Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.2

W poprzednim odcinku pisałem o tym jak trójkąty jeżdżą po szynach... a teraz pokażę coś więcej. Wspomniałem o tym, że kolejne rozważania będą dotyczyły trójkąta prostokątnego i rozwartokątnego. No i jak zapowiedziałem, tak też i będzie!

Wiemy już to, czym jest wysokość w trójkącie (definicja) oraz powody dla których nowa koncepcja będzie nam dawała większe możliwości niż tradycyjne ujęcie tematu. Dzisiaj powiemy sobie o tym jak te wysokości wyznaczamy w pozostałych rodzajach trójkątów, gdzie się przecinają wszystkie z nich oraz przy okazji podam kilka wskazówek dotyczących tego jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość. Słowem, to będzie ciekawe dokończenie trójkątów, którego nie chciałem dokładać do poprzedniej części, aby nie przeładować odbiorcy przekazu zbyt dużą dawką dosyć nietypowych informacji. A więc do boju... albo do szyn panowie i panie!

Gwiezdne wojny - przygotowanie do bitwy - TRÓJKĄTY w akcji! czyli reaktywacja i kontyunacja

Właśnie teraz mamy okazję przyjrzeć się temu w jaki sposób będzie wyglądała wysokość w trójkącie prostokątnym i rozwartokątnym.

Oto pierwszy z omawianych na dziś trójkątów: PROSTOKĄTNY.

Okazuje się, że jedna z wysokości w trójkącie biegnie po jednym boku prostopadłym, zaś druga po drugim. Można zatem powiedzieć, że w każdym trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z jego bokami wychodzącymi z wierzchołka kąta prostego. Inaczej mówiąc oba prostopadłe odcinki trójkąta są jednocześnie jego wysokościami. Dodam, że w tym wypadku prostopadłe wysokości zostały narysowane (zielonym kolorem) obok odcinka, tak aby były lepiej widoczne. W praktyce obie z nich oczywiście pokrywają się z omawianymi bokami.

Natomiast trzecia z wysokości biegnie tak samo jak klasycznie opuszczona z wierzchołka na podstawę (w trójkącie ostrokątnym). Łatwo zauważyć, że ta wysokość dzieli figurę na dwa trójkąty prostokątne. To w uproszczeniu tak, jakbyśmy z wierzchołka budynku zrzucili linę (prostopadle do podstawy), po której następnie chcielibyśmy zjechać na podłogę (podstawę), tak aby wydostać się na zewnątrz.

Kolejny z omawianych trójkątów: ROZWARTOKĄTNY.

Wiemy doskonale, że w trójkącie rozwartokątnym, jeden z kątów musi być większy od kąta prostego. Inaczej mówiąc jeden kąt jest rozwarty, a oba pozostałe to kąty ostre. I analogicznie jak w poprzednim (ostatnim) przykładzie, wysokość opuszczona z kąta rozwartego opada z tego wierzchołka na podstawę... tak jak zwisająca lina przymocowana do haka.

Następny rysunek ukazuje nam sytuację w której wysokość będzie opuszczana z wierzchołka kąta ostrego. W obu wypadkach wysokość (lina) będzie opadała na przedłużenie podstawy (podłogi). Co bardzo istotne, w takim układzie wysokość ma tylko jeden punkt styczności w trójkącie, gdyż drugi (koniec odcinka) jest wyznaczany jako przecięcie się odcinka z przedłużeniem podstawy. Czyli to o czym mówiłem w poprzednim odcinku - wysokość trójkąta nie zawsze musi być zawarta w trójkącie, chociaż nadal jest dla niego wysokością!

Dodam jeszcze, że na bazie tej koncepcji (i rysunku, który przedstawia trójkąt pomiędzy szynami bądź pudełkiem), można układać bardzo ciekawe zadania związane z obliczaniem odcinków, obwodów i pól figur. Pozornie takie zadania są trudne bądź też bardzo trudne, ale w praktyce ukazują one na ile naprawdę rozumiemy sens pojęcia wysokości.

Uchylę rąbka tajemnicy, mówiąc iż w kolejnej odsłonie pokrótce sprawdzimy (wyjaśnimy) o co chodzi w punktach przecięcia wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Będę chciał również pokazać to w jaki sposób bardzo ładnie można dzięki nim przejść do zagadnienia wysokości w czworokątach. Ale o tym już niebawem. Na razie jeszcze pobawmy się chwilę w analizę wysokości trójkątów.

WYSOKOŚCI prowadzone z wierzchołków w trójkącie przedstawione zostały w tabeli. Z tego można wyciągnąć następujące wnioski:

1) Im bardziej powiększamy jeden z kątów w trójkącie (zakładając, że oba pozostałe są ostre) tym dalej wychodzi jego punkt przecięcia wysokości - w kierunku od środka na zewnątrz. I tak w trójkącie ostrokątnym jest zawsze w jego środku (tzn. wewnątrz), w prostokątnym - dokładnie w wierzchołku kąta prostego, zaś w rozwartokątnym - nad kątem rozwartym. Przy okazji dodam, że punkt przecięcia wysokości w trójkącie nazywa się ortocentrum. 

2) Każdy trójkąt ma zawsze 3 wysokości. Chodzi o wysokości, które są prowadzone od każdego z wierzchołków do przeciwległej podstawy. Jest to pewien skrót myślowy, gdyż na rysunkach widzieliśmy po kilkanaście wysokości w przypadku każdego trójkąta. Jednak zostały one ukazane po to, aby zrozumieć istotę wysokości, a nie tylko formalne jej wyznaczenie od każdego wierzchołka.

3) Wysokość musi zawsze być zawarta pomiędzy dwiema szynami, które z kolei są równoległe do podstawy na którą spada (opada) wysokość. Jeśli nie jest spełniony ten warunek, wówczas nie jest to wysokość. Przy okazji można podkreślić, że koncepcja szyn pozwala na bardzo szybkie sprawdzenie czy wyznaczony odcinek jest wysokością w trójkącie. I to bez względu na to z jakiego wierzchołka wychodzi i na którą podstawę pada.

4) Wysokość w trójkącie może być prowadzona do podstawy albo tak zwanej przedłużonej podstawy. Tutaj chyba wszystko jest jasne. Zarówno podstawa jak i przedłużona podstawa muszą być wspomnianymi szynami, które są do siebie równoległe.

Na koniec krótkie podsumowanie i wskazówki. Jak najprościej wyznaczyć dowolną wysokość w trójkącie?

1) Rysujemy szyny. W zależności od tego jak chcemy wyznaczyć wysokość (to znaczy czy prowadzimy od wierzchołka do podstawy czy też odwrotnie), to musimy wiedzieć jaka jest podstawa leżąca naprzeciwko wierzchołka. Przedłużamy ją z obu stron, a następnie prowadzimy prostą równoległą do podstawy, która przechodzi przez obrany wierzchołek.

2) Kolejny krok to poprowadzenie prostej prostopadłej do obu szyn, która będzie przechodzić przez wierzchołek. Początek i koniec tej wysokości zostanie wyznaczony poprzez punkty styczności prostej z podstawą i wierzchołkiem z którego chcemy ją wyznaczyć. Na koniec dobrze jest ją oznaczyć kolorem, aby była dobrze widoczna.

3) W przypadku konstrukcji wysokości w trójkącie rozwartokątnym należy pamiętać o tym, że tylko wysokość, która wychodzi z wierzchołka kąta rozwartego będzie opadać na (oryginalną) podstawę. W przypadku pozostałych dwóch wysokości, konieczne będzie przedłużenie podstawy do której będzie opadać wysokość z wierzchołka kąta ostrego. Zastosowanie koncepcji szyn w tego typu konstrukcji w największym zakresie pomoże nam ją poprawnie narysować, bez konieczności obracania zeszytu czy obiektu (trójkąta).

Podsumowanie: przy okazji klasyfikacji trójkątów pojawia się możliwość zrozumienia tego w jaki sposób będziemy wyznaczali w nich wysokości. Do tego dochodzi również szansa na to, aby nieco pobawić się w rysowanie wysokości w każdym rodzaju trójkąta. Dobrze jest pracować dwutorowo. Przykładowo najpierw zacząć od narysowania trójkąta, a potem otulić go równoległymi szynami (pudełkiem), które go ładnie zamkną. Następnie po zakończonych ćwiczeniach warto odwrócić proces. Teraz zaczynamy rysować szyny (lub pudełko), zaś w nich wstawiamy różne trójkąty i wyznaczamy wszystkie możliwe wysokości (czyli 3 rodzaje trójkątów i w każdym z nich 3 różne wysokości, tzn. takie, które wychodzą z różnych wierzchołków).

Dzięki takim ćwiczeniom może okazać się, że pojawią się kolejne spostrzeżenia, wnioski i co za tym idzie następne pytania. Niebawem będzie przejście do czworokątów i gwarantuję, że solidnie opanowana koncepcja wysokości w trójkątach sprawi, iż te same operacje wykonywane na figurach o czterech kątach... nagle będą wydawały się banalnie proste. A co za tym idzie, będziemy mogli jeszcze lepiej zrozumieć istotę tego jak obliczyć obwód oraz pole w przypadku czworokątów, które nie są tymi o których uczymy się w szkole na lekcjach matematyki.

Czy to naprawdę możliwe?! Tak, już wkrótce udowodnię, że koncepcja szyn (pudełka) nie jest tylko moim kaprysem lub chwilową modą. Dopiero w ciekawszych zadaniach i analizie będzie można zobaczyć jej prawdziwą siłę. Do tego czasu gorąco polecam i zalecam co najmniej kilkukrotne przestudiowanie wszystkich części i wypisywanie wszystkich spostrzeżeń, wniosków oraz pytań. To one właśnie dają nam jak najbardziej pełne zrozumienie zagadnienia.

Wysokość w figurach rewelacyjnie opisana - to matematyka świetnie zrozumiana i solidnie opanowana - cz.1

Problem z wysokością pojawia się już na etapie wprowadzania figur płaskich, a w nich pojęcia pola. W jaki sposób obliczyć pole? Skąd wiadomo ile kwadratowych jednostek zmieści się w danej figurze? Czy to co podnosi w górę naszą figurę ma w wyjaśnianej koncepcji pewną dziurę? Otóż moim zdaniem, koncepcja wysokości jest niewystarczająco solidnie wyjaśniana. Nie wnikam w problemy tego stanu, ale chcę zaproponować pewne rozwiązanie tego problemu. Takie, które z pewnością da lepszy ogląd na tę kwestię, a i być może zainspiruje do własnych poszukiwań i pełniejszych wyjaśnień. A to będzie rzecz jasna bardzo dobre dla uczniów, gdyż nauczyciel będzie mógł im to zagadnienie znacznie lepiej przybliżyć (wyjaśnić).

Wysokość zostanie omówiona na przykładzie dwóch typów figur - w odniesieniu do trójkątów oraz czworokątów. W tej odsłonie pokażę to czym jest wysokość w trójkącie, a w kolejnym artykule - w czworokącie. Będzie dzięki temu okazja na chwilę refleksji i przy okazji dostrzeżenie wspólnych elementów występujących w obu częściach. Zatem do dzieła!

Gwiezdne wojny - przygotowanie do bitwy - TRÓJKĄTY w akcji!

Jak już wiemy, trójkąty możemy podzielić ze względu na kąty oraz boki (klasyczna tabela, którą bez problemu można znaleźć w Internecie). Najważniejsze dla nas jest to, że wyróżniamy trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. To właśnie one dają popalić dzieciom, tak że w pewnym momencie kompletnie gubią się w tym o co chodzi z tymi wysokościami, ich punktem przecięcia i tym w jaką stronę te wysokości zostają skierowane.

Na rysunku widzimy trzy trójkąty, które są położone obok siebie. Zauważmy jedną charakterystyczną cechę. Wszystkie z nich są niejako umieszczone pomiędzy dwiema prostymi równoległymi (kolor czerwony). Dzieci mogą stwierdzić, że są pomiędzy szynami (kolejowymi). Niektórzy nazywają to pudełkiem (czerwony prostokąt obejmujący wszystkie trójkąty). Dlaczego to takie ważne? Otóż dlatego, że wysokość będziemy definiować właśnie w oparciu o koncepcję szyn (jak kto woli pudełka, ale uważam, że szyny są bardziej dokładnie wyrażoną koncepcją)!

Wysokość w trójkącie A, B i C jest identyczna. Dlaczego? Otóż jeśli szyny tworzą prostokąt, to każda prosta prostopadła, która biegnie od jednego do drugiego dłuższego boku prostokąta (proste naprzeciwko siebie) - jest jednocześnie wysokością (jedną z trzech) dla każdego z trójkątów. Czyli jak wobec tego zdefiniujemy wysokość w trójkącie?

Wysokość w trójkącie musi spełniać kilka warunków - w trójkącie definiujemy ją w taki oto sposób:

1) Jest to odcinek, który biegnie pomiędzy wierzchołkiem a przeciwległym bokiem, który nazywamy podstawą (bo na niej trójkąt stoi w naszych przykładach). Warto natychmiast dodać, że w niektórych wypadkach będzie on biegł do przedłużenia podstawy (mowa o trójkącie rozwartokątnym).

2) Odcinek ten jest i zawsze musi być prostopadły do obu szyn (pudełka) - w naszym wypadku biegnie od wierzchołka do podstawy, do której jest prostopadły (natomiast nie da się określić tego czy jest prostopadły do wierzchołka, ale w domyśle jest!). W naszym przykładzie wysokość wychodzi z wierzchołka C i opada (zostaje opuszczona) na podstawę AB.

3) Jest najdłuższym odcinkiem, który spełnia powyższe warunki (wysokość będzie różna w zależności od tego z jakiego wierzchołka ją opuścimy i na którą podstawę spadnie). Gdyby nie był najdłuższym, wówczas automatycznie nie jest wysokością danej figury (w sensie matematycznym).

Pojawia się bardzo ważne pytanie: dlaczego wysokość biegnie (musi biec) prostopadle od podstawy do wierzchołka? Otóż dlatego, że jest to najdłuższy prostopadły odcinek, który można poprowadzić między szynami (pudełkiem)! A czy gdybyśmy przesunęli wysokość w dowolnym z trójkątów (A, B lub C) równolegle w prawo bądź w lewo (tak, po szynach!), to nadal by nią była dla każdego z trójkątów? Tak czy nie? Odpowiedź jest banalna: Tak, byłaby to wysokość, ponieważ nadal spełnia wszystkie powyższe cechy (warto zapamiętać wszystkie trzy elementy dotyczące definicji). Prawda, że teraz jest to niezwykle proste, przejrzyste a przy okazji zrozumiałe? Rzut oka na rysunek sprawi, że zobaczymy, iż wszystkie niebieskie strzałki pokazują wysokości dla każdego z trójkątów! Dlatego w drastycznym wypadku może dojść do tego, że wysokość w trójkącie... będzie stała na baczność obok niego! Czy to w ogóle możliwe?! Czy to ktokolwiek tłumaczy dzieciom?

Teraz zobaczmy pierwszy z trójkątów (A), na którym znajdziemy kolejną z wysokości, ale tym razem wychodzącą z innego wierzchołka i opadającą na inną (odpowiednią) podstawę. Tym razem wysokość biegnie z wierzchołka B, więc musi opaść na podstawę AC. Pamiętamy doskonale, że wszystkie niebieskie strzałki to przecież ta sama wysokość. Warto się zastanowić nad tym, dlaczego nikt tego w ten sposób nie przedstawia? Odpowiedź jest zadziwiająco prosta! Prawdopodobnie nikt nie analizuje i nie bierze tego pod uwagę, więc wszyscy traktują to jako oczywiste, naturalne i jasne jak słońce. A tymczasem zamiast wyjaśnić i dać do samodzielnego wykonania kilka wysokości na szynach, to dziwnym trafem w szkole pokazywane są tylko i wyłącznie te biegnące z wierzchołka! Dlaczego tak się dzieje? Czyżby jakiś spisek?! Nie sądzę!

Kolejny rysunek to opieranie na szynach (zamykanie w pudełku) tego samego trójkąta, ale wyznaczając następną wysokość. Tym razem wychodzimy z wierzchołka A i opuszczamy wysokość na podstawę BC. I tak jak poprzednio: każda niebieska strzałka jest równoległa do siebie i jednocześnie także równa każdej innej, a więc jest wysokością dla tego trójkąta... nawet jeśli jest obok niego! Dodam na marginesie, że wszyscy po cichu (za milczącą zgodą) zaznaczają wysokość wychodzącą właśnie z wierzchołka, więc jeśli przypadkowo zobaczą waszą wysokość "nie na miejscu" (przesuniętą w lewo bądź w prawo względem wierzchołka), to uprzedzam, iż mogą na początku doznać chwilowego szoku. Nie martwcie się jednak. Dzięki nauce prezentowania jej na szynach (zamykania w pudełku), będziemy w stanie narysować wysokość wychodzącą z dowolnego wierzchołka! I za każdym razem będzie to zrozumiałem, poprawne oraz łatwe do wykonania.

Nadszedł czas na zebranie wszystkiego do jednego worka.

Co daje nam nowa koncepcja (a raczej nowe i oryginalne spojrzenie oraz podejście do starego problemu)?

1) Umiejętność rozpoznawania tego czym jest wysokość w trójkącie bez względu na to z którego wierzchołka wychodzi i na którą podstawę zostanie poprowadzona. Tego jak dotąd nie było omawiane w szkole, a na pewno nie w takim wydaniu. Teraz jest duża szansa, że będzie to znacznie bardziej zrozumiałe.

2) Zrozumienie dogłębne tego czym są i do czego służą proste równoległe (jakie mają znaczenie). Przy okazji również widać jak na dłoni, to jak wysokość w danym trójkącie może być przed nim lub nawet za nim... i dalej być jego wysokością (o której większość nawet nie słyszała lub nie miała okazji usłyszeć).

3) Umiejętność wyznaczania dowolnej wysokości (w domyśle: wszystkich trzech rodzajów) bez konieczności obrotu figury (i kartki na której jest narysowana figura!). Do tego dochodzi bardzo solidne i pewne rozpoznawanie sytuacji, w której dany odcinek nie jest wysokością. A na deser prosta możliwość wyjaśnienia tego dlaczego tak się dzieje.

4) Bardzo łatwa do zrozumienia jak i zapamiętania definicja wysokości (trzy elementy jako całość). Będzie jeszcze okazja ukazania zalety tej definicji w jednym z odcinków. Zapewniam, że bardzo szybko będzie widać jej przewagę nad tradycyjną. I być może dopiero wtedy okażę się dlaczego zawarty został w definicji ostatni punkt.


Podsumowanie: nowe podejście do problemu wysokości może dawać nadzieję na znacznie lepsze zrozumienie tej koncepcji. To z kolei sprawia, że znajdowanie wysokości w figurach będzie o niebo łatwiejsze, ale przede wszystkim zrozumiałe. Natomiast dzięki temu dzieci będą miały przekonanie, że nie mają już dziur w swojej wiedzy (przez owe braki zwykle uciekają cenne punkty na sprawdzianie w którym "były zadania, których zupełnie nie rozumiałem, chociaż na lekcji robiliśmy podobne").

W tym odcinku to na razie byłoby na tyle. W kolejnych odsłonach pokażę te same właściwości, ale na przykładzie trójkąta rozwartokątnego oraz prostokątnego. W trzecim odcinku zajmiemy się rzecz jasna czworokątami! A co zrobić do tego czasu? Otóż zalecam samodzielną pracę nad sprawdzeniem na ile ten rewolucyjny (?!) sposób działa. Proszę o przetestowanie koncepcji ustawiania trójkąta w szynach (pudełku), a jak ktoś jest niecierpliwy to może również wypróbować ją na czworokątach. Warto pamiętać o tym, aby przypomnieć sobie jak się rysuje proste równoległe, tak aby koncepcja mogła pięknie grać i buczeć...

Dodawanie, grupowanie i sumowanie - liczymy sprytnie i efektywnie... aż poprawny wynik powstanie (1)

Dowodzenie, wykazywanie i argumentowanie - czyli jak myśleć logicznie i zapisywać matematycznie (3)