Wielokrotności i dzielniki - czyli jak to prosto ogarnąć, aby zrozumieć ich mroczne tajniki (4)

Koniec rozważań w poprzednim artykule opierał się na pytaniu: a co z liczbami nieparzystymi? Skąd wiadomo przez które z nich mamy dzielić i sprawdzać?

Zaznaczyłem wyraźnie, że wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5 lub 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! Dlaczego akurat nieparzystymi? Ponieważ przy parzystej wielokrotności liczb nieparzystych zawsze otrzymujemy liczbę parzystą, a my teraz zajmujemy się wyłącznie nieparzystymi.

No i to właśnie odkrycie sprawia, że niebawem wszystko stanie się jasne!

Jaki z tego wniosek? Otóż wystarczy odsiać (wykreślić) wszystkie wielokrotności liczb 2, 3, 5, 7: pozostałe liczby - czyli te, które nie zostały wykreślone (usunięte)... są liczbami pierwszymi. Zanim to zrobimy, to jeszcze garść ciekawych informacji.

Co zatem wiemy na temat liczb nieparzystych, które jednocześnie nie są pierwszymi? Oto najważniejsze spostrzeżenia:
- nie dzielą się przez 2, 4, 6, 8, 10 i każdą inną liczbę parzystą (dowolną wielokrotność dwójki),
- nie mają swojej całkowitej połowy, więc jej rozkładem jest (może być) najmniejszy iloczyn 3xA (jeśli liczba jest podzielna przez 3), zaś druga część rozkładu tego iloczynu jest zarazem przedostatnim maksymalnym dzielnikiem,
- mogą być podzielne przez 3, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością trójki (np. 3x3=9, 5x3=15, 7x3=21, 9x3=27 itd.), więc oba czynniki iloczynu są (muszą być) nieparzyste,
- jeśli są podzielne przez 5, to dana liczba musi mieć na końcu wyłącznie piątkę (nie może mieć zera, bo byłaby parzysta),
- mogą być podzielne przez 7, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością siódemki (np. 3x7=21, 5x7=35, 7x7=49, 9x7=63 itd.) i tutaj również oba czynniki są (muszą być) nieparzyste,
- mogą być podzielne przez 9, tylko wtedy gdy są nieparzystą wielokrotnością dziewiątki (np. 3x9=27, 5x9=45, 7x9=63, 9x9=81, 11x9=99) i tutaj znowu oba czynniki są (muszą być) nieparzyste.
- każda z liczb podzielnych przez 3 (nieparzysta wielokrotność trójki) jednocześnie wykreśli (odnajdzie) te, które są podzielne przez 9. Dlatego właśnie nie ma konieczności usuwania liczb podzielnych przez 9, gdy poprawnie wykreśliliśmy wszystkie podzielne przez 3 (ponieważ już nie ma żadnej wielokrotności dziewiątki do wykreślenia).

Z powyższych wniosków możemy zobaczyć i następnie zrozumieć ciekawe zależności. Myślę, że w formie w tabeli to wszystko wygląda nieco lepiej niż słowne wyjaśnienia. Dzięki temu będzie łatwiej zobaczyć o czym mowa i zrozumieć opisywane zależności. Za chwilę zobaczymy bardzo nietypowe tabele wraz z ich wyjaśnieniem.

DZIELNIKI LICZB NIEPARZYSTYCH

Weźmy teraz na warsztat wszystkie dwucyfrowe liczby nieparzyste (nie będące pierwszymi) i zobaczmy jak niewiele mają one dzielników (i przy okazji rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych). Inaczej mówiąc, wykażemy że mogą one powstać z wielokrotności tylko kilku różnych niewielkich liczb. Albo nieco bardziej matematycznie - mają nie tylko mało dzielników, ale także niewiele możliwości rozkładu jako iloczyn dwóch liczb całkowitych.

Zanim jednak wypiszemy te liczby, zerknijmy na wykaz początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97. Jest ich w pierwszej setce dokładnie 25. Przy okazji warto wspomnieć, że jedyną parzystą liczbą pierwszą jest dwójka. Wszystkie inne są oczywiście nieparzyste (rzecz jasna bez jedynki).

Nasuwa się natychmiast pytanie: ile jest wszystkich dwucyfrowych liczby nieparzystych (nie będących pierwszymi) w naszym podstawowym zbiorze liczb z sita Eratostenesa (od 2 do 100)? Otóż wbrew pozorom nie ma ich tak wiele oraz wcale nie tworzą długiego szeregu - jest ich tylko 24. Oto one ustawione w kolejności rosnącej (wybrane z powyższego szeregu): 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95 i 99. Zapamiętajmy ten szereg liczb, bo pod koniec jeszcze do nich wrócimy.

Teraz chcemy zająć się na chwilę liczbami z powyższego łańcuszka, które są podzielne przez 3. Jak je znajdziemy? Otóż wykorzystując cechę podzielności, która mówi o tym, że liczba podzielna przez 3 musi mieć sumę cyfr, która daje liczbę podzielną przez 3. I przypominam, że takie sumowanie można robić tak długo, aż otrzymamy liczbę jednocyfrową. Zatem usunęliśmy wszystkie liczby, które nie dzielą się przez 3 (z wyjściowego szeregu wykreślamy te, które nie mają sumy końcowej wynoszącej 3, 6 lub 9). W takim układzie, te które nam zostaną to takie oto liczby (nieparzyste i podzielne przez 3): 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93 i 99 - razem 15 liczb.

Pozornie zadanie wydaje się (sprawdzenie ile mają dzielników powyższe liczby) wyjątkowo trudne, żmudne i czasochłonne, prawda? A tymczasem...

Teraz rozkładamy te liczby jako iloczyn trójki i sprawdzamy dalsze ich dzielniki. Zerknijmy do tabeli i popatrzmy jak to będzie wyglądać:

TABELA 1. Nieparzysta wielokrotność trójki (iloczyn z liczbą nieparzystą lub pierwszą).

Liczby nieparzyste które są wielokrotnością trójki (bez pierwszych), powstają poprzez iloczyn trójki i liczby nieparzystej (lewa kolumna) bądź liczby pierwszej (prawa kolumna).
Wiemy, że liczby pierwsze nie mają żadnych dzielników oprócz samej siebie i jedynki, więc wszystkimi dzielnikami liczb w prawej kolumnie są te zaznaczone na czerwono (liczby pierwsze, a więc dwa dzielniki) oraz stojąca przed nimi trójka (trzeci dzielnik).

Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 39, 51, 87 i 93 (z prawej kolumny) będą wyglądały następująco:

TABELA 2. Dzielniki wybranych liczb (iloczyn trójki i liczby pierwszej).

Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy iloczyn dwóch liczb pierwszych, wówczas mamy możliwość ich zapisu jako iloczyn tylko na dwa sposoby. Pierwszym z nich rozkład podstawowy - jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x39 i 1x51), zaś drugi to wielokrotność liczby pierwszej (różnej od jedynki) oraz drugiej (pozostałej) liczby pierwszej (3x13 i 3x17).

Natomiast dzielnikami są wszystkie liczby biorące udział w obu rozkładach. I tak dla liczby 39 będą to: 1, 3, 13, 39; dla 51 - 1, 3, 17, 51; dla 87 - 1, 3, 29, 87, zaś dla 93 - 1, 3, 31, 93. W tym przypadku dla każdej z liczb mamy tylko cztery dzielniki, ponieważ jest tylko jeden dodatkowy rozkład poza podstawowym (zaznaczony na szaro).

Teraz zajmiemy się drugą (lewą) kolumną dla iloczynu (wielokrotności) trójki i liczby nieparzystej (nie będącą liczbą pierwszą). Widzimy, że tym razem będziemy mieli znacznie więcej dzielników jak też możliwości rozkładu na iloczyn różnych kombinacji dla dwóch liczb.

Przykładowe rozkłady na różne iloczyny liczb 45, 75, 81 i 99 (z lewej kolumny) będą wyglądały następująco:

TABELA 3. Dzielniki wybranych liczb (iloczyn trójki i liczby nieparzystej).

Widać zatem wyraźnie, że w przypadku, gdy mamy liczbę nieparzystą, wówczas mamy możliwość jej zapisu jako iloczyn dwóch liczb nieparzystych (żadna z nich nie jest liczbą pierwszą) przynajmniej na kilka sposobów (zawsze na co najmniej dwa, gdy badana liczba nie jest pierwsza jak widzieliśmy poprzednio). Liczba sposobów uzależniona jest od tego na ile (czynników pierwszych) możemy rozbić drugą część rozkładu (liczby). W naszym badanym przypadku pierwszą częścią rozkładu jest trójka.

TABELA 4.  Dzielniki wybranych liczb w kontekście grupowania iloczynu dwóch liczb!

Jak już doskonale wiemy z poprzedniego ćwiczenia, pierwszym z rozkładów jest ten podstawowy - zawsze jako iloczyn jedynki i liczby wyjściowej (1x45 i 1x75). Z kolei drugi to wielokrotność kolejnej liczby pierwszej (pamiętajmy, że liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2) oraz drugiej części rozkładu danego iloczynu (3x15 i 3x25, 5x9 i 5x15), która zawsze jest liczbą nieparzystą.

A co w takim razie z naszymi dzielnikami? Otóż dzielnikami są wszystkie kombinacje (różne iloczyny) czynników pierwszych, biorących udział w danym rozkładzie liczby wyjściowej.

RYSUNEK 1.  Dzielniki wybranych liczb w kontekście grupowania iloczynu dwóch liczb!

Jaki z tego wniosek? Otóż jeśli mamy liczbę podzielną przez 3, to po rozłożeniu jej na czynniki pierwsze, możemy wypisać jej dzielniki w kolejności rosnącej. Następnie dobieramy je w pary (jako iloczyn): pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej... aż wyczerpiemy wszystkie pary bądź też trafimy na środkowy czynnik (gdy liczba dzielników jest nieparzysta). Co wtedy? Otóż w takiej sytuacji mnożymy go przez siebie i mamy już wszystkie iloczyny (jako pary) podanej liczby.

No dobrze, niby wszystko już jasne, ale co z dzielnikami? Jak je wyznaczamy mając rozłożoną liczbę na czynniki pierwsze? Otóż dzielniki tworzymy ze wszystkich kombinacji rozkładu na czynniki pierwsze. Zatem im więcej czynników pierwszych, tym więcej możliwości zapisu danej liczby jako iloczynu dwóch liczb! Dodam w sekrecie, że w przypadku liczb potęgowych (nieparzystych!) sprawa jest jeszcze prostsza! Ba! Jest tak prosta, że aż boli! Mianowicie w rozkładzie na czynniki pierwsze będzie możliwa jedynie kombinacja tych samych czynników. I wtedy można w ciągu kilku (kilkunastu) sekund wypisać wszystkie jej dzielniki! Przykładem niechaj będzie liczba 81. Składa się ona z iloczynu czterech trójek (3 do potęgi 4). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (3^0), dalej 3 (3^1), kolejno 9 (3^2) i ostatnia to 27 (3^3).

Gdybyśmy mieli liczbę składającą się z nieparzystej liczby czynników pierwszych, to również stosujemy ten sam schemat. Weźmy jeszcze liczbę 3125. Składa się ona z iloczynu pięciu piątek (5 do potęgi 5). Zatem jej dzielnikami będą jedynka (5^0), dalej 5 (5^1), kolejno 25 (5^2), dalej 125 (5^3), następnie 625 (5^4) i ostatnia to 3125 (5^5). Z kolei ich rozkładami na iloczyny dwóch liczb będą odpowiednio: a) dla liczby 81: 1*81, 3*27, 9*9 oraz b) dla liczby 3125: 1*3125, 5*625, 25*125. Jak zatem widzimy, są pewne liczby przy których zarówno proces rozkładania na czynniki pierwsze, znajdowanie wszystkich dzielników oraz zapisywanie ich jako różne iloczyny dwóch liczb... może być wyjątkowo proste!

W ten oto sposób tajemnica wszystkich rozkładów na czynniki pierwsze, dzielników oraz różnych kombinacji iloczynów dwóch liczb dla liczb nieparzystych... została właśnie rozwikłana! Prawda, że teraz jest to jeszcze bardziej jasne?

TABELA 5, 6, 7.  Materiały do samodzielnego wykorzystania (analizy) lub inspracji - nieparzysta wielokrotność piątki, siódemki i dziewiątki (iloczyn z liczbą nieparzystą lub pierwszą).

Analogiczne rozważania można wykonać dla liczby 5, 7 i 9 (tak, tych które wykorzystywaliśmy w sicie Eratostenesa jako wykreślane kolejnych ich wielokrotności), żeby naprawdę solidnie zrozumieć w jaki sposób dokonuje się rozkład na czynniki pierwsze, znajdowanie dzielników, a następnie łączenie w pary (grupowanie) dwóch liczb jako różnych iloczynów tej samej liczby.

ODWRÓCONE SITO ERATOSTENESA?

Przypomnijmy sobie liczby z szeregu o którym była mowa na początku - wszystkie dwucyfrowe nieparzyste (nie będących pierwszymi) ustawione w kolejności rosnącej (wybrane z powyższego szeregu): 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95 i 99.

KROK 1: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 3.

Teraz z tej grupy, usuwamy wszystkie liczby podzielne przez 3 (ich suma to 3, 6 lub 9), więc otrzymujemy liczby nieparzyste, ale niepodzielne przez 3. Są nimi tylko takie liczby: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95. Zostało ich niewiele, ale chyba szybko odkryjemy dlaczego. Nie są one parzyste, więc odpadła nam połowa (druga połowa to parzyste). Spośród 49 liczb nieparzystych (pierwszą z nich była 3), wyrzuciliśmy liczby pierwsze (25), więc w ten sposób otrzymaliśmy wszystkie dwucyfrowe liczby nieparzyste, których jest 24. A z tej grupy znowu wykreśliliśmy te podzielne przez 3 (było ich 15), zatem zostało ich zaledwie 9.

KROK 2: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 5.

Co by się stało gdybyśmy teraz chcieli je przesiać pod kątem podzielnych przez 5? Otóż byłby to błyskawiczny proces. Dlaczego? Z uwagi na to, że liczby nieparzyste podzielne przez 5, muszą mieć na końcu właśnie taką cyfrę! Czyli odpadną nam te oto liczby: 25, 35, 55, 65, 85 i 95. Co nam jeszcze zostanie? Jakie liczby i o jakich własnościach (cechach) związanych z wielokrotnością i podzielnością? Otóż będą to zaledwie trzy liczby: 49, 77 i 91.

KROK 3: Przesiewamy wszystkie liczby przez filtr podzielności przez 7.

Pytanie czy jest ktoś kto już domyśla się, że nasze trzy sierotki (49, 77 i 91) są one podzielne przez 7? Tak! Każda z nich jest wielokrotnością siódemki (odpowiednio 7, 11 i 13-krotną), więc oznacza to, że siódemka jest dla nich dzielnikiem. I w ten oto sposób nie pozostała nam żadna z liczb (ze zbioru 2-100), która nie byłaby podzielna przez 2, 3, 5 lub 7. Oczywiście braliśmy pod uwagę liczby dwucyfrowe, ale doskonale wiadomo, że jednocyfrowe nieparzyste (3, 5, 7, 9) są również podzielne właśnie przez 3, 5 lub 7. Zatem nie musimy ich badać.

Pozostaje nam teraz radość i satysfakcja z tego, że sprawdziliśmy, że po operacji usunięcia liczb parzystych, a następnie wykreślenia tych podzielnych przez 3, 5 oraz 7... otrzymamy właśnie te liczby pierwsze, które zostają na sicie Eratostenesa! Można nawet powiedzieć, że jest to trochę zakręcona i odwrócona forma sprawdzania liczb z naszego znajomego sita.

====== SCHEMAT ODWRÓCONEGO SITA ERATOSTENESA ======

Wielokrotności i dzielniki - czyli jak to prosto ogarnąć, aby zrozumieć ich mroczne tajniki (3)

W poprzednim odcinku omówiliśmy sobie sytuacje w których mamy do czynienia z iloczynem lub ilorazem dwóch liczb całkowitych. W tym odcinku będziemy mogli tę wiedzę wykorzystać do tego, aby zrozumieć kolejne poziomy na których osadzone jest zagadnienia wielokrotności i dzielników. Zawczasu uprzedzam, że dzisiejszy wykład może okazać się nieco trudniejszy, więc jeśli ktoś nie zrozumie o co chodzi za pierwszym razem, to zachęcam aby przeczytać artykuł po raz kolejny. Stopniowo wszystko powinno się zacząć rozjaśniać.

Kontynuujemy temat związku wielokrotności z dzielnikami.

Każda podstawowa liczba tworząca wielokrotność jest jednocześnie dla niej dzielnikiem. Przykładowo liczba 16 jest wielokrotnością dla 2, 4, 8 i 16. Zatem wszystkie z tych liczb są dzielnikami liczby 16. Analogicznie dla liczby 20 - jest wielokrotnością dla 2, 4, 5, 10 i 20, zatem także te liczby są jej dzielnikami. Przy okazji mała uwaga: nie biorę pod uwagę jedynki jako, że jest ona zawsze dzielnikiem dla każdej z liczb, a jednocześnie niewiele nam pomaga w dalszych poczynaniach.

No i tak jak poprzednio wspominałem - każdy dzielnik danej liczby przy pomnożeniu przez liczbę całkowitą musi dać liczbę wyjściową. Przykładowo jeśli liczba 8 jest dzielnikiem dla 24, wówczas wielokrotność liczby 8 (iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać liczbę 24 (wyjściową). W przeciwnym wypadku ósemka nie byłaby (nie jest) dzielnikiem dla 24. To tak gwoli przypomnienia, aby kolejne rozważania lepiej się układały w głowie.

SITO ERATOSTENESA

Zastanówmy się dlaczego sito Eratostenesa jest świetną pomocą do wyznaczania liczb pierwszych (w zakresie do 100).

Otóż zaraz się przekonamy jak niezwykła idea kryje się za tą matematyczną zabawą (algorytmem). Najpierw jednak krótki zarys tego w jaki sposób wykorzystujemy sito do tego, aby odsiać liczby złożone, tak aby pozostały jedynie liczby pierwsze.

KROK 1: Rysujemy lub też drukujemy (można też wyciąć) kwadratową tabelę 10x10.

KROK 2: Wypisujemy w tabeli liczby od 1 do 100. Można to zrobić w liniach poziomych (wiersze) lub pionowych (kolumny). Zwykle spotyka się tę tabelę z wpisanymi liczbami w wierszach, ale nie ma przeszkód, aby zrobić je w kolumnach.

KROK 3: Zamalowujemy (wykreślamy albo nawet wycinamy) całkowicie kwadrat z liczbą 1, jako że nie jest ona ani liczbą pierwszą ani złożoną.

KROK 4: Bierzemy w kółko liczbę 2, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i tak aż do ostatniej liczby 100.

KROK 5: Bierzemy w kółko liczbę 3, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 i tak aż do ostatniej liczby 99. Zauważmy, że parzyste wielokrotności trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 27=9x3). Sprawne oko zauważy, że wykreślamy "co szóstą" liczbę, poczynając od 9.

KROK 6: Bierzemy w kółko liczbę 5, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 i tak aż do ostatniej liczby 100.

Zauważmy, że parzyste wielokrotności piątki (10=2x5, 20=4x5, 30=6x5, 40=8x5) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności piątki (15=3x5, 25=5x5, 35=7x5, 45=9x5). Wiele dzieci szybko odkryje, że wykreślamy "co dziesiątą" liczbę, poczynając od 15.

KROK 7: Bierzemy w kółko liczbę 7, a następnie wykreślamy każdą kolejną jej wielokrotność. Inaczej mówiąc wykreślamy z tabeli kwadraty z wpisanymi liczbami: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 i tak aż do ostatniej liczby 98.

Zauważmy, że parzyste wielokrotności siódemki (14=2x7, 28=4x7, 42=6x7, 56=8x7) zostały już wykreślone (usunięte) za pomocą kroku czwartego w którym wykreślaliśmy wielokrotności dwójki. Wychodzi na to, że aby nie wykreślać po raz kolejny wykreślonych liczb, można zająć się jedynie tymi, którymi są nieparzyste wielokrotności siódemki (21=3x7, 35=5x7, 49=7x7, 63=9x7). I także tutaj wystarczy nieco sprytu, aby zrozumieć, że wykreślamy "co czternastą" liczbę, poczynając od 21.

W ten oto sposób pozostałe (niewykreślone) liczby to właśnie nasze poszukiwane liczby pierwsze. I co istotne - mają one tylko dwa dzielniki - samą siebie oraz jedynkę. Możemy w pewnym uproszczeniu powiedzieć, że są już niepodzielne.

Warto w tym miejscu zastanowić się nad kilkoma kluczowymi kwestiami. Jedną z najbardziej tajemniczych spraw jest to, że niewiele dzieci posiada wiedzę na temat tego dlaczego nie wykreślaliśmy (wielokrotności) liczb: 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, i tak dalej. Co sprawia, że wystarczyło na tylko wykreślanie wielokrotności 2, 3, 5 i 7? Oto wyjaśnienie tej skrywanej przez lata tajemnicy.

1) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24 itd.).

2) Każda parzysta (!) wielokrotność trójki (6=2x3, 12=4x3, 18=6x3, 24=8x3, 30=10x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 6 (6, 12, 18, 24, 30 itd.). Pamiętajmy, że nieparzyste wielokrotności trójki (9=3x3, 15=5x3, 21=7x3, 28=9x3 itd.) nie są wielokrotnościami szóstki, więc to jest powód dla którego liczba 6 musi być jednocześnie podzielna przez 2 i 3.

3) Każda wielokrotność dwójki (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 8 (8, 16, 24, 32 itd.).

4) Każda nieparzysta (!) wielokrotność trójki (9=3x3, 27=9x3, 45=15x3, 63=21x3, 81=27x3, 99=33x3) jednocześnie pomogła nam znaleźć (wykreślić) wielokrotność liczby 9 (9, 27, 45, 63, 81, 99). Pamiętajmy, że parzyste wielokrotności dziewiątki (18=2x9, 36=4x9, 54=6x9, 72=8x9, 90=10x9) zostały znalezione (wykreślone) przez wielokrotności liczby 2. Przy okazji z powyższego powinno być oczywiste, że każda liczba podzielna przez 9 musi być jednocześnie podzielna przez 3.

5) Każda parzysta wielokrotność piątki (a tak naprawdę to dwójki!) sprawiła, że liczby będące wielokrotnością dziesiątki (10, 20, 30, 40 itd.) zostały już wcześniej znalezione (wykreślone), bo parzyste wielokrotności piątki są zarazem dzielnikami dla wszystkich wielokrotności liczby 10.

Z powyższego widzimy, że (pierwsze) prawidłowe wykreślanie wielokrotności dwójki sprawiło, że nie musimy wykreślać kolejnych parzystych wielokrotności tej dwójki. Nie wykreślamy zatem liczb podzielnych przez 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ponieważ każda z nich jest już wielokrotnością dwójki (czyli została już wykreślona). W ten oto sposób odpadł nam problem sprawdzania podzielności przez wszelkie liczby parzyste.

Pojawia się od razu naturalne pytanie - a co z liczbami nieparzystymi? Skąd wiadomo przez które z nich mamy dzielić i sprawdzać?

Wśród nieparzystych liczb mamy liczby pierwsze i złożone. I o ile te liczby pierwsze zostały nam na samym końcu, to znaczy że nie miały żadnych ("normalnych") dzielników poza dwoma, które wynikają z definicji (dzielą się przez siebie samą i przez jeden). Natomiast ("normalne") liczby nieparzyste (czyli te, które nie są pierwszymi) musiały być podzielne przez 3, 5, 7... lub też być nieparzystymi wielokrotnościami liczb pierwszych! To ci dopiero odkrycie, prawda?!


W następnym odcinku będziemy kontynuowali nasze rozważania, bo czuję, iż w tym momencie artykuł jest na tyle obszerny, że resztę przemyśleń, odkryć i wniosków dobrze będzie opisać w kolejnej odsłonie.

SITO ERATOSTENESA - przykładowe prezentacje wykonane przez kreatywnych autorów

Podsumowanie: sito Eratostenesa stanowi doskonałą formę przedstawienia procesu dzięki któremu następuje wyłowienie liczb pierwszych. Dobrze jest przemyśleć to w jaki sposób podawać dzieciom możliwość odkrywania i tworzenia wniosków oraz zależności, które na pierwszy rzut oka mogą być niewidoczne. Dobrym pomysłem wydaje się również wykorzystywanie pojęcia wielokrotności, parzystości i nieparzystości wraz z liczbami pierwszymi i złożonymi. Dzięki temu zrozumienie tego czym są i w jaki sposób powstają zarówno dzielniki oraz wielokrotności... powinno przejść na kolejny szczebel matematycznego wtajemniczenia.

Linki do stron z których pobrałem obrazki (różne formy graficzne sita Eratostenesa)
1) https://tex.stackexchange.com/questions/76285/automation-static-array-for-the-sieve-of-eratosthenes
2) https://tex.stackexchange.com/questions/44673/sieve-of-eratosthenes-in-tikz

Wielokrotności i dzielniki - czyli jak to prosto ogarnąć, aby zrozumieć ich mroczne tajniki (2)

W poprzednim artykule napisałem, że jeśli ktoś odczuwa niedosyt oraz potrzebuje pewnej dawki inspiracji i ćwiczeń, aby być rozgrzanym na kolejny wykład, to proponuję nieco głębiej zastanowić się nad kilkoma problemami. Dzisiaj postaram się rzucić nieco światła na kilka z nich, tak aby stopniowo przechodzić do sedna zagadnienia i dać możliwość szerokiego spojrzenia na temat wielokrotności i dzielników. Temat bowiem wydaje się dość ciekawy, ale dopiero w kontekście powiązania go z innymi elementami. Natomiast o tych elementach będę opowiadał w tym i kolejnych wykładach.

Proszę zatem zaopatrzyć się w kubek ciepłej kawy lub herbaty i rozpocząć uważną oraz wnikliwą lekturę. Nie muszę chyba dodawać, że dzięki temu można samodzielnie opracować fajne i wartościowe ćwiczenia, prawda? Od razu uprzedzam, że w tej odsłonie będę mówił o rzeczach oczywistych i doskonale znanych. Niemniej podejrzewam, że dzięki takiemu "uświadomieniu doskonale znanego" można będzie zobaczyć temat świeżym okiem. A to z kolei może pociągnąć za sobą wczucie się w perspektywę dziecka, które nie do końca odnajduje się w świecie matematycznych zagadek. Zatem zapraszam do oczywistej lektury...

Dzisiejszy wykład będzie omawiany w dwóch częściach. Pierwsza z nich będzie dotyczyła analizy liczb poprzez pryzmat trzech podstawowych działań matematycznych, zaś druga czwartego jakim jest dzielenie. Warto zastanowić się jaki jest związek dodawania z mnożeniem oraz odejmowania z dzieleniem. Dzięki temu można będzie jeszcze głębiej zrozumieć istotę i cel omawianego tematu jak też nieco szerszej analizy.

Zastanówmy się co się stanie w przypadku, gdy poddamy dwie liczby naturalne czterem podstawowym działaniom (operacjom) matematycznym. Naszym pryzmatem i zarazem lupą będzie analiza z uwagi na podział na liczby parzyste jak i nieparzyste.

MNOŻENIE, DODAWANIE i ODEJMOWANIE DWÓCH LICZB NATURALNYCH

Tabela 1. Działania na dwóch liczbach - parzysta i nieparzysta.

Tabela 2. Działania na dwóch liczbach - nieparzysta i parzysta.

Tabela 3. Działania na dwóch liczbach - obie parzyste.

Tabela 4. Działania na dwóch liczbach - obie nieparzyste.

Tabela pierwsza i druga pokazują wyraźnie, że w przypadku pomnożenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynik będzie parzysty (kolejność nie ma znaczenia). Jeśli chodzi o dodawanie i odejmowanie, to okazuje się, że przy kombinacji liczb parzystej i nieparzystej, wynik będzie nieparzysty. I to bez względu na to w jakiej kolejności je dodajemy bądź odejmujemy. Przy odejmowaniu warto wspomnieć, że jeśli pierwsza z liczb będzie mniejsza od drugiej, wówczas wynik nadal będzie nieparzysty, tyle że ze znakiem ujemnym.

Trzecia tabela pokazuje kombinacje działań dla dwóch liczb parzystych. Co z niej wynika? Widać wyraźnie, że każde z trzech działań poza dzieleniem (omówię je poniżej osobno) zawsze daje wartość parzystą. Przy okazji pamiętajmy, że liczby ujemne także dzielimy na parzyste i nieparzyste.

Ostatnia tabela przedstawia sytuację gdzie manipulujemy dwiema liczbami nieparzystymi. I szybko można zauważyć, że w przypadku mnożenia, wynik będzie nieparzysty, zaś przy dodawaniu i odejmowaniu - zawsze parzysty.

DZIELENIE DWÓCH LICZB NATURALNYCH

Teraz pora na omówienie dzielenia w każdej z powyższych tabel. W przypadku tego działania mamy pewne ograniczenia (np. nie wolno dzielić przez zero). Przy okazji muszę dodać, że w wielu przypadkach nie można jednoznacznie określić typu wyniku końcowego (parzysta lub nieparzysta) dla tego działania. Dlatego omówimy sobie je nieco bardziej szczegółowo. Zaznaczam, że do analizy wziąłem tylko dwie liczby całkowite dodatnie (naturalne), przy uwzględnieniu warunku, że pierwsza (dzielna) jest większa od drugiej (dzielnik) i obie są różne od zera. Chodzi bowiem o to, aby ta prezentacja wraz z krótkim omówieniem była maksymalnie zrozumiała i mogła stanowić punkt wyjścia dla dalszych poszukiwań oraz formułowania wniosków.

Rozpatrzymy cztery przypadki dzielenia, czyli wszystkie możliwe kombinacje dla dwóch liczb.

1) LICZBA PARZYSTA przez NIEPARZYSTĄ

W przypadku dzielenia liczby parzystej przez nieparzystą, wynikiem może być albo "czysta" liczba parzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 1).

Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (6) - są dzielnikami liczby wyjściowej (18), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (16). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (16) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.

2) LICZBA NIEPARZYSTA przez PARZYSTĄ

Z kolei w przypadku dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, okazuje się, że jedyne co jest pewne to fakt, że nie otrzymamy liczby całkowitej (tabela 2). Wiemy jeszcze to, że reszta będzie na pewno nieparzysta. Wynika to z tego, że przy mnożeniu przez liczbę parzystą otrzymujemy wynik w postaci parzystej. A u nas wyjściowa liczba jest nieparzysta (15), więc (brakująca) reszta również musi mieć taką postać. Inaczej mówiąc wielokrotność (7) liczby parzystej (2) daje nam liczbę parzystą (14), więc reszta nie może być parzysta. Dobrze jest samodzielnie wymyślić kilka przykładów i sprawdzić tę regułę.

3) LICZBA PARZYSTA przez PARZYSTĄ

Dochodzimy do sytuacji w której dzielimy dwie liczby parzyste. I w tej sytuacji możemy z pewnością stwierdzić, że na pewno wynikiem będzie liczba całkowita (tabela 3). Nie wiemy jednak czy będzie ona parzysta czy nieparzysta. Gdybyśmy zerknęli na wyniki ilorazu (3 i 10) i pomnożyli przez liczby, które były naszymi dzielnikami (odpowiednio 6 i 2), to okaże się, że teraz wynik będzie parzysty (wcześniej nasza wyjściowa liczba - odpowiednio 18 i 20). Dlatego nie możemy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie o rodzaj wyniku (parzysty czy nieparzysty), gdy wiemy tylko, że obie liczby, które dzielimy są parzyste.

4) LICZBA NIEPARZYSTA przez NIEPARZYSTĄ

Ostatnia tabela pokazuje nam co się dzieje, gdy obie liczby, które dzielimy są nieparzyste. W przypadku dzielenia obu liczb nieparzystych, wynikiem może być albo "czysta" liczba nieparzysta albo nieokreślona liczba całkowita (to znaczy zarówno parzysta jak i nieparzysta) z dowolną resztą (tabela 4).

Wynik ilorazu (tego bez reszty) mówi nam o tym, że obie liczby - zarówno dzielnik (3) jak i wynik dzielenia (5) - są dzielnikami liczby wyjściowej (15), która dla obu z nich jest także wspólną wielokrotnością. Z kolei, gdy otrzymujemy wynik z resztą, wtedy mamy gwarancję, że liczba przez którą dzielimy (5) nie jest jednym z dzielników wyjściowej liczby (21). Dodatkowo wiemy również, że nasza liczba wyjściowa (21) nie jest wielokrotnością dzielnika (5). Niby oczywiste, ale moim zdaniem warto o tym chwilę pomyśleć.

I teraz wnioski końcowe dotyczące dzielenia (zakładamy, że dzielna jest większa od dzielnika i obie liczby są naturalne):

- iloraz liczby parzystej przez nieparzystą daje nam liczbę parzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/3 = 6),
- iloraz dwóch liczb nieparzystych daje nam liczbę nieparzystą (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 15/3 = 5),
- iloraz dwóch liczb parzystych (liczba wyjściowa jest wielokrotnością dzielnika, np. 18/6 lub 20/2) daje wynik bez reszty,
- reszta z dzielenia liczby nieparzystej przez parzystą, jest również nieparzysta (15/2 = 7 reszta 1)
- reszta z dzielenia występuje tylko wtedy, gdy liczba wyjściowa nie jest wielokrotnością dzielnika (np. 12/5, bo wielokrotność 5 nie daje 12, czy też 16/3, bo wielokrotność 3 nie daje 16).


Przy okazji odpowiemy sobie na pytanie - jaki jest związek wielokrotności z dzielnikami. Otóż każdy iloraz, który nie daje reszty (czyli jak kto woli - daje resztę zerową) pokazuje dzielniki danej liczby. Przykładowo weźmy sobie na warsztat mamy liczbę 12. Możemy ją rozbić na takie iloczyny jak: a) 12*1, 2*6, 3*4, a potem te same iloczyny tylko w odwrotnej kolejności. I każda para liczb (12,1 i 2,6 oraz 3,4) mówi nam o dzielnikach. W naszym wypadku są nimi: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Zauważmy, że 5 ani 7 nie są dzielnikami liczby 12, ponieważ 12 nie jest ich wielokrotnością! Inaczej mówiąc, dzieląc liczbę 12 przez 5 albo przez 7 otrzymamy resztę. Natomiast jeśli w wyniku dzielenia dostajemy resztę, to ani dzielnik ani liczba całkowita (ta zawierająca w sobie jeszcze resztę!) nie są dzielnikami liczby wyjściowej. W naszym przypadku 12/2 = 5 r2, więc ani 2 (mowa o dzielniku, a nie o reszcie) ani 5 nie są dzielnikami 12. Analogicznie przy 12/7 = 1 r5, więc również ani 7 ani 1 nie są dzielnikami 12.

Jeszcze jedna rzecz o której warto pamiętać. Otóż jeśli dana liczba jest dzielnikiem liczby wyjściowej (dzielna), to jej wielokrotność (czyli iloczyn przez liczbę całkowitą) musi dać naszą dzielną. Zatem jeśli chcę mieć pewność, że 18 jest dzielnikiem 54, to muszę uzyskać 54 za pomocą mnożenia 18 przez liczbę całkowitą. Jeśli chcę natomiast szybko obalić stwierdzenie, że 16 jest dzielnikiem 54, to wystarczy, że powiem iż 16x3 = 48 (za mała), zaś 16x4 = 64 (za duża), czyli nasza poszukiwana liczba 54 znajduje się pomiędzy 48 a 64. Żartując można powiedzieć, że potrójna wielokrotność 16 jest za mała, zaś poczwórna - zbyt duża. Na pewno zatem nie będzie to całkowita wielokrotność, co sprawia, że sprawdzana liczba 16 nie jest (nie może być) dzielnikiem liczby 54.

Podsumowanie: Myślę, że w tej odsłonie powiedzieliśmy sobie wystarczająco dużo na temat tego co na kolejnych etapach może nam ułatwić lepsze zrozumienie zagadnienia wielokrotności i dzielników. Warto na spokojnie zastanowić się nad tym co powyżej zaprezentowałem, ponieważ mam wrażenie, że dla dzieci te treści są zupełnie nieznane bądź nieoczywiste. Dając im szanse na to, aby odkrywały te wnioski i zależności, sprawiamy że będą mogły zobaczyć ten temat w szerszej perspektywie. A przecież chyba o to chodzi, aby te małe części układanki pasowały do całego obrazu, prawda?