Po czym rozpoznać czy rozwinięcie dziesiętne ułamka będzie się ciągnęło w nieskończoność, a kiedy na pewno skończy się na danym miejscu? (cyfrze).
Mam na to fajny i prosty sposób, którego można się łatwo i szybko nauczyć. Na czym on polega? Zaraz o tym sobie powiemy.
Ułamki dziesiętne (powstałe z dzielenia dwóch liczb całkowitych) mogą mieć tylko dwa rodzaje rozwinięcia: skończone lub nieskończone okresowe. Często ciekawość dziecięca popycha umysł do tego, aby rozpoznać zasadę, która kieruje tym czy dany ułamek ma rozwinięcie skończone czy też nieskończone (czyli takie w którym cyfra lub grupa cyfr będzie się powtarzać).
Wystarczy w tym celu zapamiętać jedną prostą zasadę: mianownik takiego ułamka musi po skróceniu (jeśli da się skrócić) zawierać jedynie czynniki 2, 5 lub jednocześnie 2 i 5 (dowolna kombinacja dwójek i/lub piątek). Jeśli tak się dzieje, wówczas zawsze będzie on ułamkiem dziesiętnym o rozwinięciu skończonym.
Mam na to fajny i prosty sposób, którego można się łatwo i szybko nauczyć. Na czym on polega? Zaraz o tym sobie powiemy.
Ułamki dziesiętne (powstałe z dzielenia dwóch liczb całkowitych) mogą mieć tylko dwa rodzaje rozwinięcia: skończone lub nieskończone okresowe. Często ciekawość dziecięca popycha umysł do tego, aby rozpoznać zasadę, która kieruje tym czy dany ułamek ma rozwinięcie skończone czy też nieskończone (czyli takie w którym cyfra lub grupa cyfr będzie się powtarzać).
Wystarczy w tym celu zapamiętać jedną prostą zasadę: mianownik takiego ułamka musi po skróceniu (jeśli da się skrócić) zawierać jedynie czynniki 2, 5 lub jednocześnie 2 i 5 (dowolna kombinacja dwójek i/lub piątek). Jeśli tak się dzieje, wówczas zawsze będzie on ułamkiem dziesiętnym o rozwinięciu skończonym.
Podsumowanie: umiejętność oceny tego czy ułamek można zapisać w postaci dziesiętnej, (tak aby podawać jego dokładną wartość) jest ważna, ponieważ łatwo będzie wówczas przekształcać go w systemie dziesiętnym bez konieczności przybliżania. Można takie ułamki spokojnie dodawać bądź odejmować (po znalezieniu podstawy dziesiętnej), wiedząc że ich wspólny mianownik będzie zawsze występował jako naturalna potęga liczby 10. Tego typu ułamkami można również bez problemu wyrażać wartości procentowe. No i na sam koniec można jeszcze dodać, iż mając pewność, że tego typu ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone, zawsze operujemy na dokładnej wartości takich ułamków. Nie popełniamy wówczas żadnego błędu (przybliżenia).
Bardzo jasny i przejrzysty sposób wytłumaczenia zagadnienia.
OdpowiedzUsuń...jeśli ułamek dziesiętny jest nieskończony i okresowy to czy jest wymiernym, czy wiemy tylko że ma granicę do której zmierza ale nigdy jej nie osiąga,
OdpowiedzUsuń...czy możesz podać następną najbliższą liczbę po l. pi,
...l. pi jest niewymierą, zatem jak to się dzieje że obwód okręgu się idealnie "domyka", czy zatem jest elementem wymiernym w jakimś innym układzie liczb niż dziesiętny ?
1) Jeśli ułamek jest nieskończony okresowy to jest wymierny, czy jak kto woli jest liczbą wymierną. Dlaczego? Dlatego, że da się go zapisać za pomocą ułamka zwykłego czy też stosunku (ilorazu) dwóch liczb całkowitych. Przykładami mogą być ułamki 1/3, 1/7, etc.
Usuń2) Nie do końca rozumiem pytanie odnośnie granicy. Z tego co rozumiem, to ułamek okresowy jest swoją granicą, ale nie zmierza do niej. Ułamki okresowe to dokładne reprezentacje liczb wymiernych, a nie przybliżenia dążące do granicy. Warto również wspomnieć, że sposób zapisu takiego ułamka nie zmienia jego sensu (własności). Przykładowo zapis 1/3 oraz 0,(3) jest oznaczeniem tego samego ułamka, a nie granicy do której zdąża. Mówiąc jeszcze prościej, jego "ogon", który można zapisywać w nieskończoność, nie oznacza, że ów ogon formalnie chce osiągnąć jakiś punkt (granicę). I to pomimo tego, że takie może być intuicyjne myślenie (przekonanie).
3) Nie można podać najbliższej liczby po liczbie Pi.
Uzasadnienie:
Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi zawsze znajduje się nieskończenie wiele innych liczb rzeczywistych. To właściwość ciągłości liczb rzeczywistych - nie ma "luk" między nimi. Jeśli ktoś podałby liczbę x jako "następną po Pi", zawsze można znaleźć liczbę między Pi a x, np. (Pi + x)/2. Mam nadzieję, że o to chodziło w pytaniu.
4) Obwód się idealnie domyka, bo geometria nie zależy od reprezentacji numerycznej.
Uzasadnienie:
Okrąg istnieje jako obiekt geometryczny niezależnie od tego, jak wyrażamy jego wymiary liczbowo
Fakt, że liczba Pi jest niewymierna, oznacza tylko, że nie można go dokładnie zapisać jako ułamka dziesiętnego. Natomiast
geometrycznie Pi to dokładny stosunek obwodu do średnicy - nie jest to żadne przybliżenie. Przy okazji owo "domknięcie" to właściwość topologiczna, a nie arytmetyczna. Natomiast fakt, że rozwinięcie dziesiętne Pi jest nieskończone to kwestia tego, że jeśli bierzemy średnią z obwodu wielokąta foremnego opisanego na okręgu i wpisanego w okrąg. Jeśli założymy, że wielokąt nigdy nie będzie kołem (pomimo, że będzie coraz bardziej je przypominał), to właśnie ów wzrost liczby kątów w danym wielokącie, powoduje że możemy podawać kolejne wartości rozwinięcia dziesiętnego. Na marginesie: wyjaśniłem to dość przejrzyście w ARTYKULE nr 108, więc zapraszam do zapoznania się z nim (spis treści jest po prawej stronie u góry).
5) Nie, niewymierność Pi jest niezależna od systemu pozycyjnego (nie ważne czy dwójkowego czy ósemkowego czy dziesiętnego).
Uzasadnienie:
Wymierność/niewymierność to właściwość algebraiczna liczby, nie sposób jej zapisu. Liczba Pi pozostaje niewymierna czy zapisujemy ją w systemie dziesiętnym, dwójkowym, czy dowolnym innym. No i w końcu zmiana podstawy systemu liczbowego nie zmienia natury algebraicznej liczby.
Mam nadzieję, że te podstawowe odpowiedzi na pytania są w zupełności wystarczające. W razie potrzeby proszę o kontakt z osobą, która zajmuje się matematyką na dużo wyższym poziomie niż zakres podstawy programowej obowiązującej w szkole podstawowej. Dzięki temu jest szansa, że będzie ona w stanie znacznie lepiej odpowiedzieć na tak głębokie pytania.