BIBLIOTEKA NAUCZYCIELA MATEMATYKI: Proste jak pi - czyli matematyka to bułka z masłem

Tym razem powiemy sobie o kolejnej książce, która pokazuje matematykę w nieco innym świetle. Zobaczymy na ile matematyka rzeczywiście jest bułką z masłem i przekonamy się co zawiera ta pozycja. Jak to mawiają - nie należy sądzić (oceniać) książki po okładce.

Książka jest naprawdę ciekawym przewodnikiem po krainie matematyki. Autorką jest Liz Strachan, która przez większość swojej nauczycielskiej kariery uczyła matematyki w Szkocji. Widać, że autorka w książce podzieliła się swoją pasją oraz wszelkimi ciekawostkami, które dodają jej smaku. Pytanie czy to wystarcza, aby książka była naprawdę dobra?

Czego możemy się spodziewać po tej książce?

Przede wszystkim warto przyjrzeć się temu co jest zawarte w spisie treści (7 stron!). Możemy w nim znaleźć bardzo różnorodne zagadnienia. Można wręcz powiedzieć, że zostały poruszone niemal wszystkie najbardziej istotne tematy, które mogą zaciekawić każdego, kto tylko zechce zobaczyć czym tak naprawdę jest matematyka. W bardzo dużym zakresie są w niej omawiane zagadnienia, które występują w programie nauczania w zakresie szkoły podstawowej. Niemniej są także takie perełki, które jeszcze bardziej pokazują niezwykłą i zarazem piękną stronę matematyki. Takimi tematami niechaj będą chociażby złota proporcja, ciąg Fibonacciego, trójkąt Pascala czy też liczby pierwsze a nawet ciągi liczbowe czy też kombinacje. Widać, że Liz Strachan świetnie czuje wszystkie omawiane tematy, ponieważ bardzo zrozumiale i prosto je wyjaśnia, a nawet omawia ich praktyczne zastosowanie. Poza tym bardzo elegancko wykorzystuje historię matematyki i jej odkryć. Pokazuje i wyjaśnia zmiany następujące w zakresie opisywania różnych odkryć oraz teorii matematycznych. Przy okazji przemyca wiele sztuczek z liczbami jak i figurami... oraz co chwila serwuje dość oryginalne matematyczne suchary (jak sama zaznacza, mogą być zrozumiałe tylko dla matematyków).

Można śmiało powiedzieć, że w tej książce poruszonych jest bardzo wiele zagadnień, co może dawać ogólne rozeznanie w matematyce. Mam niestety dziwne wrażenie, że kilka tematów zostało jakby doklejonych, bo zajmują niekiedy zaledwie jedną lub dwie strony. Całość jednak robi solidne wrażenie, chociaż wyraźnie brakuje mi czegoś na kształt testu oraz pytań dodatkowych, które dałyby jeszcze silniejszy impuls do poszukiwań. Tego niestety zupełnie zabrakło.

Książka ma aż 240 stron, ale pomimo tego jest do pochłonięcia w jeden dzień. Raz - dlatego że jest ona małego formatu (A5), zaś dwa - jest napisana bardzo lekkim i przystępnym językiem. Z moich oszacowań wynika, że jedynie około 10-15% tekstu (tematów) jest na tyle trudne, że wymaga dużego skupienia bądź też opuszczenia i powrotu do tych "niewdzięcznych tematów" po zakończonej lekturze.

Pozycja ta nie zawiera kolorowych obrazków, więc na pewno nie rozprasza nadmiarem kolorów. Plusem jest to, iż jest w niej zawarte kilka ciekawostek, które sprawiają, że pojawia się ochota, aby sprawdzić pomysły i sugestie, które opisuje autorka. Pozostaje jeszcze jeden element, który może chwilami powodować znużenie lekturą. Co to takiego? Otóż jak dla mnie zbyt duża koncentracja na liczbach. W kilku miejscach można odnieść wrażenie, że jest zbyt duży przesyt i wkoło jest "nadliczbowo". W jednym miejscu tłumaczenie jest niezbyt szczęśliwe (największy wspólny podzielnik), ale raczej nie ma to większego wpływu na całość.

Kto zatem byłby najbardziej zainteresowany tą pozycją? Myślę, że przede wszystkim dzieci, które lubią matematykę i jeszcze bardziej chcą zobaczyć jej praktyczne zastosowanie oraz poczytać o różnych matematycznych tematach. Dzieci w wieku 10-14 lat mogą dzięki niej zobaczyć to czego nie mają okazji poznać w szkole.

Podsumowanie: książka Proste jak pi, jest kolejną ciekawą pozycją, która popularyzuje matematykę, więc może być ciekawą propozycją dla tych, którzy poszukują oryginalnych wyjaśnień, tego co wydaje się być trudne. Gdyby znalazły się w niej propozycje ćwiczeń do samodzielnego wykonania, wówczas książka mogłaby mieć wyższe miejsce na liście książek, które można śmiało polecić dzieciom. W tym wypadku naprawdę dużą wiedzę matematyczną oraz pasję autorki... zniszczyły brak spójności i wynikowości oraz trochę zbyt losowy dobór kilku tematów, które zostały ledwie zasygnalizowane. A szkoda, bo mogłaby to być jeszcze jedna bardzo wartościowa pozycja w katalogu książek popularno-naukowych.

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (2)

W poprzedniej odsłonie zobaczyliśmy w jaki sposób zachowują się proste (i odcinki) równoległe. Tym razem zerkniemy co się dzieje, gdy dwie proste (odcinki) przecinają się w różny sposób i pod różnymi kątami. Inaczej mówiąc, będziemy za pomocą dwóch odcinków (przekątnych) tworzyli różne figury, których właściwości będziemy zapisywali.

Kolejnym krokiem jest sprawdzanie tego jak się zachowują odcinki, które tworzą przekątne w czworokątach.

1) Bierzemy dwa odcinki równej długości.

Następnie sprawdzamy jakie znane nam figury mogą powstać, gdy odcinki te przecinają się:

A) w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

B) tylko jeden z odcinków przecina się w połowie:
a) pod kątem prostym
b) pod innym kątem

2) Następnie bierzemy dwa odcinki różnej długości. I podobnie jak przed chwilą - sprawdzamy dokładnie te same warunki co w poprzednim ćwiczeniu.

Następnie zapisujemy nazwy figur, które powstały pod wpływem naszych testów, a na koniec próbujemy stworzyć tabelę. Przykładowa tabela opisująca właściwość figur jest ukazana poniżej.

Testowanie dwóch odcinków (przekątnych) dla najpopularniejszych czworokątów

W zależności od tego jakimi pomocami dysponujemy, takie możemy wykorzystać do testowania figur: słomki do napojów, listewki czy też inne obiekty, którymi będziemy mogli manipulować (np. tablica korkowa z pinezkami i sznurkiem). Jako boki mogą służyć: sznurek, tasiemka, rozciągliwa gumka czy też wstążka. Wystarczy tylko nieco poeksperymentować, aby wybrać takie materiały, które będą najbardziej odpowiednie dla każdej grupy dzieci.

Warto zauważyć, że w tabeli są pewne ograniczenia, ponieważ chciałem zachować w niej maksymalną jednoznaczność. Niemniej bardzo dobrym pomysłem jest to, aby dzieci próbowały samodzielnie sprawdzać, które właściwości przekątnych muszą być zawsze spełnione, aby powstała dana figura. Przykładowo nie da się zbudować kwadratu w którym przekątne nie będą prostopadłe, przecinające się w połowie oraz równe sobie. Z kolei w trapezie równoramiennym przekątne mogą być do siebie prostopadłe, ale mogą też nie być. Niemniej zawsze muszą być sobie równe. W ten sposób możemy wyróżnić warunki niezbędne jak i dodatkowe.

W przypadku gdy odcinki (proste) w każdej z figur będą prostopadłe, wówczas warto zauważyć na jakie mniejsze figury przekątne dzielą dany czworokąt... i co można z tą wiedzą później zrobić (jak wykorzystać).

Oczywiście konieczne jest zapisywanie pytań i odpowiedzi dotyczących naszych odkryć. Oto przykładowa lista:
1. Czy w prostokącie przekątne mogą być różnej długości?
2. Jaka figura powstaje jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym w połowie - kwadrat czy romb? Po czym rozpoznać kiedy dana z figur powstanie?
3. Czy może powstać równoległobok, jeśli przekątne nie przecinają się w połowie? A co jeśli są tej samej długości?
4. Jaka jest zależność między przekątnymi w kwadracie w stosunku do przekątnych w deltoidzie?
5. Czy w równoległoboku przecięcie przekątnymi zawsze stworzy dwie pary figur przystających?
6. Jakimi sposobami możemy obliczyć pola figur, których przekątne są prostopadłe?

Na koniec dodam, że dobrze jest mieć wcześniej to ćwiczenie solidnie przetestowane, aby w razie eksperymentów wykonywanych przez dzieci, wiedzieć w którą stronę zmierzamy. Dzięki temu znacznie szybciej będziemy mogli wskazywać prawidłowy kierunek poszukiwań, aby nie tracić niepotrzebnie czasu.

Podsumowanie: Zabawa w sprawdzanie jakie figury powstają poprzez zabawę dwoma odcinkami może sprawić, że dzieci samodzielnie odkryją ich właściwości. To z kolei znacząco ułatwi wyjaśnianie tego skąd się biorą wzory na pola każdej z figur: zwłaszcza te opierające się na wykorzystaniu przekątnych prostopadłych.

Przy okazji można rzecz jasna zapytać o to w jaki sposób możemy sprawdzić, iż dwie proste (bądź odcinki) są prostopadłe (czyli co o tym decyduje). No i oczywiście trzeba zapytać dzieci czym są przekątne w figurach i czy jakakolwiek przekątna może pokrywać się z dowolnym bokiem. Generalnie biorąc, chodzi o to, aby dzieci w tym procesie jak najwięcej odkrywały i dostrzegały to co istotne (tak, tak - wnioski). Reszta to jedynie zapisywanie wniosków w takiej formie, aby były zrozumiałe i pomocne przy kolejnych odkryciach.

Proste i ich magiczne właściwości - odkrywamy i tworzymy ciekawe zależności (1)

Na początku nauki zagadnień z działu geometrii dowiadujemy się o punkcie, półprostej, prostej i odcinku. Następnie pojawia się temat związany z dwiema prostymi. I wydaje się, iż pozornie proste linie, a jednak wiąże się z nimi wiele ciekawych relacji i zależności. Spróbujmy przyjrzeć się bliżej temu co tak naprawdę za nimi jest ukryte.

Generalnie dwie proste mogą mieć: nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), brak punktów wspólnych (są równoległe, ale nie pokrywają się) oraz jeden punkt wspólny, gdy nie są w stosunku do siebie równoległe, to znaczy przecinają się ze sobą.

1. Proste, które pokrywają się.

Jednym z nietypowym przypadków jest sytuacja w której dwie proste (A i B) pokrywają się. Oznacza to, że wszystkie punkty należące do pierwszej prostej, jednocześnie należą również do drugiej.

2. Proste, które nie pokrywają się.

Z kolei jeśli proste nie pokrywają się to mamy dwie możliwości:
a) proste nie przecinają się
b) proste przecinają się w jednym punkcie

I teraz zakładając, że mamy dwie proste, które nie przecinają się, możemy założyć, że muszą mieć jakieś specjalne właściwości, które sprawiają, iż rzeczywiście nie spotykają się w żadnym punkcie wspólnym.

Porównujemy długości obu odcinków. Jeśli są równe wówczas badane proste są do siebie prostopadłe. W praktyce bardzo dobrym pomysłem jest narysowanie obu odcinków (pionowe strzałki na rysunku) jak najdalej od siebie. Dlaczego? Ponieważ jeśli proste byłyby niemal równoległe, wówczas narysowanie dwóch pionowych strzałek ("wysokości") bardzo blisko siebie wykaże jedynie minimalną różnicę, a ta w praktyce może zostać uznana za zerową (tak, tak - właśnie błąd pomiaru się kłania).

Zerknijmy na powyższe rysunki. Po lewej stronie widzimy prostokąt, więc czerwone strzałki (wysokości) są równe... w dowolnym miejscu pomiaru. Natomiast po prawej stronie widzimy dwa trapezy nałożone na siebie. I uważnie przyjrzyjmy się czerwonym strzałkom. I dalej od siebie są oddalone, tym łatwiej zauważyć różnicę długości między nimi. Tak naprawdę wystarczy porównać jedynie dwie, ale na rysunku celowo pokazuję trzy, żeby jeszcze lepiej dostrzec różnice między nimi. Doskonale widać, iż każda ze strzałek jest różnej długości, więc oznacza to, że proste od których idą ... na pewno nie są równoległe.

Kiedy dwie proste nigdy się nie przecinają? Jest tylko jeden przypadek: wówczas, gdy są do siebie równoległe (przypadek, gdy się pokrywają wykluczamy).

I teraz pytanie po czym rozpoznać, że proste A i B nigdy się nie spotkają (nie przetną). Oto prosty sposób na to, aby to sprawdzić.

1. Rysujemy pierwszą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

2. Rysujemy drugą prostą prostopadłą od prostej A (odcinka) w kierunku drugiej prostej (odcinka) B.

Teraz w skrócie powiedzmy sobie jakie są zastosowania prostych równoległych w praktyce. Oto kilka najczęściej spotykanych zastosowań.

1. Dzięki zapewnieniu równoległości dwóch prostych (szyny), tory kolejowe mogą ciągnąć się w nieskończoność. Mamy przy pewność, że dzięki temu pociąg się nie wykolei.

2. Układając pudełka na sobie, mamy gwarancję, że możemy je układać jedne na drugich, bez obawy, że same spadną (przesuną się).

3. W przypadku półek na książki, mamy pewność, że w każdym miejscu regału możemy wkładać książki o tej samej (maksymalnej) wysokości obok siebie.

4. Blat stołu, który jest równoległy do poziomu (podłogi), zapewnia, iż przedmioty położone na nim płasko... same nie przesuną się w dowolną stronę. Prosty eksperyment polega na tym, aby położyć idealną kulę i jeśli nie stoczy się w żadną stronę, wówczas mamy tak zwany poziom.

5. Dzięki poziomicy możemy sprawdzić czy powierzchnia jest równoległa w stosunku do poziomu (podłogi). Gdybyśmy wybudowali wieżowiec bez zapewnienia równoległości poszczególnych pięter, wówczas szybko okazałoby się, że w pewnym momencie mamy "krzywą wieżę".

6. Jeśli budujemy autostradę lub drogę dwupasmową i dobrze wyznaczymy proste równoległe, wówczas nie ma możliwości, aby nałożyły się na siebie, bądź tez zupełnie się rozminęły.

7. Równoległość zapewnia równomierne rozłożenie sił na danej powierzchni (tutaj najlepiej zapytać o to fizyka, aby dogłębnie i zrozumiale wyjaśnił ten temat).

Na koniec oryginalne zadanie (ciekawostka i zagadka) do przemyślenia i sprawdzenia.

Czy możliwe jest sprawdzenie równoległości dwóch prostych (A i B) za pomocą odcinków, które nie są równoległe do żadnej z prostych A oraz B? Jeśli tak, to jakie warunki muszą zostać spełnione? I dodatkowe zapytanie: dlaczego nikt nie wykorzystuje tego sposobu? Jakie ma zalety a jakie wady? W jakich warunkach lepiej jest go zastosować w stosunku do tradycyjnego?

W następnym odcinku przyjrzymy się prostym nierównoległym, które przecinają się w jednym punkcie. Przy okazji płynnie przejdziemy do tego czym są przekątne w figurach i jakie mają właściwości oraz wpływ na to jaką figurę tworzą. Dzięki temu może się nieco wyjaśnić istota tego dlaczego i w jaki sposób akurat manipulowanie patyczkami stworzy prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb a nawet deltoid.

Podsumowanie: dwie proste mogą dawać wiele ciekawych możliwości testowania różnych hipotez. Dobrze jest bawić się nimi oraz odkrywać i zapisywać istotne relacje i zależności, tak aby na bazie tych wniosków budować coraz większy obraz tego co jest ich istotą i jak można dalej tę wiedzę wykorzystać. Pomoże to w zrozumieniu kolejnych tematów i ułatwi rozpoznawanie tego czego nie widać na pierwszy rzut oka... tam gdzie trzeba od razu dostrzegać ważne elementy.

Maturalne zadania - czyli poszukiwania ciekawych wyjaśnień i prostych rozwiązań

Poniżej przedstawiam próbkę moich matematycznych możliwości związanych z analizą jak i wyjaśnianiem przykładowych zadań maturalnych.

Być może komentarze i analizy zawarte w kilku zadaniach pomogą w zrozumieniu procesu jakim jest strategia rozwiązywania zadania, a potem realizowane kolejne etapy (kroki).

Zdaję sobie sprawę, że moje poniższe wywody i komentarze są dość proste. Niemniej czasami dobrze jest przyjrzeć się temu jak inni analizują i rozwiązują zadania. W tym wypadku mam wrażenie, że wyjaśnienia są dosyć przejrzyste i przy okazji powinny być dla każdego zrozumiałe. Dodam na koniec, że to jedne z możliwych rozwiązań, niekoniecznie najlepsze bądź najprostsze. Po prostu takie moje matematyczne rozważania i sprawdzenie siebie.