtedy nikt nie będzie miał wątpliwości o co chodzi. Wśród matematyków (i na lekcjach matematyki) można jednak zabłysnąć stosując najbardziej popularną nazwę, czyli “figury przystające”.

5. Jeśli będziemy obracali figury przystające to zmieni się jedynie ich położenie. Inaczej mówiąc trzeba będzie odwrócić głowę, stolik lub oczy, aby zobaczyć je z tej samej strony.

6. Obrót (lub przesunięcie) nie wpływa na kształt figur przystających. Nadal są to te same figury. Nie zmieniają się ich boki, kąty, pole, obwód oraz kształt. Po prostu to ta sama figura tylko “skserowana”.

7. To świetny przykład na to, aby można było zrozumieć istotę figur przystających. Wystarczy do tego zwykła (nieco większa) kartka, którą składamy na 2, 4 lub 8 części. Dzięki temu jeśli dokładnie wytniemy główną figurę, wówczas te dodatkowe powinny być także identyczne. Warto wziąć pod uwagę to, że wycinanie figur przystających ze złożonej kartki na więcej niż 4 części może sprawić, że będzie je trudno rozciąć (a to z kolei wpłynie na to, że nie będą dokładnie do siebie przylegały).

8. Kserowanie oraz stemplowanie to właśnie sposób na to, aby mieć wiele kopii tej samej rzeczy (obiektu). W przypadku kserowania jednak mamy również możliwość ustawiania dodatkowych opcji (np. możemy sprawić, że pierwotny obiekt będzie powiększony lub obrócony). Można zatem powiedzieć, że stemplowanie to znakomita zabawa, która pokazuje istotę tego czym są figury przystające (zwłaszcza jeśli stempel będziemy obracać, aby pieczątki obiektu były w różnym położeniu).

9. Rozpoznawanie figur przystających może być realizowane na kilka sposobów. Z punktu widzenia matematycznego, to wystarczy zbadać takie obiekty (trójkąty) za pomocą cech przystawania (wystarczy dowolna cecha). Natomiast w praktyce najczęściej dzieci po prostu nakładają na siebie dwa obiekty i sprawdzają czy jeden nie wystaje spoza drugiego. Często do tego celu wykorzystywana jest szyba na której odbywa się taki test (tak, można również odrysowywać kształt danej figury na dodatkowej kartce).

10. Cechy przystawania trójkątów są sposobami na to, aby być absolutnie pewnym tego, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami, które są identyczne (przystające). Na tej podstawie można wyciągać dalsze wnioski. No i przy okazji te cechy zostały już dawno wymyślone na podstawie prostych obserwacji jak też analizy. Tak samo jak powyżej przeprowadziliśmy proste testy. Tyle, że ta wiedza jest już dostępna od dawien dawna.

Podsumowanie: przystawanie trójkątów może być świetną zabawą. Zwłaszcza wówczas jeśli jest to połączenie odkrywania, nauki i zabawy. Dzięki temu dzieci będą w stanie nie tylko zrozumieć sens tego czym się zajmują, ale także łatwiej będzie im opanować temat podobieństwa. To jest bowiem poszerzenie tematu przystawania, w którym dodajemy skalę – powiększamy lub pomniejszamy figury identyczne i sprawdzamy czy rzeczywiście są one z tego samego wzorca lub stempla. No i w sekrecie powiem, że również tym tematem będzie okazja w niedalekiej przyszłości się zmierzyć.